Лекции по теории разностных схем

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

С.Г.ТАНКЕЕВ

8v2(x; y; t + ) = v2(x;y+h;t+ 2 )+v2

(x;y h;t+ 2 )

v1(x+h;y;t)+v1(x h;y;t)

v1(x; y; t +

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2015

Размер:

313.85 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

С.Г.Танкеев

1. Разностные методы решения задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши

(

dxdt = f(t; x(t)); x(t0) = x0:

Если f(t; x) и @f@x непрерывны в некотором открытом круге с центром (t0; x0), то из курса теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что в некотором открытом интервале с центром t0 существует единственное решение x(t) задачи Коши. Будем предполагать в дальнейшем, что условия теоремы существования и единственности выполнены.

Очевидно, что

dx	= lim	x(t + ) x(t)	x(t + ) x(t)	;
dt
	!0

где > 0 - шаг по времени t.

Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши основан на том, что задачу Коши мы заменим на разностную задачу

(

x(t+ ) x(t) = f(t; x(t));

x(t0) = x0:

Тогда

(

x(t + ) = x(t) + f(t; x(t)); x(t0) = x0:

Эта разностная схема позволяет последовательно вычислить x(t0 + ); x(t0 + 2 ); : : : ; x(t0 + N ). Ошибка оценивается как

jxзадача Коши(t0 + N ) xразностная задача(t0 + N )j CN ;

где C – некоторая константа, зависящая от f; t0; x0.

Если N достаточно большое, то ошибка также может быть большой. Коши предложил модифицировать разностную задачу, рассматривая вместо формулы Эйлера формулу Эйлера - Коши:

(

x(t + ) = x(t) + 12 [f(t; x(t)) + f(t + ; x(t) + f(t; x(t)))];

x(t0) = x0:

В этом случае ошибка оценивается как

2 С.Г.ТАНКЕЕВ

jxзадача Коши(t0 + N ) xразностная задача Эйлера - Коши(t0 + N )j CN 3;

где C – некоторая константа, зависящая от f; t0; x0. При больших значениях N ошибка остается малой при малых значениях параметра .

Метод Эйлера - Коши позволяет решать задачу Коши на компьютере со сколь угодно высокой точностью.

Аналогично решается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

			8dydt = f2			(t; x(t); y(t));
			>	dx = f1		(t; x(t); y(t));
			>	dt
			>x(t0) = x0;
			>
			<
			>y(t0) = y0:
			>
			>
Формулы разностной задачи имеют:					в этом случае вид
8	f1(t + ; x(t) + f1(t; x(t); y(t)); y(t) +						f2(t; x(t); y(t)))];
>	x(t + ) = x(t) + 1		[f1(t; x(t); y(t))+
		2
		1
>y(t + ) = y(t) +		2	[f2(t; x(t); y(t))+
>		2
>
>
>	f2(t + ; x(t) + f1(t; x(t); y(t)); y(t) +						f2(t; x(t); y(t)))];
>	f2(t + ; x(t) + f1(t; x(t); y(t)); y(t) +						f2(t; x(t); y(t)))];
>
<
>x(t0) = x0;
>

:y(t0) = y0:

Рассмотрим, наконец, задачу Коши

>x00 = f(t; x(t); x0(t));

x(t0) = x0;

:x0(t0) = x00:

Положим x0(t) = y(t). Тогда исходная задача Коши сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

8dx = y(t);

>>dt

>dy = f(t; x(t); y(t));

>>x(t0) = x0;

:y(t0) = x00:

Формулы разностной задачи имеют в этом случае вид

	x(t + ) = x(t) + 21 [y(t) + y(t) + f(t; x(t); y(t))];
8y(t + ) = y(t) + 21			[f(t; x(t); y(t))+
>				f(t; x(t); y(t)))];
>		f(t + ; x(t) + y(t); y(t) +		f(t; x(t); y(t)))];
>
>
>
>
<x(t0) = x0;
>y(t0) = x00 :

Окончательно получаем следующие формулы разностной задачи:

		ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ			3
	x(t + ) = x(t) + y(t) + 21 2 f(t; x(t); y(t));
8y(t + ) = y(t) + 21			[f(t; x(t); y(t))+
>				f(t; x(t); y(t)))];
>		f(t + ; x(t) + y(t); y(t) +		f(t; x(t); y(t)))];
>
>
>
>
<x(t0) = x0;
>y(t0) = x00 :

Ошибка метода по-прежнему оценивается как

jxзадача Коши(t0 + N ) xразностная задача Эйлера - Коши(t0 + N )j CN 3:

Известно, что многие задачи классической механики сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, что позволяет применять разностный метод для их решения.

Решение задач

i) Функция et является решением задачи Коши

(

dxdt = x;

x(0) = 1:

Мы хотим вычислить число e = x(1) различными методами. Напомним прежде всего, что

e = 2:718281828459045 = lim 1 + 1 n :

n!1 n

Воспользуемся сначала методом Эйлера. Разностная схема имеет вид

(

x(t + ) = x(t) + x(t) = x(t)(1 + ); x(0) = 1:

Поэтому x(n ) = (1 + )n.

Полагая = 0:1 и n = 10, получим равенство x(1) = 2:59374246...

Полагая = 0:01 и n = 100, получим равенство x(1) = 2:704813829...

Полагая = 0:001 и n = 1000, получим равенство x(1) = 2:716923932...

Рассмотрим теперь разностную схему Эйлера - Коши

(

x(t + ) = x(t) + 12 [x(t) + x(t) + x(t)] = x(t) 1 + + 22 ; x(0) = 1:

Очевидно, что

2 n x(n ) = 1 + + 2 :

Полагая = 0:1 и n = 10, получим равенства x(1) = (1:105)10 = 2:714080847...

Полагая = 0:01 и n = 100, получим равенства x(1) = (1:01005)100 = 2:718236863...

Полагая = 0:001 и n = 1000, получим равенства x(1) = (1:0010005)1000

=2:718281376...

ii)Функция sin t является решением задачи Коши

4	С.Г.ТАНКЕЕВ

8d2x = x; >dt2

x(0) = 0;

:dxdt (0) = 1:

Положим dxdt = y. Тогда исходная задача Коши сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

8dx = y(t);

>>dt

>dy = x(t);

>x(0) = 0;

:y(0) = 1:

Формулы разностной схемы Эйлера - Коши имеют в этом случае вид

8x(t + ) = x(t) + 1

( )

(

) =

(

) 1

( );

>y(t + ) = y(t) +

y t

x t

y t

[ x(t)

(x(t) +

y(t))] =

x(t) + y(t)

>x(0) = 0;

>y(0) = 1:

Эта же схема позволяет вычислить y(t) = cos t.

iii) Рассмотрим следующую задачу о затухающих колебаниях:

8x(0) = 1;

d22x

= x

dx ;

>dx

= 2:

>dt

;

Положим x0(t) = y(t). Тогда разностная схема Эйлера - Коши принимает вид

8y(t + ) = y(t) +		21 [ x(t) y(t)+
>	x(t + ) = x(t) + y(t) + 21		2 [ x(t) y(t)];
>				y(t))]];
>	[x(t) + y(t) + y(t) + ( x(t)			y(t))]];
>
>
>
>

>x(0) = 1;

:y(0) = 2:

Окончательно получаем:
8x(t + ) = x(t) 1 22		2
>y(t + ) =
>y(t + ) =	x(t)	2
>
>
>

>x(0) = 1;

:y(0) = 2:

+y(t) 22 ;

+ y(t) (1 ) ;

Составим таблицу вычислений с шагом = 0:1:

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ			5
t	x(t)	y(t)
0:	1:	2:
0:1	1:185	1:705
0:2	1:341	1:422
0:3	1:469	1:152
0:4	1:571	0:897
0:5	1:648	0:658
0:6	1:702	0:436
0:7	1:735	0:231
0:8	1:748	0:043
0:9	1:743	0:127
1:0	1:722	0:280
1:1	1:687	0:416
1:2	1:639	0:535
1:3	1:580	0:637
1:4	1:512	0:723
1:5	1:435	0:794
1:6	1:352	0:851
1:7	1:264	0:894
1:8	1:173	0:925
1:9	1:079	0:944
2:0	0:984	0:952
2:1	0:889	0:950
2:2	0:794	0:939
2:3	0:701	0:921
2:4	0:610	0:895
2:5	0:522	0:863
2:6	0:437	0:826
2:7	0:356	0:785
2:8	0:280	0:740
2:9	0:208	0:693
3:0	0:141	0:643
3:1	0:079	0:592
3:2	0:022	0:540

3:3 0:029 0:488

2. Вычисление определенных интегралов по отрезку

Пусть f(t) – непрерывная функция на отрезке [a; b]. Согласно формуле Ньютона - Лейбница имеем:

Z b

f(t)dt = (b) (a);

где (t) = Rat f(t)dt – первообразная функции f(t). Эта первообразная является решением задачи Коши

(

dxdt = f(t); x(a) = 0:

Формула Эйлера - Коши имеет вид

6	С.Г.ТАНКЕЕВ

(

x(t + ) = x(t) + 12 [f(t) + f(t + )]; x(a) = 0:

Она позволяет вычислить x(a+N ) с достаточно высокой точностью. Если параметрвыбран так, что a + N = b, то имеем с точностью до CN 3:

Z b

f(t)dt x(a + N ):

Таким образом сложный вопрос о вычислении определенных интегралов легко решается методом разностных схем.

