Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по теории разностных схем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2015

Размер:

313.85 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

			ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ							11
			100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300:
			100: 100: 112: 100: 100: 137:						200:	300:
t = +		:	100:	50:	25:	0:	0:	75:	150:	300:
t = +	2	:	100:	50:	25:	0:	0:	75:	150:	300:

100: 150: 212: 200: 200: 237: 250: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 125: 112: 100: 100: 137: 175: 300:

t = 2 :

100: 75: 68: 50: 50: 106: 175: 300: 100: 100: 118: 100: 100: 156: 200: 300: 100: 225: 212: 200: 200: 237: 275: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

Подобным же образом можно решать краевую задачу в прямоугольной области трехмерного пространства (рассматривая 3 вместо 2 ).

Произвольная область на плоскости или в трехмерном пространстве аппроксимируется прямоугольными областями, что позволяет распространить локально одномерную схему практически на все области, встречающиеся в инженерных задачах.

6. Явная разностная схема решения краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке при условии теплообмена с окружающей средой

Рассмотрим краевую задачу

8u(x; 0) = '(x);
>	@u(x;t)	= a	2	@2u(x;t)		;
>		= a			2	;
	@t			@x

>@u (0; t) = 1 (u(0; t) uсреды);

>@x

>u(l; t) =	2(t);
>
:

где '(x) задает начальное распределение температуры в стержне, 1 0 – некоторая константа, характеризующая теплообмен левого конца стержня и окружающей среды, 2(t) – значения температуры на правом конце стержня в момент времени t (например, эти значения могут сниматься с датчика, расположенного в правом конце стержня), uсреды – температура окружающей среды. Наша задача состоит в вычислении температуры в любой момент времени t в любой точке с абсциссой x.

Явная разностная схема имеет вид

u(x;t+ ) u(x;t)

u(x+h;t) 2u(x;t)+u(x h;t)

;

u(x; 0) = '(

x);

= a

>u(h;t)

u(0;t)

= 1

(u(0; t)

uсреды);

2(t):

>u(l; t) =

Очевидно,

8u(x; t + ) = u(x; t) h1 2ha22
>u(x; 0) = '(x);
>u(0; t) =		;
>	1+ 1 h
<
>	u(h;t)+ 1 h uсреды
>u(l; t) =	2(t):
>

+ ha22 [u(x + h; t) + u(x h; t)];

(6:1)

12	С.Г.ТАНКЕЕВ

Если взять = 2ha22 , то формулы явной разностной схемы существенно упрощаются:

u(x; t + ) =		u(x+h;t)+u(x h;t)				;
8u(x; 0) = '(x);				2
>u(0; t) =					;
>		1+ 1	h
<						(6:2)
>	u(h;t)+ 1 h uсреды					(6:2)
>u(l; t) = 2(t):

Пример. Рассмотрим краевую задачу

@u(x;t)	= a	2 @2u(x;t)			;
@t			@x	2

<u(x; 0) = 100;

>@u (0; t) = u(0; t) uсреды;

>@x

:u(l; t) = 100;

где 1 = 1, uсреды = 20.

Возьмем = 2ha22 , l = 7h, h = 0:1. В i-й строке следующей матрицы расположены значения температуры в точках 0; h; : : : ; 7h = l в момент времени (i 1) (мы округляем значения температур до 0.001):

100:	100:	100:	100:	100:	100:	100:	100:
92:727 100:		100:	100:	100:	100:	100:	100:
89:421 96:363		100:	100:	100:	100:	100:	100:
87:918 94:710 98:181			100:	100:	100:	100:	100:
86:408 93:049 97:355			99:090	100:	100:	100:	100:
85:346	91:881 96:069		98:677	99:545	100:	100:	100:
84:279	90:707 95:279		97:807	99:338	99:772	100:	100:
83:435	89:779	94:257	97:308	98:789	99:669	99:886	100:

Если теплообмен с окружающей средой происходит и на правом конце стержня, то краевая задача имеет вид

8u(x; 0) = '(x);
>	@u(x;t)	= a	2	@2u(x;t)		;
					2
>	@t			@x

>@u (0; t) = 1 (u(0; t) uсреды1);

>@x

>:@u@x (l; t) = 2 (u(l; t) uсреды2);

где '(x) задает начальное распределение температуры в стержне, 2 0 – некоторая константа, характеризующая теплообмен правого конца стержня и окружающей среды. Явная разностная схема имеет вид

	u(x;t+ ) u(x;t)						2 u(x+h;t) 2u(x;t)+u(x h;t)
					= a			h2	;
8u(x; 0) = '(x);
>u(h;t)		u(0;t)
>				= 1		(u(0; t) uсреды1);
>	h
<u(l;t) u(l			h;t)
>	h				= 2(u(l; t) uсреды2):
>
>

Очевидно,

2(t) –

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

8u x;

'(x);

u(x; t + ) = u(x; t)

2 a2

[u(x + h; t) + u(x h; t)];

(

0) = u(h;t)+

>u(0; t) =

;

1+ 1

h u

среды1

>u(l; t) = u(l h;t

1+ 22 h

среды2 :

Если взять =	h2	, то формулы явной разностной схемы упрощаются:
Если взять =	2	, то формулы явной разностной схемы упрощаются:
2a
		u(x; t + ) =			u(x+h;t)+u(x h;t)
		8u(x; 0) = '(x);				2		;
		>u(0; t) =					;
		>u(0; t) =			1+ 1	h	;
>					1+ 1	h
<			u(l h;t)+			h u
>				u(h;t)+ 1 h uсреды1
		>u(l; t) =			1+ 22 h среды2 :

(6:3)

(6:4)

7. Явная разностная схема решения первой краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности на отрезке

Предположим, что в некоторой части стержня температура u превышает температуру u плавления вещества стержня. Мы будем считать, что плавление происходит в интервале температур (u ; u + ), где > 0 – некоторый вычислительный параметр,

k(u) =

8k1

+2 k2 ;

если u

+ ;

;

если u < u ;

<k2;

если u > u + ;

c>1 1

если u < u

;

(c )(u) =

u + ;

1 2

+ 2 ; если u

;

u > u

+ ;

<c2

c +c

если

где – удельная теплота кристаллизации (количество тепла, которое необходимо для разрушения кристаллической структуры в единице объема), k1; 1; c1 – теплопроводность, плотность и теплоемкость твердого вещества стержня, k2; 2; c2 – теплопроводность, плотность и теплоемкость жидкого вещества стержня.

Обозначим через a2(u) = k(u)=(c )(u) коэффициент температуропроводности и рассмотрим первую краевую задачу

8u(x; 0) = '(x);				@2u(x;t
>	@u(x;t)	= a2(u(x; t))		@2u(x;t	)	;
>		= a2(u(x; t))		2		;
>	@t			@x
>u(0; t) =			1(t);
>
<
>u(l; t) =			2(t);
>

где '(x) задает начальное распределение температуры в стержне, 1(t) и значения температуры на концах стержня в момент времени t.

Фиксируем шаг > 0 по оси времени t и шаг h > 0 по оси x. Явная разностная схема имеет вид

14					С.Г.ТАНКЕЕВ
8	u(x;t+ ) u(x;t)			2		u(x+h;t) 2u(x;t)+u(x h;t)		;
8	u(x; 0) = '(		x);			h	2
>			= a (u(x; t))				2
>u(0; t) =		1(t);
>
<
>u(l; t) = 2(t):

Очевидно,

8u(x; t + ) = u(x; t)
>u(x; 0) = '(x);
>
>u(0; t) =	1	(t);
>	1
<
>u(l; t) = 2(t):

Если

1	2 a2	(u(x;t))	+	a2		(u(x;t))	[u(x + h; t) + u(x h; t)];
		h2				h2

min (c )(u)

min fc1 1; c2 2g

max

; k

max k(u)=min (c )(u)

max k(u)

(7:1)

(7:2)

то можно доказать, что эта разностная схема устойчива и дает хорошее приближение к решению краевой задачи.

Параметр не может быть слишком маленьким, если шаг по времени достаточно большой. В обычных инженерных задачах можно брать = 5 .

Пример. Предположим, что температура плавления u = 100, c1 1 = c2 2 = 1, k1 = k2 = 1, = 5, = 80, 1(t) = 0, 2(t) = 100, '(x) = 120.

