Aiga.diplom

Көлік қозғалысының математикалық үлгілері

3.1 Макроскопиялық үлгілер

3.1 тарауда макроскопиялық үлгілердің негізгі (тарихи және мүмкін болатын қосымшалар тұрғысынан алғанда) түрлері келтірілген, әсіресе біржолақты көлік ағымына мысалдар келтірілген.Гидродинамикалық аналогияларға терең назар аударылған.Бұл бөлімнің кілттік түсінігі сақталу заңына арналған көлік ағымын суреттейтін бастапқы Коши есебінің жалпы шешімі болып табылады.

3.1.1 Лайтхилл-Уизем-Ричардс үлгісі

ХХ ғасырдың 40 жылдарының екінші жартысы мен 50 жылдары КСРО мен АҚШ жарылғыш заттың атылуы кезінде пайда болатын үдерістерді зерттеумен қарқынды айналысқан. Сонымен қоса сақталу заңының теңдеулеріне арналған бастапқы-шеткі есепті (және осындай теңдеулер жүйесін) байқауға көп көңіл бөлінген. Осы уақытта осыған ұқсас теңдеулер кездесетін қосымшалардың артуы байқалған. Осылайша 1955 жылы тәуелсіз зерттеулер барысында алғашқы біржолақты (жол екі жаққа қарай шексіз, қозғалыс солдан оңға қарай (анықтама үшін), ешқандай автокөліктік құралдар ағыны жоқ) көлік ағымының макроскопиялық (гидродинамикалық) үлгісі ұсынылып, кейіннен Лайтхилл-Уизем-Ричардс үлгісі атанды (осы үлгіні жиі Лайтхилл-Уизем¹ үлгісі деп атайды).

Лайтхилл-Уизем-Ричардс үлгісінде келесілер бағамдалады:

1. Ағымның v(t,x) жылдамдығы мен ρ(t,x) тығыздығы арасында өзара бірмәнді тәуелділік бар;

2. АКҚ тығыздығының ρ(t,x) сақталу заңы орындалады.

ρ(t,x) жазуы t уақытындағы х координаталы трасса нүктесінің маңайындағы ұзындық бірлігінің АКҚ санын білдіреді. Яғни, v(t,x) - t уақытындағы х координаталы трасса нүктесінің маңайындағы АКҚ жылдамдығы. Ары қарай барлық жерде көлік ағымы макроскопиялық үлгілермен сипатталатын кеңістік масштабтары АКҚ-ға тән көлемді айтарлықтай асыратындығы болжанады.

­¹ Кейде «Уитемнің» орнына «Уизем» деп атайды( С.П.Новиковтың еңбектерінде).

Басқаша айтқанда, көлік ағымы алдағы жағдайға байланысты АКҚ әрекеті жете суреттелген кейбір макроскопиялық үлгілерге бағынады.

Және бұл үлгі біз қарастырып отырған макроскопиялық үлгінің айырмалық және дифференциалды-айырмалық аналогы болып табылады. Осылайша ρ(t,x), v(t,x) анықтауға ұсынылған тәсілдің дұрыстығы макроскопиялық үлгіні микроскопиялыққа орнықты жуықтауға негізделген.

Сурет 1.Көлік ағымы қалып-күйінің теңдеуі

Бірінші жобалауды келесі шартпен көрсетеміз:

V(ρ) функциясына қатысты келесі жобаланады:

мұнда Ԛ(ρ) = ρV(ρ) – АКҚ ағымының көлемі. Ԛ(ρ) тәуелділігін көбінесе іргелі (немесе негізгі) диаграмма деп атайды. Біржолақты ағым үшін Ԛ”(ρ)<0 деп есептелінеді (мұны келесі түрде түсінуге болады: әртүрлі тығыздықтағы жолдардағы екі бірдей және тәуелсіз қозғалыс дәл осы жолдардағы бастапқы тығыздықтардың арифметикалық ортасына тең екі бірдей тығыздықтағы қозғалысқа қарағанда тиімсіздеу болады ). Алайда егер бірнеше жолды бір жолға біріктірсе, онда шынайы өмірде көрсетілген көлік ағымының байқауларына сүйенсек Ԛ(ρ) ойыстығынан бас тартуға тура келеді.

Сурет 1. және Сурет 2. «Мәскеу қаласының Көлік Инфраструктурасын Зерттеу Орталығының» Автозавод көшесінен Варшавский шоссесіне дейінгі үшінші көліктік сақинаның аймағындағы төрт жолақ бойынша жиналған мәліметтер елтірілген. Негізінде V(Ԛ) тәуелділігі есептелінген еді.

АКҚ-ның бір жолдан екінші жолға орын ауыстыруы ағым көлемінің азаюяна әкеледі ( бәр жағынан орта бір жолдан екінші жолға орналасу тезірек қозғалуға мүмкіндік береді, алайда екінші жағынан орта есеппен мұндай тәсіл орын ауыстыруға қосымша шығын келтіреді, сонымен қоса бір АКҚ екіншінің алдына орын ауыстыру кезінде қозғалысты баяулатады).

Сурет 2. Іргелі диаграмма

Екінші жобалауды сақталу заңымен келтірейік:

Сайып келгенде, t≥0 жартылай жазықтығындағы кез келген тікбұрышты Г контурына келесі формула орындалады:

ρ(t,x) тегіс нүктелерінде:

Бастапқы шарт түрін көрсетейік (Риман шартының түрі)

Коши есебі (4), (5) кептеліс тарауын сипаттау кезінде пайда болады:

_­′(x)>0 , = болсын делік, мұнда ­- мүмкін болатын максималды тығыздық, келесі мәселе көлік ағымы бойынша алдағы кептеліс туралы мағлұматты қалай жіберуге болатынын анықтау керек.

Сурет 3. Ажыраудағы R-H шарты

(3) арақатынасқа ораламыз. Осы арақатынас ρ(t,x) тығыздықты ажырау функциясына да орындалғанын атап өткен жөн. Оған қоса функция ажырауында ρ(t,x) – тығыздықтың кенет ұлғаюы байқалады, бұл кептеліс шекарасына сәйкес келеді. t уақытында ажырау х координата нүктесінде және ρ(t,x-0)= , ρ(t,x+0)= болсын делік. Осы ажырауға (t;x) жазықтығында қисық L сай келсін деп қарастырайық. (t,x)ϵ L нүктелерінің маңайынан Сурет 3. көрсетілгенде тікбұрышты контур аламыз (анық болу үшін сағат тілі бойынша деп бағдарлаймыз). Сонда (3) арақатынас келесіні білдіреді:

мұнда c=dx/dt - (t,x) нүктесіндегі L көлбеуіне сәйкес келеді, ∆ t - t осіндегі контур проекциясының ұзындығы. ∆ t→0 болғанда бұл теңдік с ажырауының қозғалыс жылдамдығының келесі шартына айналады. Әдетте бұл шарт Гюгонио-Ранкин² шарты деп аталады:

(4) теңдеуінің әрқашан әлсіз шешімі болады екен ((3) арақатынасты және (5) бастапқы шартты әлсіз мағынада қанағаттандырады). Бірақ келесі мысал көрсетіп отырғандай теңдеу сансыз көп шешімге ие бола алады, яғни бірмәнділік жоқ.

Сурет 4.

² Бұл шартты қосымша Гюгонио шарты деп те атайды. «Ранкинның» орнына «Ренкин» деп атайды.

Мысал. Хопф теңдеуін³ қарастырамыз

және Риманның бастапқы шарты

Мысалы t≥0 жартылай жазықтығындағы нүктеде анықталған кез келген q≥1 болған жағдайда

функция t >0 болған кезде (4) теңдеуді және (5) бастапқы шартты қанағаттандырады (ажырауларда R-H шартының орындалуын тексеру жеткілікті).

