1.Числовые ряды

ak

a1

a2 ... an ...

(1.1)

k 1

называется числовым рядом. Числа

,

,…, ,… называются членами ряда. Общим

членом ряда называется .

Пример.

. Первый член ряда

, второй член ря-

да

,…, общий ( -й) член ряда

◄

(1.2)

n

Определение. Числа Sn ak

называются частичными суммами ряда (1.1).

k 1

Определение.

Если существует конечный или бесконечный предел

частичных

сумм Sn ряда (1.1) при n , то его называют суммой ряда:

lim Sn S .

(1.3)

n

Если S - сумма ряда (1.1), то S ak .

k 1

Определение.

Если ряд имеет конечную сумму (S ) , то его называют сходя-

щимся. Если сумма бесконечна (

) или не существует, то ряд называют расходя-

щимся.

Пример. Найти сумму ряда

.

►Разложим

на сумму простейших дробей:

.

Отсюда

. Следовательно,

,

. Та-

ким образом,

. Тогда

.

Следовательно,

. Таким образом, исследуемый ряд имеет конеч-

ную сумму:

◄

Определение. Если в ряде (1.1) отбросить первые n членов, то получится ряд

Rn 1 ak an 1 an 2 an 3 ... ,

(1.4)

Рассмотрим геометрическую прогрессию: ,

,

,…,

,…, где

a 0 . Первый

член прогрессии

, знаменатель прогрессии

. Сумма всех членов прогрессии есть

ряд a q k 1

a a q a q 2 ... a q n .... Как известно из школьной математики, сумма

k 1

первых

n

членов

прогрессии (частичная сумма

ряда) вычисляется

по формуле

S

a (1 qn )

, если q 1. Запишем иначе:

n

1

q

n a

lim Sn

lim a a a a ... a . При четном n

Sn 0 , при нечетном n

Sn a .

n

n

n раз

S

a

равна

.

1 q

.

(1.5)

Доказательство. 1) Рассмотрим остаток Rn 1

ak . Обозначим частичные суммы

k n 1

n m

остатка через S

: S

a

n 1

a

n 2

... a

n m

a

k

. Тогда частичные суммы ряда можно

m

m

k n 1

n m

n

n m

записать в виде:

S

n m

a

k

a

k

a

k

S

n

S

. При фиксированном

m

k 1

k 1

k n 1

lim S

n m

lim

S

n

S

S

n

lim S .

(1.6)

m

m

m

m

m

lim S . Другими словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится его остаток.

m

m

2) Докажем формулу (1.5). Пусть ряд сходится и его сумма равна : lim Sn

S . По

n

только что доказанному это равносильно тому, что сходится остаток: lim S

R

. Тогда

m

m

n 1

из (1.6) получаем: