Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по теории разностных схем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2015

Размер:

313.85 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

1 N 2

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ					21
i+1 =	Bi	;	(i = 1; 2; : : : ; N	1);
	Ci iAi
i+1 =	Ai i + Fi	;	(i = 1; 2; : : : ; N	1):	(10:4)
	Ci iAi

Так как формула (10:3) верна при i = 0, то мы имеем:

y0 = 1y1 + 1;

с другой стороны,

y0 = 1y1 + 1:

Следовательно,

1 = 1;1 = 1:

Поэтому из формул (10:4) можно последовательно вычислить i; i для всех i = 1; 2; : : : ; N.

Осталось найти граничное значение yN . Оно определяется из решения системы уравнений

(

yN = 2yN 1 + 2

(10:5)

yN 1 = N yN + N :

Можно доказать, что из неравенства

jCij jAij + jBij

(10:6)

(которое обеспечивает устойчивость метода прогонки) следует соотношение

1 N 2 6= 0:

Поэтому из (10:5) получим:

yN = 2 + 2 N :

Соберем все формулы прогонки в порядке использования (стрелки наверху указывают направление счета):

8 !i+1

Bi ;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

1 = 1

;

Ci iAi

> 1 = 1;

i i

;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

> i+1

iAi

(10:7)

>yN = 1 N 2 ;

1; N 2; : : : ; 1; 0):

>yi = i+1yi+1 + i+1; (i = N

+ 2

В задаче (10:1) эти формулы имеют вид

8 !i+1

С.Г.ТАНКЕЕВ

ha22

a2 ;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

= 0;

2 2

i 2

1(t + );

> 1 =

i+u(ih;t)

2 a

;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

< i+1

>yN =

2(t + );

h2 +1 i h2

(i = N

1; N

2; : : : ; 1; 0):

>yi = i+1yi+1 + i+1;

Окончательно получаем:

8 !i+1 =

ha22

2 ;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

1 = 0;

i ha2

2h2

> 1 =

1(t + );

(10:8)

+u(ih;t)

> i+1 =

;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

2 a2

+1 i

>u(Nh; t + ) =

2(t + );

>u(ih; t + ) =

i+1

u((i + 1)h; t + ) +

i+1

;

(i = N

1; N

2; : : : ; 1; 0):

Неявная схема устойчива при любых значениях . Это важное преимущество неявных схем перед явными. Оно достигается за счет более сложного алгоритма вычислений.

11. Неявная разностная схема решения краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке при условии теплообмена с окружающей средой

Рассмотрим краевую задачу

8u(x; 0) = '(x);
>	@u(x;t)	= a	2	@2u(x;t)		;
					2
	@t			@x

>@u (0; t) = 1 (u(0; t) uсреды1);

>@x

>:@u@x (l; t) = 2 (u(l; t) uсреды2);

где '(x) задает начальное распределение температуры в стержне, 1; 2 0 – некоторые константы, характеризующие теплообмен концов стержня и окружающей среды. Неявная разностная схема имеет вид

u(x;t+ ) u(x;t)

u(x+h;t+ ) 2u(x;t+ )+u(x h;t+ )

;

u(x; 0) = '(

x);

= a

>u(h;t+ )

u(0;t+ )

= 1(u(0; t + ) uсреды1);

u(l

h;t+ )

>u(l;t+ ) h

2(u(l; t + ) uсреды2):

Очевидно,

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

u(0; t + ) =

u(h;t+ )+ 1 h uсреды1

;

(u(l; t + ) =

1+ 1 h

u(l h;t+ )+ 2 h uсреды2

1+ 2 h

В этом случае

1 =

;

1+ 1 h

8 1 =

h uсреды1

;

> 2 =

;

1+ 2 h

h uсреды2

> 2 =

2 h

Напомним формулы прогонки:

1 = 1;

8 !i+1

;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

Ci iAi

> 1 = 1;

;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

> i+1

iAi

2+ 2 N

;

>yN =

1 N 2

(i = N

1; N

2; : : : ; 1; 0):

>yi = i+1yi+1 + i+1;

В нашем случае имеем:

1 = 1

;

1+ 1

8 !i+1 =

ha22

;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

2 a2

h u

среды1

> 1 = 1 =

;

+u(ih;t)

> i+1 =

;

(i = 1; 2; : : : ; N

1);

2 a2

2+ 2

h uсреды2+ N

>u(Nh; t + ) =

;

>u(ih; t + ) =

i+1

u((i + 1)h; t + ) +

i+1

;

(i = N

1; N 2; : : : ; 1; 0):

(11:1)

(11:2)

(11:3)

12. Решение задачи Дирихле в плоской области

Задача Дирихле в плоской области D формулируется следующим образом: найти гармоническую в области D функцию u(x; y), удовлетворяющую на границе @D условию u(x; y)j@D = '(x; y), где ' – заданная функция на @D.

