Лекция 4. Элементы приведения. Предварительные вычисления

1. Элементы приведения

2. Предварительные вычисления при обработке линейно-угловых плановых геодезических сетей

1.

Пусть О центр пункта, I – точка установки прибора, V – визирный цилиндр не совпадающий с центром пункта.

Очевидно, что мы будем иметь элементы приведения:

1) центрировки l,Q

2) редукции l',Q'.

В элементах приведения вычисляем поправку за центрировку и редукцию.

2. Они включают:

1) проверку полевых материалов

2) составление сводок результатов

3) составление рабочей схемы плановой сети

4) предварительное решение треугольников и вычисление сферических знаков

5) приведение результатов измерений к центрам знаков

6) вычисление приближенных координат пунктов

7) составление карточек предварительной обработки на каждый пункт

8) составление таблиц направлений приведенных к центрам знаков и редуцированных на плоскость проекции Гаусса-Крюгера

9) анализ полученных результатов

10) обработка результатов тригонометрического нивелирования и вычисление высот пунктов.

4-й пункт. В данной задаче по измеренным углам А, В, С и исходной стороне вычисляются боковые стороны треугольника

,

.

А+В+С=180⁰+ε.

где ε – сферический избыток.

На больших расстояниях измеряются углы в сферическом треугольнике АВС.

С тем, чтобы выявить невязку треугольника из каждого угла извлекают 1/3 избытка. Тогда разность между суммой углов и 180⁰ будет равна невязке.

Формула вычисления сферического избытка

.

5 пункт. По известным формулам вычисляем поправки за центрировку и редукцию в триангуляции.

В линейных сетях или измерениях элементы центрировки и редукции вычисляются по следующим формулам

,

,

,

.

6 пункт. Приближенные координаты вычисляются по известным нам формулам вычисления координат:

- в прямой и угловой засечке

- линейной засечке

- обратной засечке

- полярных координат и другие.

8 пункт. Целью редукционных вычислений является приведение измерений на эллипсоид, а затем на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера.

В связи с этим вычисляют следующие редукции или приведения:

1) редукция за уклонение отвесной линии

2) поправка в направление за высоту наблюдаемой цели над эллипсоидом

При визировании на высокую цель, высота которой Н над эллипсом направление не совпадает с нормальным сечением на величину Δ.

3) поправка за переход от нормального сечения к геодезической линии. Геодезическая линия – кратчайшее расстояние на кривой поверхности

4) поправка в направление за кривизну изображения геодезической линии Гаусса-Крюгера. Последняя поправка для перехода на плоскость

Лекция 5. Уравнительные вычисления

1. Коррелатный способ

1.1 Сущность способа

1.2 Виды условных уравнений

1.3 Число условных уравнений

1.4 Решение условных уравнений по методу условных квадратов

2. Параметрический способ уравнивания

2.1 Сущность способа

2.2 Виды некоторых уравнений поправок

2.3 Решение уравнений поправок по методу наименьших квадратов

1.

1.1 Коррелатный способ легко понять, если его назвать способом условных уравнений или способом условий.

Сущность этого способа заключается в том, что если бы нам были известны истинные значения измеренных величин, то в геодезических сетях выполнялись бы определенные геометрические условия.

Пусть в треугольнике известны значения углов х₁, х₂, х₃.

Тогда в нем должно удовлетворяться следующее условие

х₁+ х₂+ х₃ – 180=0.

Истинные значения нам не известны, а известны только измеренные. В таком случае геометрическое условие не выполняется. Они отягощены случайными ошибками и не равны истинным значениям.

х₁+ х₂+ х₃ – 180=W,

где W – невязка, а в уравнительных уравнениях он заменяется словом - свободный член.

Задачей уравнительных вычислений является найти такие поправки в измеренные значения х₁, х₂, х₃, чтобы компенсировать невязки и получить результат с повышенной точностью.

х₁+V_x1+x₂+ V_x2+x₃+ V_x3 – 180=0

V_x1+V_x2 +V_x3 +w=0

w= х₁+ х₂+ х₃ – 180

Последнее уравнение называется условным уравнением.