³ Хопф теңдеуінде айнымалыларды және белгісіз функцияны ауыстыруды Лайтхилл-Уизем-Ричардс үлгісінде кездесетін атақты жағдай Гриншилдс үлгісінде көруге болады.

О.А.Олейник 1958 жылы ұсынған ажырау тұрақтылығының шарты ретінде жалғыз ғана шешім іріктеу шартын таңдайды.

Ажырауда R-H шартынан өзге Е-шарты⁴ да орындалу керек:

Е-шарты геометриялық интерпретацияға ие ( анықтылық үшін ) :

Ԛ(ρ) функциясының графигі ρϵ(болған жағдайда ( ,Ԛ()) және ( ,Ԛ()) нүктелері арқылы өтетін түзуден төмен жатқан жоқ. С ажырауының қозғалыс жылдамдығы осы түзудің көлбеуіне тең.

Мысал. Тағы да Хопф теңдеуін және бастапқы шартты қарастырамыз

Коши есебінің (4), (5) келесі әлсіз шешімдері болуы мүмкін:

⁴ Бұл шартты қосымша энтропиялық шарт, О.А.Олейник энтропиялық шарты, Е- шартты О.А.Олейник деп те атайды.Е-шарты ( және R-H шарты ) қайдан пайда болғаны төменде аталып өтіледі.

Бөлшектік- тұрақты бастапқы шарттар класстарында Е-шартын ρ(t,x) динамикасын бірмағыналы және конструктивті анықтау арақатынасындағы мүмкін болатын ажырауларды іріктеу шарты ретінде қосылатынын атап өткен жөн.

Сурет 6.

x=0 нүктесінде бастапқы мәліметтердің ажырауын «баттастырып қою» арқылы, яғни |x|≤δ бөлшегінен бөлек ρ(0,х) сәйкес келетін (0, х) – монотонды өспелі үздіксіз функцияны енгізу арқылы көре аламыз ( мысалы, мінездемелердің⁵ классикалық тәсілін пайдалану арқылы ).

Яғни (t,x) классикалық емес шешімі тұрақты шешім болып табылмайды. (t,x) шешімінің ажырауында Е-шарты орындалмайтындығын байқау қиын емес, сондықтан (t,x) шешім болып табылмайды.

⁵ (t,x) жазықтығындағы мінездемелер қауымының теңдеуі келесі түрде болады: . Сондықтан ρ(t,x) функциясынан уақыт бойынша толық туынды мінездеме бойында бар:

Яғни ρ(t,x)=const- мінездеме бойымен.

3.3.3 Бағдаршам туралы есеп (ҚАНДАЙ ЖАҒДАЙДА БАҒДАРШАМ АЛДЫНДА КЕПТЕЛІС ОРЫН АЛМАЙДЫ)

1955 жылы М.Лайтхилл және Дж.Уизем алдына келесі есеп қойылып, өз шешімін тапты:

/≥ k болған жағдайда бағдаршам алдында кептеліс болмайтындай (екі түрлі қалыпта жұмыс жасайтын:қызыл және жасыл) k>0 санын табу керек.

Бағдаршамнан алыс орналасқан көлік ағымының тығыздығы деп есептеп(ағым мәні ),мұнда ағым мәні максималды болатын тығыздық.

20-сурет.

Қызыл шам жанды делік(20-сурет).Онда бағдаршам тарапынан көлік ағымына қарай келесі жылдамдықпен толқын соққысы барады (пайда болған шеткі есепті егер бағдаршамның АТС тағыздығы максималды , яғни бағдаршам тарапынан қозғалыс жоқ деп есептеуге алдын ала келісіп , бастапқы есеп секілді түсінген жеңіл)

қызыл шам жанған уақытта жиналған АТС қалдық уақыт келесіге тең:

Енді жасыл түс жанды делік(21-сурет). Онда бағдаршамнан қалдық уақыт өтпейінше бағдаршамнан өтетін АТС ағымы максималды және -ге тең болады.Осылайша бағдаршам алдында кептеліс болмайды,егер: