Лекции танкеева
.pdfАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
41 |
t[x; y] = t(xy yx) = t(xy) t(yx) = ty tx tx ty = ( y)( x) ( x)( y) = yx xy = [x; y];
поэтому [x; y] 2 son(R). Теорема доказана.
33. Экспонента и логарифм квадратной матрицы
Пусть x 2 R. Тогда
lim 1 + x n = ex:
n!+1 n
Действительно, если x = 0, то это соотношение очевидно. Если же x 6= 0, то из второго замечательного предела получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n!+1 |
1 + n |
|
1 + n |
|
( nx ) |
|
= |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Бином Ньютона дает соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
x |
|
n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
m |
|
|
|
||||||||
1 + n |
|
+ |
n(n 1) |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
n(n 1) : : : (n m + 1) |
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
n |
1 2 |
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 2 |
|
m 1 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
n |
: : : 1 n |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 + x + |
1 2 |
|
x |
|
+ + |
|
1 |
2 |
|
|
m |
|
|
|
x |
|
+ : : : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В курсе математического анализа доказывается, что
ex = 1 + x + x2 + + xm + : : :
2! m!
– сумма сходящегося всюду степенного ряда.
Для любого линейного оператора A : E ! E на конечномерном евклидовом пространстве E определим его норму формулой
jjAjj = sup jjA(~e)jj:
~e2E jj~ejj 1
~e7!jj~e j
Поскольку функции A : E ! E и E ! R непрерывны, их композиция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве (компакте) B = fe 2 E j jjejj 1g, и в силу теоремы Больцано – Вейерштрасса ограничена на единичном шаре B. Поэтому норма оператора A существует. Более того, она обладает следующими свойствами:
jjAjj , 8 2 jjA jj , 8 2 A ~ , A
i) = 0 ~e B (~e) = 0 ~e B (~e) = 0 = 0;
ii)jj Ajj = sup~e2B j j jjA(~e)jj = j j jjAjj;
iii)jjA + Bjj = sup~e2B jjA(~e) + B(~e)jj sup~e2B(jjA(~e)jj + jjB(~e)jj) sup~e2B jjA(~e)jj + sup~e2B jjB(~e)jj = jjAjj + jjBjj;
iv)8~e 2 E jjA(~e)jj jjAjj jj~ejj, потому что
42 |
|
|
|
|
|
|
|
С.Г.ТАНКЕЕВ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8~e 6= ~0 |
|
|
~e |
|
= 1; |
1 |
jjA(~e)jj = |
A |
~e |
|
jjAjj; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
~e |
|
~e |
|
~e |
|
|
||||||||||
|
|
jj jj |
|
|
|
jj |
jj |
|
jj jj |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
(действительно, в силу свойства (iv) имеем: ~e |
|
||||||||||||||
v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
|
||
|
jjABjj jjAjj jjBjj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
jj(AB)(~e)jj = jjA(B(~e))jj jjAjj jjB(~e)jj jjAjj jjBjj jj~ejj). |
|
|
|
|
Наличие нормы в пространстве EndR(E) линейных операторов позволяет перенести на функции со значениями в E (линейные операторы) теорию сходящихся последовательностей. По определению, последовательность операторов An сходится к оператору A , jjAn Ajj ! 0 при n ! +1.