В общем виде условное уравнение можно записать

φ₁=( V_x1,V_x2… V_xn)+w₁=0

φ₂=( V_x1,V_x2… V_xn)+w₂=0 (1)

φ_r=( V_x1,V_x2… V_xn)+w_r=0.

r- число условных уравнений. Оно равно числу избыточных измерений в геодезическом построении.

В треугольнике, в котором измерены 3 угла – имеется одно избыточное измерение. Потому, что з-й угол можно измерить по двум измеренным углам.

Систему условных уравнений (1) решают по методу наименьших квадратов и находят такие направления, чтобы точность окончательных результатов была максимальной.

1.2 На примере триангуляции мы ранее рассматривали условные уравнения: фигур, полюсное, базисное, дирекционных углов. В полигонометрии возможны: условное уравнение полигонов, координатные по осям Х и У, углов.

1.3 Число условных уравнений равно числу избыточных измерений.

1.4 Пусть

a₁v₁+a₂v₂+a₃v₃+w₁=0

b₁v₁+b₂v₂+b₃v₃+w₂=0.

где a_i, b_i – коэффициенты условных уравнений при поправках v_i.

w_i – свободный член.

Будем считать, что измерения имеют веса p_i.

Уравнивание по методу наименьших квадратов сводится к постановке задачи на условный экстремум или к минимизации функционала Лагранжа.

k₁, k₂ – коэффициенты Лагранжа или коррелаты.

Неизвестными величинами остаются поправки. Для их вычисления берут производную по поправкам и приравнивают к нулю.

.

По этому же принципу находим остальные две производные.

Получим

,

,

.

Подставляем поправки в условные уравнения, получаем нормальные уравнения

.

После подстановки v₁, v₂, v₃ во второе условное уравнение мы получаем второе нормальное уравнение. Их система имеет вид

,

.

Система нормальная потому, что у нее число уравнений равно числу неизвестных.

k₁, k₂ получают при решении и вычисляют поправки v₁, v₂, v₃.

В матричном виде решение выглядит так

B=

BV+W=0,

Φ = V^TPV+2K^T(BV+W)=min,

, ,

V^TP= - K^TB.

Для вычисления V^T умножим последнее уравнение на матрицу р^-1 справа

V^TP р^-1= - K^TB р^-1

P р^-1=Е – единичная матрица

V^T= - K^TBp^-1

V=(V^T)^T= - (K^TB р^-1)^T= - p^-1B^TK

Подставим V в условное уравнение, составим нормальные уравнения

- Bр^-1B^TK+W=0,

- NK+W=0.

Умножим на N^-1 слева и получим

BV+W=0,

- NK+W=0.

Вычисляем поправку по формуле

V= - р^-1B^TK.

2.

2.1 Сущность этого способа покажем на примере линейной засечки

Пункты А В С являются исходными. Пункт Р – определяемый.

Из математики известно, что для определения t неизвестных необходимо составить t уравнений.

Линейная засечка позволяет составить 2 уравнения

.

В этих уравнениях 2 неизвестных х и у. Эти уравнения устанавливают связь между S₁ и S₂ и неизвестными величинами х и у.

Неизвестные величины называются параметрами, а уравнения - параметрическими уравнениями связи

Однако на практике измеряют больше чем 2 стороны и составляют уже например, 3 уравнения с двумя неизвестными. Такая система называется переопределенной, потому, что число неизвестных меньше числа уравнений.

Традиционными методами элементарной и высшей математики не возможно получить однозначный результат, потому, что может быть много комбинаций решения.

Для получения однозначного решения вводятся дополнительные условия, которые позволяют получить решение однозначное и наиболее точное.

Чаще всего используется условие минимума взвешенной суммы квадратов поправок в измерениях.

Тогда задача формулируется так:

Даны координаты исходных пунктов

Х_А У_А

Х_В У_В

Х_С У_С и т.д.

Измеренные величины S₁ S₂ S₃, приближенные координаты неизвестных х⁰ у⁰.

Для удобства изложения введем следующие переменные:

- поправки в стороны v₁, v₂, v₃;

- поправки в приближенные координаты δх и δу.

х= х⁰+ δх

у= у⁰+ δу.

Решение задачи.

Для того чтобы получить однозначное решение необходимо потребовать выполнение следующих уравнений связи.

,

,

.

Эти уравнения связи решаются при условии минимума взвешенной суммы квадратов поправок в измерения.

.

Или говорят по методу наименьших квадратов.

Задача имеет нелинейный вид общего алгоритма решения нелинейных уравнений. Такие системы решается способом приближений и на каждом приближении решается система линейных уравнений соответственно данной системе нелинейных уравнений.

Для этого исходную систему нелинейных уравнений приводят к линейному виду. Для этого каждое уравнение системы разлагается в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми степенями.

Покажем это на первом уравнении

,

,

где .

Тогда систему не линейных уравнений записывают в линейном виде

,

,

.

.

Такое решение называют уравниванием параметрическим способом.

Покажем алгоритм уравнивания параметрическим способом на примере двух неизвестных.

Пусть имеется в общем случае система

, р₁

, р₂

, р₃

Решим систему при условии

.

Для того, чтобы получался минимум функционала Φ необходимо продеференцировать его по переменным и приравнять производные к 0. приведя подобные члены мы получим

,

Таким образом, вместо трех уравнений связи или уравнений поправок мы получим систему из двух уравнений

,

Поскольку в данной системе число уравнений равно числу неизвестных, то такая система называется нормальной.

Из нее решения находится δx и δy

Соответственно

х=х^о+δх,

y=y^о+δy.

Обобщим данное решение для n-мерного случая

Система других поправок записывается

V=AX+L,

Квадратичная функция

Ф=V^TPV=min,

Найдем Х

Ф=V^TPV=V^TP(AX+L)=min,

,

Выполняем новое транспонирование

,

N – матрица нормальных уравнений

,

.

Для получения решений умножим на N^-1 слева, получим

Поскольку

,

.

Транспонировали – строки заменяются столбцами

Оценка точности

,

где σ – стандарт измерения, вес которого равен единице

.

где n – число уравнений поправок;

t – число неизвестных параметров;

N^-1 – обратная матрица.

Фх – тоже матрица, диагональные элементы которой равны дисперсии неизвестных параметров.

Слово «стандарт» имеет теоретический смысл. На практике вместо него применяется термин среднеквадратическая ошибка и записываем.

Для справки покажем определение коэффициента уравнений поправок для некоторых измерений.

Сторон

Для стороны между двумя контурами первое и второе уравнение поправок имеет вид

где l – свободный член

x_i⁰ y_i⁰ – приближенные координаты определяемых пунктов

S – измеренная длинна

Уравнение поправок направлений

Пусть имеется направление 1, 2, 3 и т.д.

Все направления отсчитывались от 0 лимба.

Направления М₁, М₂, М₃.

Введем дополнительную неизвестную – z.

z- дирекционный угол нулевого деления лимба

Исходя из этого можно записать, что

М_i= - z+α_i

z- называется ориентирующим углом, это дополнительное неизвестное

Пусть имеется направление 1-2

.

Это выражение справедливо, если известны истинные значения всех величин. Но поскольку М измерено, а остальные величины неизвестны, то, задаваясь приближенными значениями координат и ориентирующего угла.

x₁⁰y₁⁰

x₂⁰y₂⁰

z⁰

их поправки δx₁,δy₁

δx₂, δy₂

δz.

А также поправкой в направление v уравнение связи можно переписать так

,

.

Уравнение поправок будет иметь вид

,

где

Уравнение поправок приращение координат измеряемых GPS – методом.

Будем считать, что приращение координат измеряются в геоцентрической системе координат, в которой функционирует сама GPS.

Можно записать следующие уравнение связи

x₁⁰ x₂⁰ y₁⁰ y₂⁰ z₁⁰ z₂⁰ и поправки к ним δx₁⁰ δx₂⁰ δy₁⁰ δy₂⁰ δz₁⁰ δz₂⁰ и поправкам в направления VΔx VΔy VΔz, то напримере приращения координат Δх