Если область D односвязная, граница @D кусочно гладкая и функция ' непрерывна на границе @D, то решение задачи Дирихле существует и единственно. Мы воспользуемся тем обстоятельством, что в этом случае можно найти гармоническую функцию u(x; y) как предел

u(x; y) = lim u(x; y; t);

t!+1

где u(x; y; t) – решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности

8	@t	= a2		@ u@x2	+ @y2
>	@u(x;y;t)		h			@2u(x;y;t)
>
<

u(x; y; 0) = 0;

:u(x; y; t)j@D = '(x; y):

;

(12:1)

24	С.Г.ТАНКЕЕВ

Поскольку мы знаем, что задачу (12:1) можно решить с помощью локально одномерной схемы (используя явные разностные схемы), то при больших значениях t мы получим хорошее приближение к решению задачи Дирихле.

Мы проиллюстрируем это на примере из § 5.

В прямоугольнике [0; 7h] [0; 5h] рассмотрим задачу Дирихле:

8	@2u(x;y)		@2u(x;y)		= 0;
8	u(0; y)	=		100;
>	@x2	+		@y2
>
>
>
<u(x; 5h) = 200;					(12:2)
>					(12:2)
>u(7h; y) = 300;

:u(x; 0) = 400:

Для решения этой задачи рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в области D:

@u(x;y;t)	= a	2 @2u(x;y;t)			+	@2u(x;y;t)
@t			@x	2		@y	2

>u(x; y; 0) = 0;

<u(0; y; t) = 100;

>>u(7h; y; t) = 300;

>u(x; 5h; t) = 200;

:u(x; 0; t) = 400:

;

(12:3)

Воспользуемся локально одномерной схемой. Положим = схема имеет следующий вид:

8u(x; y; t + ) = u(x;y+h;t+ 2 )+u(x;y h;t+ 2 )				;
>	u(x; y; t + ) =	u(x+h;y;t)+u(x h;y;t)	;
>	2	2
>

>u(x; y; 0) = 0;

u(0; y; t) = 100;

>u(7h; y; t) = 300;

>u(x; 5h; t) = 200;

:u(x; 0; t) = 400:

Мы получаем следующие распределения температур:

2ha22 . Явная разностная

(12:4)

			100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300:
			100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
t = 0 :			100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
t = 0 :			100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
			100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
			100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
			100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
			100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300:
			100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
t =		:	100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
			100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
	2		100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
			100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
			100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

t = :

t = + 2 :

t = 2 :

t = 2 + 2 :

t = 3 :

t = 3 + 2 :

t = 4 :

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 125: 100: 100: 100: 100: 175: 300:

100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:

100: 225: 200: 200: 200: 200: 275: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 100: 112: 100: 100: 137: 200: 300: 100: 50: 25: 0: 0: 75: 150: 300: 100: 50: 25: 0: 0: 75: 150: 300: 100: 150: 212: 200: 200: 237: 250: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 125: 112: 100: 100: 137: 175: 300: 100: 75: 68: 50: 50: 106: 175: 300: 100: 100: 118: 100: 100: 156: 200: 300: 100: 225: 212: 200: 200: 237: 275: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 106: 112: 106: 118: 137: 218: 300: 100: 84: 62: 59: 78: 112: 203: 300: 100: 109: 100: 109: 128: 150: 228: 300: 100: 156: 212: 206: 218: 237: 268: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 142: 131: 129: 139: 156: 201: 300: 100: 107: 106: 107: 123: 143: 223: 300: 100: 120: 137: 132: 165: 174: 235: 300: 100: 254: 250: 254: 264: 275: 314: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 115: 135: 135: 142: 170: 228: 300: 100: 103: 107: 114: 125: 173: 221: 300: 100: 118: 126: 151: 153: 200: 237: 300: 100: 175: 254: 257: 264: 289: 287: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 151: 153: 157: 162: 186: 210: 300: 100: 116: 130: 143: 147: 185: 232: 300: 100: 139: 180: 185: 194: 231: 254: 300: 100: 259: 263: 275: 276: 300: 318: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

t = 4 + 2 :

t = 5 :

t = 5 + 2 :

t = 6 :

t = 6 + 2 :

t = 7 :

t = 7 + 2 :

С.Г.ТАНКЕЕВ

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 126: 154: 157: 171: 186: 243: 300: 100: 115: 129: 138: 164: 189: 242: 300: 100: 140: 162: 187: 208: 224: 265: 300: 100: 181: 267: 269: 287: 297: 300: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 157: 164: 169: 182: 194: 221: 300: 100: 133: 158: 172: 189: 205: 254: 300: 100: 148: 198: 203: 225: 243: 271: 300: 100: 270: 281: 293: 304: 312: 332: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 132: 163: 173: 181: 201: 247: 300: 100: 129: 152: 173: 188: 221: 252: 300: 100: 149: 175: 211: 223: 248: 271: 300: 100: 190: 281: 292: 302: 318: 306: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 164: 176: 186: 194: 210: 226: 300: 100: 140: 169: 192: 202: 224: 259: 300: 100: 159: 216: 232: 245: 269: 279: 300: 100: 274: 287: 305: 311: 324: 335: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 138: 175: 185: 198: 210: 255: 300: 100: 134: 166: 185: 208: 230: 262: 300: 100: 158: 195: 230: 250: 262: 284: 300: 100: 193: 289: 299: 314: 323: 312: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 167: 183: 192: 204: 215: 231: 300: 100: 148: 185: 207: 224: 236: 269: 300: 100: 163: 227: 242: 261: 276: 287: 300: 100: 279: 297: 315: 325: 331: 342: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 141: 179: 193: 203: 217: 257: 300: 100: 142: 177: 204: 221: 246: 268: 300: 100: 163: 202: 244: 259: 274: 288: 300: 100: 198: 297: 311: 323: 333: 315: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

t = 8 :

t = 8 + 2 :

t = 9 :

t = 9 + 2 :

t = 10 :

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 171: 188: 202: 210: 223: 234: 300: 100: 152: 190: 218: 231: 245: 272: 300: 100: 170: 237: 257: 272: 289: 291: 300: 100: 281: 301: 322: 329: 337: 344: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 144: 186: 199: 212: 222: 261: 300: 100: 145: 185: 210: 231: 251: 272: 300: 100: 168: 213: 254: 273: 281: 294: 300: 100: 200: 301: 315: 329: 336: 318: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 172: 192: 205: 215: 225: 236: 300: 100: 156: 199: 226: 242: 251: 277: 300: 100: 172: 243: 262: 280: 293: 295: 300: 100: 284: 306: 327: 336: 340: 347: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 146: 188: 203: 215: 225: 262: 300: 100: 149: 191: 220: 238: 259: 275: 300: 100: 171: 217: 261: 277: 287: 296: 300: 100: 203: 305: 321: 333: 341: 320: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 174: 195: 210: 219: 229: 237: 300: 100: 158: 202: 232: 246: 256: 279: 300: 100: 160: 248: 240: 285: 300: 297: 300: 100: 285: 308: 330: 338: 343: 348: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

В итоге мы получим при больших значениях t хорошее приближение к решению задачи Дирихле.

Список литературы

[1] А.А.Самарский. Теория разностных схем. М: Наука, 1977

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.20191.18 Mб10Лекции методы актив соц-псих.doc
#
21.03.201558.37 Кб23Лекции Нормы, Ораторское искуство.doc
#
07.12.20181.12 Mб9Лекции ОФСС.doc
#
21.12.2018458.08 Кб164лекции по ист пси студ.docx
#
21.03.201560.16 Кб57лекции по логопсихологии.docx
#
21.03.2015313.85 Кб17Лекции по теории разностных схем.pdf
#
03.08.2019177.15 Кб17Лекции по Ф.В №1..doc
#
21.03.20158.64 Mб149Лекции по Цветоводству.docx
#
21.03.2015837.12 Кб229лекции по экологии почв.doc
#
22.03.2015458.18 Кб16Лекции танкеева.pdf
#
21.03.20153.5 Mб255Лекции ЭМС.doc