3. Уравнение распространения тепла в однородном стержне

Рассмотрим однородный стержень длины l. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Расположим ось x так, что левый конец стержня совпадает с точкой 0, а правый конец совпадает с точкой l. Пусть u(x; t) – температура в точках с абсциссой x в момент времени t. Из опыта следует, что количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой x в единицу времени, определяется

формулой

q = k @u@xS;

где S – площадь поперечного сечения, k – коэффициент теплопроводности. Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами x и

x + x. Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой x за время t,

равно

Qx = k @u(x; t)S t; @x

а для сечения с абсциссой x + x имеем:

Qx+ x = k @u(x + x; t)S t: @x

Приток тепла Qx Qx+ x в элемент стержня за время t равен

Qx Qx+ x = k	@u(x; t)		S t + k	@u(x + x; t)		S t k	@2u(x; t)		xS t:
	@x			@x			@x2

Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:

@uQx Qx+ x = c xS u c xS @t t;

где c – теплоемкость вещества стержня, – плотность вещества стержня (так что c xS – масса элемента стержня). В результате мы имеем равенство

k	@2u(x; t)		xS t = c xS	@u	t:
	@x2			@t

Поэтому

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ					7
c	@u	= k	@2u(x; t)	:	(3:1)
	@t		@x2

Обозначим через a2 = k=(c ) коэффициент температуропроводности. Тогда уравнение (3:1) принимает вид

@u(x; t)		@2u(x; t)
	= a2		(3:2)
		@x2
@t

и называется уравнением теплопроводности.

Аналогично доказывается, что уравнение распространения тепла в однородном

трехмерном теле имеет вид

) +

(@y2

) +

(@z2

) :

( @t

) = a2

@x2

(3:3)

@u x; y; z; t

x; y; z; t

@2u x; y; z; t

4. Явная разностная схема решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Рассмотрим первую краевую задачу

	@u(x;t)	= a	2 @2u(x;t)			;
	@t	= a		@x	2	;
8u(x; 0) = '(x);
>
>			1(t);
>u(0; t) =			1(t);
>
<
>u(l; t) =			2(t);
>

где '(x) задает начальное распределение температуры в стержне, 1(t) и 2(t) – это значения температуры на концах стержня в момент времени t (например, эти значения могут сниматься с датчиков, расположенных в концах стержня). Наша задача состоит в вычислении температуры в любой момент времени t в любой точке с абсциссой x.

Фиксируем шаг > 0 по оси времени t и шаг h > 0 по оси x. Заметим, что

@u(x; t)

u(x; t + ) u(x; t)

;

@2u(x; t)

u(x + h; t) 2u(x; t) + u(x h; t)

@x2

(вторая формула следует из теоремы Тэйлора).

Явная разностная схема имеет вид

u(x;t+ ) u(x;t)

u(x+h;t) 2u(x;t)+u(x h;t)

;

u(x; 0) = '(

x);

= a

>u(0; t) = 1(t);

>u(l; t) = 2(t):

Очевидно,

8u(x; t + ) = u(x; t) 1 2ha2			2	+ ha22 [u(x + h; t) + u(x h; t)];
>u(x; 0) = '(x);				(4:1)
>
>u(0; t) =	1	(t);
>	1
<
>u(l; t) = 2(t):

Можно доказать, что эта разностная схема дает хорошее приближение к решению краевой задачи, если выполнено условие устойчивости:

8	С.Г.ТАНКЕЕВ
		h2
			:	(4:2)
		2a2

Ошибка оценивается как

juкраевая задача(x; t) uразностная задача(x; t)j Ch2;

где C – некоторая константа, зависящая от данных краевой задачи.

Если взять =	h2	, то формулы явной разностной схемы существенно упроща-
Если взять =	2	, то формулы явной разностной схемы существенно упроща-
ются:	2a
ются:
		u(x; t + ) =		u(x+h;t)+u(x h;t)		;
		8u(x; 0) = '(x);			2	(4:3)
	>		1(t);			(4:3)
		>u(0; t) =	1(t);
	>
	<
		>u(l; t) =	2(t):
	>

Недостатком явной разностной схемы является то, что при малых значениях h шаг по времени должен удовлетворять условию устойчивости, поэтому – малая величина 2-го порядка по отношению к h. При исследовании переноса тепла в коротких стержнях используют более сложные неявные разностные схемы.

Пример. Рассмотрим первую краевую задачу

8u(x; 0) = 0;
>	@u(x;t)	= a	2	@2u(x;t)		;
>		= a			2	;
>	@t			@x

>u(0; t) = 0;

:u(l; t) = 100:

Мы хотим найти распределение температур в стержне длины l = 9h в момент времени 7 , где = 2ha22 .

