Энергетические состояния в прямоугольной квантовой яме сложной формы

• Соответствующие дисперсионные уравнения для определения разрешенных значений энергии и в

этом случае (V ≠ ∞) удаётся представить в виде

•a F0 для первого возбужденного (нечетного) состояния может быть представлено как

• Решение дисперсионных уравнений (9.61) и (9.63) с учетом (9.69) и (9.70) представлено на рис.9.9.

• Анализ показывает, что понижение высоты

стенок КЯ понижает значения разрешенных уровней энергии как для основного четного, так и для возбужденного состояния. Такому

понижению способствует увеличение m3

(эффективной массы материала барьеров).

Рис.9.9. Графическое решение дисперсионных уравнений (9.61) и (9.63) с учетом (9.69) и (9.74):

1- K1l; 2,4,6-F1(K1l); 2,3-m2=m1, U=0, V=∞; 4,5- m2=m1, U=0; V≠∞; 6,7- m2<m1; U≠0; V≠∞

•Выше мы рассмотрели поведение частиц в системах, содержащих изолированные КЯ и потенциальные барьеры. Как уже отмечалось, накопленный к настоящему времени опыт и совершенствование техники для выращивания эпитаксиальных структур позволяют создавать и более сложные гетерокомпозиции, содержащие полупроводников слои со сложным потенциальным профилем. С этой точки зрения большой интерес представляет изучение энергетического спектра частиц в связанных КЯ, так как в таких системах возможно направленное регулирование энергетического спектра и скоростей рассеяния электронов не только с помощью изменения формы КЯ, но и изменения связи между КЯ. Структуры со связанными КЯ стали основой многих электронных и оптоэлектронных приборов. На их основе созданы лазеры инфракрасного диапазона (ИК), приемники (ИК) излучения, элементы нелинейной оптики и быстродействующие транзисторы.

•Для выяснения влияния, оказываемого сближением изолированных КЯ, рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых одномерных прямоугольных КЯ, разделенных проницаемым потенциальным барьером (рис.9.10).

Рис.9.10. Потенциальный профиль и волновые функций для системы из двух прямоугольных КЯ

•Однако для данной задачи возможно и другое решение

уравнения Шредингера (рис.9.10б). Единственное различие между Ψ функциями, показанными рис.9.10, состоит в изменении

знака в одной из КЯ и означает, что волновая функция Ψ

(включая зависимость от времени) в одной из ям отличается по

фазе на 180° от Ψ в другой яме. Принято говорить, что волновая

функция (а) симметрична, а волновая функция (б) - антисимметрична.

•Между значениями энергии для обоих решений (а) и (б) разницы практически нет, что следует из одинаковой для обоих решений формы Ψ(х), а следовательно, одинаковой средней кинетической энергии (~|dΨ /dx|2 ) и средней потенциальной энергии

(~U(x)| Ψ(х)|2 ).

•При сближении КЯ волновые функции (а) и (б) изменяют свою форму (рис.9.11). В этом случае волновая функция (а) будет давать меньшее значение полной энергии Е, поскольку для нее

Среднее значение потенциальной энергии приблизительно такое же, как и в случае (б), тогда как среднее значение кинетической

энергии меньше, так как меньше среднее значение |dΨ /dx|2. В

предельном случае (рис.9.12), когда ширина барьера между

ямами равна нулю, т. е. ямы только что соприкоснулись, Ψ - функция (а) есть не что иное, как волновая функция основного

состояния для КЯ шириной 2W.

Рис.9.11 Изменение волновых функций при изменении расстояния между КЯ

Рис.9.12. Волновая функция для предельного случая, когда барьер только что исчез

• Зависимость энергии для этих двух состояний от расстояния L между КЯ показана на рис.9.13. Для обоих состояний исходным является значение энергии Е,

при L = ∞ (Е, - энергия частицы в состоянии n = 1 для прямоугольной КЯ конечной

глубины). Из рис.9.13 следует также, что при любом значении L уровень E1,

соответствующий изолированной КЯ, расщепляется на два уровня (образуется дублет), причем это расщепление растет с уменьшением расстояния между КЯ. При этом, если частица находится в состоянии с более низкой энергией, то волновые функции в обеих КЯ оказываются в одной фазе; если же частица находится во втором состоянии, волновые функции оказываются в противоположных фазах. Отметим, что расщепление

уровней во взаимодействующих КЯ аналогично расщеплению резонансных частот в связанных резонансных контурах.

•Для |x| < W состояния частицы в этом потенциале описываются уравнением

•При наличии δ-образного потенциала граничные условия в точке x = 0 принимают

Рис.9.13. Зависимость энергии от L для| симметричного и антисимметричног состояний в связанных КЯ.

Кривая а) соответствует

симметричной Ψ-функции;

б) антисимметричной

Рис. 9.14. Энергетическая диаграмма КЯ с

δ-образным потенциалом