|
Для любого линейного оператора A : E ! E определим его экспоненту eA фор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
n = 1 + |
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
Am |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
eA = |
lim |
1 + |
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
+ |
+ : : : |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
m! |
|
|
+ A2 + |
||||||||||||||||
Сходимость обеспечивается теоремой Вейерштрасса, потому что ряд 1 + |
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
+ |
A |
+ : : : |
мажорируется (согласно свойству (v)) сходящимся числовым рядом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m! |
|
|
2 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj1jj + jjAjj + |
jjAjj2! |
+ + |
jjAjjm! |
+ = ejjAjj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Если x 2 Mn(R) – матрица оператора Ax в некотором базисе ~e1; : : : ; ~en простран- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ства E, то можно определить экспоненту e |
теми же формулами: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ex |
|
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
n |
|
|
x |
x2 |
|
|
|
|
|
xm |
: : : |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + n |
|
|
= 1 + |
+ 2! + + m! + |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= n!+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема (без доказательства). Если матрицы x; y 2 Mn(R) коммутируют, т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[x; y] = xy yx = 0, то |
|
|
|
|
|
|
ex+y = ex ey: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Теорема. Если x 2 son(R) – кососимметрическая матрица, то ex – ортогональная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. По условию, tx = x, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t(ex) = lim |
1 + |
|
|
tx |
|
n = |
lim |
1 + |
x |
|
n = e x: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, матрицы x и x коммутируют:
[x; x] = [x; x] = 0;
поэтому 1 = e0 = ex+( x) = ex e x = ex t(ex) и, следовательно, t(ex) = (ex) 1. Поэтому ex – ортогональная матрица. Теорема доказана.
Если x 2 R и jxj < 1, то
x |
dx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
ln(1 + x) = Z0 |
|
|
|
= Z0 |
[1 x + x2 x3 + + ( 1)mxm + : : : ]dx = |
|||||||||
1 + x |
||||||||||||||
x |
|
x2 |
|
+ |
x3 |
|
|
x4 |
+ |
|
+ |
( 1)mxm+1 |
+ : : : ; |
|
2 |
3 |
4 |
|
m + 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
поэтому можно определить логарифм вещественного числа y = 1+x (где jxj < " < 1) формулой
ln y = (y |
|
1) |
|
(y 1)2 |
+ |
(y 1)3 |
|
(y 1)4 |
+ |
|
+ |
( 1)m(y 1)m+1 |
+ : : : |
|
2 |
3 |
4 |
m + 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Теорема (без доказательства). Если y = 1 + x, где x – квадратная матрица, близкая к нулевой матрице, то определен логарифм
|
|
|
|
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
43 |
||||||||||
ln y = (y |
|
1) |
|
(y 1)2 |
|
+ |
(y 1)3 |
|
(y 1)4 |
+ |
|
+ |
( 1)m(y 1)m+1 |
+ : : : |
|
2 |
3 |
4 |
m + 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
причем eln y = y, |
ln ex = x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Если y = ex – ортогональная матрица, близкая к единичной матрице (так что логарифм ln y = ln(ex) = x существует), то x – кососимметрическая матрица.
Доказательство. Поскольку y = ex – ортогональная матрица, то t(ex) = (ex) 1.
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tx = t(ln y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
(y |
|
1) |
|
(y 1)2 |
+ |
(y 1)3 |
|
(y 1)4 |
+ |
|
|
+ |
( 1)m(y 1)m+1 |
+ : : : = |
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m + 1 |
|
|
|
|
||||||||
( ty |
|
1) |
|
( ty 1)2 |
+ |
( ty 1)3 |
|
( ty 1)4 |
+ |
|
+ |
( 1)m( ty 1)m+1 |
+ |
|
= |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
m + 1 |
|
|
|
ln( ty) = ln((ex) 1) = ln(e x) = x
и, следовательно, x – кососимметрическая матрица. Следствие доказано.
Мы видим, что экспонента взаимно однозначно отображает малую окрестность нулевой матрицы в алгебре Ли son(R) кососимметрических матриц на малую окрестность единичной матрицы в группе On(R) ортогональных матриц. Обратное отображение осуществляется с помощью логарифма. В частности,
dimR On(R) = dimR son(R):
Поскольку кососимметрическая матрица x 2 son(R) имеет вид
0 x12 |
|
|
0 |
x23 |
: : : x2n1 |
|
|||
|
0 |
|
|
x12 |
x13 |
: : : x1n |
|
|
|
x = B :x: :13 |
:x: :23 |
: 0: : |
:: :: :: x: :3n:C |
; |
|||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
x |
1n |
|
x |
2 n 1 |
: : : : : : 0 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
||
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
то dimR son(R) = (n 1) + (n 2) + + 1 = n(n 1)=2. Такую же размерность имеет группа ортогональных матриц On(R).
34. Определитель экспоненты. Вычисление экспоненты симметрической матрицы
Теорема. Для любого линейного оператора A : E ! E в евклидовом пространстве E имеем: det eA = eTr A.
Доказательство. Для простоты рассмотрим случай n = 2. Характеристическое
уравнение оператора A имеет вид 2 Tr A + det A2 |
= 0. Поэтому комплексные |
собственные числа оператора A различны , (Tr A) |
4 det A 6= 0. Это условие |
задает открытое плотное подмножество U в кольце EndR(E). Все операторы A 2 U диагонализируются (над полем C комплексных чисел). Значит, в некотором базисе ~e1;~e2 имеем: A(~e1) = 1~e1; A(~e2) = 2~e2, где 1 6= 2 2 C – собственные числа оператора A.
Очевидно,
Am(~e1) = m1 ~e1; Am(~e2) = m2 ~e2;
поэтому
44 |
С.Г.ТАНКЕЕВ |
|||
|
eA(~e1) = e 1~e1; |
eA(~e2) = e 2~e2; |
||
и, следовательно, матрица оператора eA в базисе ~e1; ~e2 имеет вид |
||||
|
|
0 |
e 2 |
: |
|
|
e 1 |
0 |
|
Поэтому |
det eA = e 1 e 2 |
= e 1+ 2 = eTr A: |
||
|
В итоге мы доказали теорему для операторов A 2 U. Поскольку det eA и eTr A непрерывны (как функции от A) и совпадают на открытом плотном подмножестве U ,! EndR(E), то они совпадают всюду. Теорема доказана.
Следующая очевидная теорема позволяет сравнительно просто вычислять экспоненты симметрических матриц и самосопряженных операторов.
Теорема. Пусть A : E ! E – самосопряженный оператор в евклидовом пространстве E, Ae – (симметрическая) матрица оператора A в ортонормированном базисе ~e1; : : : ;~en. В силу спектральной теоремы существует ортонормированный базис
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Пусть Q – матрица пере- |
|||
f1 |
; : : : ; fn, состоящий из собственных векторов оператора |
A |
|||||||||||||
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
n |
qij~ei. |
|
хода от базиса ~e1; : : : ;~en к базису f1; : : : ; fn, определенная формулой fj = |
Pi=1 |
||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
: : : |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
: : : |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Af = Q 1AeQ = B: 0: : : 0:2: |
:: :: :: : : :C; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
n C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ e 1 |
0 |
: : : |
|
|
0A |
|
|
|
||
|
eAf = Q 1eAe Q = |
0 |
0 e 2 |
: : : |
|
|
0 1 |
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
B: |
0: : : 0: : |
:: :: :: |
|
e: :n:C |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
eAe = Q |
|
|
1 |
@ |
|
: : : |
0 1 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
0 0 e 2 |
|
|
Q 1: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
e |
|
0 |
|
: : : |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B: : : |
: : : |
|
: : : |
: : :C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
: : : |
e n |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Все следует из очевидных равенств
A2f = Q 1AeQ Q 1AeQ = Q 1A2eQ; A3f = Q 1A3eQ; : : : ; Amf = Q 1Ame Q:
35. Аффинная группа
Пусть E – конечномерное линейное пространство над полем k. Положим GL(E) = fA : E ! E j det A =6 0g (general linear group). Это группа линейных автоморфизмов
|
|
~ |
|
линейного пространства E над полем k. Очевидно, вектор 0 является неподвижным |
|||
|
|
~ |
~ |
вектором любого линейного оператора A в силу соотношения A(0) = 0. |
|||
|
Мы хотим расширить группу GL(E) обратимых операторов до аффинной группы |
||
|
A (E) = f : E ! E j 8~x 2 E (~x) = A(~x) + ~a; A 2 GL(E); |
~a 2 Eg: |
|
~ |
~ |
~ |
|
Из определения тотчас следует, что (0) = A(0) +~a = ~a. Таким образом, элемент |
|||
0 может переводиться элементами аффинной группы A (E) в произвольный элемент |
|||
~a 2 E, что более отвечает реальностям физического мира. |
~ |
||
|
Проверим, что A (E) действительно является группой. Если (~x) = B(~x) + b, то |
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
45 |
~ |
|
(~x) = ( (~x)) = (A(~x) + ~a) = B(A(~x) + ~a) + b = |
|
~ |
|
B(A(~x)) + B(~a) + b = C(~x) + ~c; |
|
где C = BA 2 GL(E) – произведение линейных операторов A; B 2 GL(E), |
~c = |
B ~ 2 – фиксированный вектор. Поэтому 2 . С другой стороны,
(~a) + b E A (E)
если – обратный элемент для , то мы имеем 8~x 2 E (~x) = ~x. Поэтому
~ |
и, следовательно, 8~x |
2 |
~ |
~ |
B(A(~x)) + B(~a) + b = ~x |
E B(A(~x)) = ~x, B(~a) + b = 0. |
|||
Значит, B = A 1; ~b = A 1(~a), поэтому |
|
|
|
|
8~x 2 E |
1(~x) = A 1(~x) A 1(~a) = A 1(~x ~a): |
|
||
Теорема. Группа A (E) содержит в качестве нормальной подгруппы группу па- |
||||
раллельных переносов |
|
|
|
|
Transl(E) = fT 2 A (E) j 8~x 2 E |
|
~ |
|
|
|
T (~x) = ~x + tg f! E; |
|
причем
A (E)= Transl(E) !f GL(E):
Доказательство. Рассмотрим каноническое отображение
f: A (E) ! GL(E);
7! A:
Проверим, что f – морфизм групп (т.е. что f( ) = f( ) f( ) = B A). Действительно, мы уже знаем, что
B A B ~
(~x) = ( (~x)) + (~a) + b:
Поэтому f( ) = B A = f( ) f( ). С другой стороны, ядро f равно
Ker(f) = f 2 A (E) j A = 1g = f 2 A (E) 8~x 2 E (~x) = ~x + ~ag = Transl(E) !f E
и является нормальной подгруппой в A (E) (согласно общей теореме из теории групп, ядра морфизмов являются нормальными подгруппами); кроме того, согласно общей теореме из теории групп фактор по ядру изоморфен образу, т.е.
A (E)= Ker(f) !f f(A (E)) = GL(E);
что и требовалось доказать.
Определение. Элементы группы A (E) называются аффинными морфизмами. Очевидно, любой аффинный морфизм : E ! E является композицией линей-
ного морфизма A : E ! E и параллельного переноса ~x 7!~x + ~a.
36. Движения (изометрии) евклидова пространства
Определение. Пусть E – евклидово пространство (конечномерное линейное пространство над полем R, снабженное скалярным произведением). Тогда E имеет структуру метрического пространства с метрикой (~x; ~y) = jj~x ~yjj. Движением (изометрией) пространства E называется любое отображение : E ! E, сохраняющее расстояние, т.е.
46 |
С.Г.ТАНКЕЕВ |
8~x; ~y 2 E |
( (~x); (~y)) = (~x; ~y): |
В этом определении движения не предполагается, что – аффинное отображение, но на самом деле – аффинное:
Теорема. Отображение : E ! E является движением , 8~x 2 E (~x) = A(~x) + ~a, где A 2 O(E) – ортогональный оператор. Если, кроме того, A 2 SO(E) (другими словами, A сохраняет ориентацию), то называется собственным движе-
нием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(~x) = A(~x) + ~a, где A 2 O(E) – |
|
Доказательство. Предположим, что 8~x 2 E |
||||||||||||
ортогональный оператор. Поскольку A сохраняет длины векторов, то |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( (~x); (~y)) = (A(~x) + ~a; A(~y) + ~a) = |
||||||
|
|
|
|
|
jj(A(~x) + ~a) (A(~y) + ~a)jj = jjA(~x) A(~y)jj = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
jjA(~x ~y)jj = jj~x ~yjj = (~x; ~y); |
||||||
поэтому – изометрия. |
|
|
|
! E – произвольная изометрия. Пусть ~a = |
||||||||
Предположим теперь, что : E |
||||||||||||
~ |
и |
T~a : E |
! |
E |
– |
параллельный перенос на вектор ~a, определенный формулой |
||||||
(0) |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
является изометрией (потому что композиция двух |
|||||||
T~a(~x) = ~x +~a. Тогда A = T~a |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
изометрий является изометрией). Очевидно, T~a(0) = ~a + 0 = ~a, поэтому |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
1 |
~ |
1 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
A(0) = T~a |
(0) = T~a |
(~a) = 0: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
Следовательно, = T~a A, где A(0) = 0, т.е. любая изометрия является произ-
ведением изометрии A, оставляющей неподвижной точку ~, и сдвига ~a. Осталось
0
T
проверить, что A – линейный ортогональный оператор. Поскольку A – изометрия, то
jjA(~x) A(~y)jj = (A(~x); A(~y)) = (~x; ~y) = jj~x ~yjj:
Полагая в этом соотношении ~, получим:
~y = 0
jjA(~x)jj = jj~xjj
(другими словами, A сохраняет длины векторов).
Проверим, что A сохраняет скалярное произведение: действительно,
jj~xjj2 2(~x; ~y) + jj~yjj2 = (~x ~y; ~x ~y) = jj~x ~yjj2 = jjA(~x) A(~y)jj2 = (A(~x) A(~y); A(~x) A(~y)) =
jjA(~x)jj2 2(A(~x); A(~y)) + jjA(~y)jj2 = jj~xjj2 2(A(~x); A(~y)) + jj~yjj2;
поэтому
(~x; ~y) = (A(~x); A(~y)):
Осталось проверить, что A – линейный оператор. Для этого рассмотрим вектор ~z = ~x + ~y. Очевидно,
0 = jj~z ~x ~yjj2 = (~z ~x ~y; ~z ~x ~y) = jj~zjj2 + jj~xjj2 + jj~yjj2 2(~z; ~x) 2(~z; ~y) + 2(~x; ~y) =
jjA(~z)jj2 + jjA(~x)jj2 + jjA(~y)jj2 2(A(~z); A(~x)) 2(A(~z); A(~y)) + 2(A(~x); A(~y)) = (A(~z) A(~x) A(~y); A(~z) A(~x) A(~y)) = jjA(~z) A(~x) A(~y)jj2:
A A A ~
Поэтому (~z) (~x) (~y) = 0 и
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
47 |
A(~x + ~y) = A(~z) = A(~x) + A(~y):
Аналогично доказывается, что A( ~x) = A(~x). Теорема доказана.
37. Классификация изометрий прямой, плоскости и трехмерного пространства
Изометрии постоянно встречаются в геометрии и механике твердого тела, поэтому мы рассмотрим классификацию изометрий евклидовых пространств малых размерностей.
1) Пусть E = R – аффинная прямая. Любая изометрия : R ! R имеет вид
(x) = "x + a;
где " = 1 (действительно, любой ортогональный оператор A на R сохраняет скалярное произведение и является гомотетией с коэффициентом ", поэтому из соотношения A(x)A(x) = x2 следует, что "x"x = "2x2 = x2 и "2 = 1, " = 1).
Если " = 1, то (x) = x + a, и поэтому – сдвиг (параллельный перенос прямой). Если, кроме того, a 6= 0, то не имеет неподвижных точек.
Если " = 1, то (x) = x + a. Неподвижная точка отображения находится из уравнения x0 = (x0) = x0 +a. Это точка x0 = a=2. Очевидно, 8x 2 E (x) a=2 =(x a=2), поэтому – отражение прямой относительно неподвижной точки a=2 (оно не сохраняет ориентацию):
0 (x) a=2 x
> > >
2) Пусть E – евклидова плоскость, ~e1;~e2 – ортонормированный базис E. Тогда(~x) = A(~x) + ~a, где A – поворот на угол ' (если A сохраняет ориентацию) или A – ортогональный оператор с определителем 1.
Предположим сначала, что A имеет ненулевой собственный вектор. Можно считать, что ~e1 является собственным вектором оператора A с собственным числом1 2 R. Поскольку оператор A ортогональный, то
(A(~e1); A(~e1)) = (~e1;~e1) = 1;
поэтому
( 1~e1; 1~e1) = 21(~e1; ~e1) = 1
и, следовательно, 1 = 1. С другой стороны, 0 = (~e1;~e2) = (A(~e1); A(~e2)) = ( 1~e1; A(~e2)). Поэтому A(~e2) ? ~e1, A(~e2) = 2~e2 = ~e2.
Если 1 = 2 = 1, то 8~x 2 E A(~x) = ~x и – параллельный перенос на вектор ~a. Если 1 = 2 = 1, то 8~x 2 E A(~x) = ~x и (~x) = ~x + ~a. Неподвижная точка отображения находится из уравнения ~x0 = (~x0) = ~x0 + ~a. Это точка ~x0 = ~a=2. Очевидно, 8~x 2 E (~x) ~a=2 = (~x ~a=2), поэтому – отражение плоскости относительно неподвижной точки ~a=2 (оно сохраняет ориентацию). Легко видеть, что в этом случае мы имеем поворот плоскости E вокруг неподвижной точки ~a=2 на
угол .
Наконец, можно считать, что 1 = 2 = 1. В этом случае A(~e1) = ~e1; A(~e2) =
~e2,
48 С.Г.ТАНКЕЕВ
(x1~e1 + x2~e2) = x1~e1 x2~e2 + a1~e1 + a2~e2 = (x1 + a1)~e1 + ( x2 + a2)~e2:
Очевидно, является композицией отражения относительно оси, проходящей через точку (0; a2=2) параллельно вектору ~e1, и сдвига на вектор a1~e1.
Предположим теперь, что A не имеет вещественных собственных векторов. Тогда комплексные собственные числа оператора A связаны соотношениями 2 = 1 (потому что 1 является корнем характеристического уравнения 2 Tr A +det A = 0
с вещественными коэффициентами и, следовательно, 1 также является корнем ха-
рактеристического уравнения), f1g 3 det A = 1 2 = 1 1 = j 1j2 > 0, поэтому det A = 1 и, следовательно, A сохраняет ориентацию (т.е. является поворотом на угол ' 6= 0; 6= ). В этом случае A(~e1) = cos '~e1 +sin '~e2, A(~e2) = sin '~e1 +cos '~e2, поэтому
(x1~e1 + x2~e2) = x1(cos '~e1 + sin '~e2) + x2( sin '~e1 + cos '~e2) + a1~e1 + a2~e2:
Неподвижная точка (x01; x02) определяется уравнением
(x01~e1 + x02~e2) =
x01(cos '~e1 + sin '~e2) + x02( sin '~e1 + cos '~e2) + a1~e1 + a2~e2 = x01~e1 + x02~e2;
которое имеет единственное решение по правилу Крамера:
(
x01(cos ' 1) x02 sin ' + a1 = 0 x01 sin ' + x02(cos ' 1) + a2 = 0;
потому что определитель
|
sin ' |
cos ' |
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
cos ' 1 |
sin ' |
|
= cos2 |
' |
|
2 cos ' + 1 + sin2 |
' = 2 |
|
2 cos ' = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соотношений
(x1~e1 + x2~e2 + (x01~e1 + x02~e2)) =