В i-й строке следующей матрицы расположены значения температуры в точках

0; h; : : : ; 9h = l в момент времени (i 1)						(мы округляем значения температур до
0.001):
0	0	0	0	0	0	0	0	0	100
0	0	0	0	0	0	0	0	50	100
0	0	0	0	0	0	0	25	50	100
0	0	0	0	0	0	12:5	25	62:5	100
0	0	0	0	0	6:25	12:5	37:5	62:5	100
0	0	0	0	3:125 6:25		21:875	37:5	68:75	100
0	0	0	1:562	3:125 12:5		21:875	45:312	68:75	100
0	0	0:781	1:562	7:031	12:5	28:906	45:312	72:656	100

В итоге мы получили в момент времени 7 следующее распределение температур:

0 0 0:781 1:562 7:031 12:5 28:906 45:312 72:656 100:

5. Явная разностная схема решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольной плоской области (локально одномерная схема)

В прямоугольнике [0; 7h] [0; 5h] рассмотрим первую краевую задачу:

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

= a2 h

u@x2

@y2

@u(x;y;t)

(x;y;t)

@2u(x;y;t)

u(x; y;

0) = 0;

>u(0; y; t) = 100;

>u(7h; y; t) = 300;

>u(x; 5h; t) = 200;

>u(x; 0; t) = 400:

Следуя ([1], гл. IX, § 3, п. 5, с. 522), формально заменим уравнение

@u x; y; t

)

@2u(x; y; t)

(

= a2

@x2

@y2

цепочкой одномерных уравнений теплопроводности

1 @v1

= a2

@2v1

для

n < t n +

;

2 @t

@x2

1 @v2

@2v2

для

= a2

n +

< t (n + 1)

@y2

с условиями

v1(x; y; 0) = u(x; y; 0);

v2 x; y; n +

= v1 x; y; n +

;

v1 (x; y; (n + 1) ) = v2 (x; y; (n + 1) ) ; vij@D = u(x; y; t)j@D;

(5:1)

где через @D обозначается граница области (в данном случае это прямоугольник). Уравнение

1 @v1

= a

2 @2v1

2 @t

@x2

аппроксимируется разностным уравнением

1 v1

x; y; t + 2

v1(x; y; t)

= a2

v1(x + h; y; t) 2v1(x; y; t) + v1(x h; y; t)

Оно имеет вид

x; y; t +

(x; y; t)

x; y; t

) +

(

h; y; t

= a2

v1(x + h; y; t) 2v1(

)

Положим =

. Тогда

v1(x; y; t +

) =

v1(x + h; y; t) + v1(x h; y; t)

;

и поэтому цепочка 1-мерных явных разностных схем принимает следующий вид:

>u(x; y; 0) = 0;

u(0; y; t) = 100;

>u(7h; y; t) = 300;

>u(x; 5h; t) = 200;

:u(x; 0; t) = 400:

Допуская некоторую вольность в обозначениях, мы будем записывать эту цепочку в виде

8u(x; y; t + ) = u(x;y+h;t+ 2 )+u(x;y h;t+ 2 )				;
>	u(x; y; t + ) =	u(x+h;y;t)+u(x h;y;t)	;
>	2	2
>
>u(x; y; 0) = 0;
>
>
>				(5:2)
>				(5:2)

u(0; y; t) = 100;

>u(7h; y; t) = 300;

>u(x; 5h; t) = 200;

:u(x; 0; t) = 400:

При этом надо помнить, что "настоящее"значение температуры в момент времени t + – это u(x; y; t + ), в то время как u(x; y; t + 2 ) играют лишь вспомогательную роль.

Мы получаем следующие распределения температур:

t = 0 :

t = 2 :

t = :

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300:

100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:

100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300:

100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:

100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 125: 100: 100: 100: 100: 175: 300:

100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:

100: 225: 200: 200: 200: 200: 275: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.20191.18 Mб10Лекции методы актив соц-псих.doc
#
21.03.201558.37 Кб23Лекции Нормы, Ораторское искуство.doc
#
07.12.20181.12 Mб9Лекции ОФСС.doc
#
21.12.2018458.08 Кб157лекции по ист пси студ.docx
#
21.03.201560.16 Кб57лекции по логопсихологии.docx
#
21.03.2015313.85 Кб17Лекции по теории разностных схем.pdf
#
03.08.2019177.15 Кб17Лекции по Ф.В №1..doc
#
21.03.20158.64 Mб147Лекции по Цветоводству.docx
#
21.03.2015837.12 Кб228лекции по экологии почв.doc
#
22.03.2015458.18 Кб16Лекции танкеева.pdf
#
21.03.20153.5 Mб255Лекции ЭМС.doc