(x1 + x01)(cos '~e1 + sin '~e2) + (x2 + x02)( sin '~e1 + cos '~e2) + a1~e1 + a2~e2 = x1(cos '~e1 + sin '~e2) + x2( sin '~e1 + cos '~e2)+
x01(cos '~e1 + sin '~e2) + x02( sin '~e1 + cos '~e2) + a1~e1 + a2~e2 = x1(cos '~e1 + sin '~e2) + x2( sin '~e1 + cos '~e2) + (x01~e1 + x02~e2)
следует, что – это поворот плоскости на угол ' вокруг неподвижной точки (x01; x02). В результате доказана следующая теорема:
Теорема. Любая изометрия евклидовой плоскости, сохраняющая ориентацию, является параллельным переносом или вращением вокруг неподвижной точки. Изометрия, не сохраняющая ориентацию, является композицией отражения относительно некоторой прямой и параллельного переноса вдоль этой прямой.
3) Изометрии 3-мерного евклидова пространства допускают следующее описание: Теорема. Любая изометрия 3-мерного евклидова пространства, сохраняющая ориентацию, является винтовой, т.е. является композицией параллельного переноса вдоль некоторой прямой и вращения вокруг этой же прямой (винтовая изометрия включает как чистый параллельный перенос, так и чистое вращение). Изометрия,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
49 |
не сохраняющая ориентацию, является композицией отражения относительно некоторой плоскости и параллельного переноса на вектор, параллельный той же плоскости, либо является композицией отражения относительно некоторой плоскости P и вращения на угол ' вокруг некоторой прямой L, перпендикулярной плоскости P .
Следствие (теорема Эйлера). Любое перемещение твердого тела с одной закрепленной точкой является вращением вокруг некоторой оси, проходящей через закрепленную точку.
38. Аффинная классификация кривых второго порядка
Две фигуры F1 и F2 в пространстве E называются аффинно эквивалентными
, 9g 2 A (E) g(F1) = F2.
Теорема. Любая кривая второго порядка на плоскости аффинно эквивалентна одному из следующих объектов:
1)окружность x2 + y2 = 1;
2)мнимая окружность x2 + y2 = 1;
3)гипербола x2 y2 = 1;
4)парабола y2 = 2x;
5)пара мнимых пересекающихся в одной вещественной точке прямых x2 +y2 = 0;
6)пара вещественных прямых, пересекающихся в одной вещественной точке
x2 y2 = 0;
7)пара параллельных вещественных прямых x2 = 1;
8)пара параллельных мнимых прямых x2 = 1;
9)пара совпадающих вещественных прямых x2 = 0.
Доказательство. Из метрической классификации кривых 2-го порядка известно, что композиция ортогонального линейного оператора и параллельного переноса
приводит уравнение кривой к одному из следующих типов: 10) эллипс xa22 + yb22 = 1;
20) мнимый эллипс xa22 + yb22 = 1; 30) гипербола xa22 yb22 = 1;
40) парабола y2 = 2px;
50) пара мнимых пересекающихся в одной вещественной точке прямых xa22 + yb22 = 0;
60) пара вещественных прямых, пересекающихся в одной вещественной точке
xa22 yb22 = 0;
70) пара параллельных вещественных прямых xa22 = 1;
80) пара параллельных мнимых прямых xa22 = 1; 90) пара совпадающих вещественных прямых x2 = 0.
Замена координат x = ax0, y = by0 отвечает некоторому аффинному линейному оператору и приводит уравнение 10) 30); 50) 80) к соответствующему уравнению 1)-3), 5)-8). Наконец, аффинная замена x0 = px, y0 = y приводит уравнение 40) к виду 4).
Очевидно, эллипс аффинно неэквивалентен кривым 2) – 8), так как он является ограниченным замкнутым 1-мерным множеством (и это свойство сохраняется при аффинных морфизмах), в отличие от кривых 2)–9), множество вещественных точек которых либо пусто (2,8), либо неограничено (3,4,6,7,9), либо нульмерно (5).
Аналогично проверяется неэквивалентность всех других классов. Например, гипербола состоит из двух ветвей, и поэтому неэквивалентна параболе. Наконец, надо учесть, что параллельность прямых сохраняется при аффинных морфизмах.
50 С.Г.ТАНКЕЕВ
39. Понятие о плоскости Лобачевского
Напомним, что любое комплексное число z имеет вид z = x+iy, где x = Re(z) 2 R и y = Im(z) 2 R называются вещественной и мнимой частью z.
Определение. Пусть H = fz 2 C j Im(z) > 0g – верхняя полуплоскость. Назовем "прямыми"в H лучи, перпендикулярные вещественной оси R = fz 2 C j Im(z) = y = 0g, а также полуокружности, центры которых расположены на вещественной оси (такие полуокружности пересекаются с вещественной осью под прямым углом). Верхняя полуплоскость с такими "прямыми"называется плоскостью Лобачевского (или, более точно, моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского).
Теорема. Через любые две точки z1 6= z2 2 H проходит единственная "прямая". Доказательство. Если Re(z1) = Re(z2) = a, то точки z1; z2 лежат на одном вертикальном луче Re(z) = a и не могут лежать на полуокружности с центром на вещественной оси R = fz 2 C j Im(z) = 0g (потому что для любых точек z1 6= z2 на полуокружности выполнено соотношение Re(z1) 6= Re(z2)). Следовательно, в этом
случае существует единственная "прямая проходящая через z1 и z2.
Если Re(z1) 6= Re(z2), то точки z1; z2 не лежат на вертикальном луче. Существует единственная точка a 2 R = fz 2 C j Im(z) = 0g, для которой jz1 aj = jz2 aj, поэтому точка a является центром полуокружности, проходящей через точки z1 и z2. Теорема доказана.
Можно проверить, что все аксиомы обычной евклидовой геометрии (кроме 5-го постулата Евклида) выполнены на плоскости Лобачевского.
Напомним, что 5-й постулат Евклида утверждает существование и единственность прямой на евклидовой плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.
На плоскости Лобачевского 5-й постулат Евклида не выполняется: через данную точку, не лежащую на "прямой"l, можно провести более одной "прямой параллельной (т.е. не пересекающей) l.
На самом деле таких параллельных прямых бесконечно много.
Наша конструкция показывает, что 5-й постулат не является логическим следствием других аксиом евклидовой геометрии.
Хорошо известно, что 5-й постулат Евклида имеет следующую эквивалентную формулировку: сумма внутренних углов треугольника на евклидовой плоскости равна .
Теорема (без доказательства). Сумма внутренних углов треугольника на плоскости Лобачевского строго меньше (угол в точке пересечения двух "прямых"по определению равен обычному углу между касательными в точке пересечения). Более того, сумма внутренних углов треугольника на плоскости Лобачевского может быть сколь угодно малой.
Определение. Фиксируем вещественное положительное число a 6= 1 и определим неевклидово расстояние между точками z1; z2 2 H формулой
L(z1; z2) = loga |
1 + |
z1 |
z2 |
: |
||
|
|
|
z1 |
|
z2 |
|
|
1 |
|
z1 |
z2 |
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
z2 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно проверить, что неевклидовы окружности, т.е. множества точек, равноудаленных от одной точки в смысле неевклидова расстояния L, являются обычными окружностями на верхней полуплоскости, не пересекающими вещественную ось.