При этих условиях имеем:

(1=9; если u [95; 105]:
a2(u) = k(u)=(c )(u) = 1;	если u 2= [95; 105];
	2

Возьмем h = 0:1, = h2=2 = 0:005. Тогда во внутренних точках стержня имеем:

u(x; t + ) =	(u(x; t)	2	8	+	1		[u(x + h; t) +2u(x h; t)];	если u(x; t) [95; 105]:
	u(x+h;t)+u(x h;t)					;	если u(x; t) = [95; 105];
								2
			9		18			2

Получим следующие распределения температур в стержне длины 9h:

		ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ					15
0:	120:	120: 120: 120: 120: 120: 120: 120: 100:
0:	60:	120:	120: 120: 120: 120: 120: 110: 100:
0:	60:	90:	120: 120: 120: 120: 115: 110: 100:
0:	45:	90:	105: 120: 120: 117: 115: 107: 100:
0:	45:	75:	105: 112: 118: 117: 112: 107: 100:
0:	37:	75:	104: 111: 114: 115: 112: 106: 100:
0:	37:	70:	103: 109: 113: 113: 110: 106: 100:
0:	35:	70:	101: 108: 111: 111: 109: 105: 100:
0:	35:	68:	100:	106: 109: 110: 108: 105: 100:
0:	34:	67:	99:	104: 108: 108: 107:		105:	100:
0:	33:	66:	97:	104: 106: 107: 106:		105:	100:
0:	33:	65:	96:	104: 105: 106: 106:		105:	100:
0:	32:	64:	95:	104: 105: 106: 106:		105:	100:
0:	32:	63:	94:	104: 105: 106: 106:		105:	100:
0:	31:	63:	83:	103: 105: 106: 106:		105:	100:
0:	31:	57:	83:	102: 105: 106: 106:		105:	100:
0:	28:	57:	79:	101: 105: 106: 106:		105:	100:
0:	28:	53:	79:	100:	105: 106: 106:	105:	100:
0:	26:	53:	76:	99:	105: 106: 106:	105:	100:
0:	26:	51:	76:	98:	105: 106: 106:	105:	100:
0:	25:	51:	74:	97:	105: 106: 106:	105:	100:

В случае = 0 мы получили бы следующее распределение температур:

0: 120: 120: 120: 120: 120: 120: 120: 120: 100: 0: 60: 120: 120: 120: 120: 120: 120: 110: 100: 0: 60: 90: 120: 120: 120: 120: 115: 110: 100: 0: 45: 90: 105: 120: 120: 117: 115: 107: 100:

0: 45: 75: 105:		112: 118: 117: 112: 107: 100:
0: 37: 75:	93:	111: 114: 115: 112: 106: 100:
0: 37: 65:	93:	103: 113: 113: 110: 106: 100:
0: 32: 65:	84:	103:	108: 111: 109: 105: 100:
0: 32: 58:	84:	96:	107: 108: 108: 104: 100:
0: 29: 58:	77:	95:	102: 107: 106: 104: 100:
0: 29: 53:	76:	89:	101:	104: 105: 103: 100:
0: 26: 52:	71:	88:	95:	103:	103: 102: 100:
0: 26: 48:	70:	83:	95:	99:	102: 101: 100:
0: 24: 48:	65:	82:	91:	98:	100:	101:	100:
0: 24: 44:	65:	78:	90:	95:	99:	100:	100:
0: 22: 44:	61:	77:	86: 94: 97: 99: 100:
0: 22: 41:	60:	73:	85: 91: 96: 98: 100:
0: 20: 41:	57:	72:	82: 90: 94: 98: 100:
0: 20: 38:	56:	69:	81: 88: 94: 97: 100:
0: 19: 38:	53:	68:	78: 87: 92: 97: 100:
0: 19: 36:	53:	65:	77:	85:	92:	96:	100:

Различия проявляются уже при = 0:025. В этом примере очевидна роль удельной теплоты кристаллизации .

16	С.Г.ТАНКЕЕВ

8. Явная разностная схема решения первой краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в прямоугольной плоской области (локально одномерная схема)

Предположим, что температура плавления u = 100, c1 1 = c2 2 = 1, k1 = k2 = 1, = 5, = 80.

При этих условиях имеем:

(1=9; если u [95; 105]:
a2(u) = k(u)=(c )(u) = 1;	если u 2= [95; 105];
	2

Возьмем h = 0:1, = h2=2 = 0:005. В прямоугольнике [0; 7h] [0; 5h] рассмотрим первую краевую задачу:

>@u(x;y;t) = a2(u(x; y; t))

>> @t

>u(x; y; 0) = 0;

<u(0; y; t) = 100;

>>u(7h; y; t) = 300;

>u(x; 5h; t) = 200;

:u(x; 0; t) = 400:

h@			u@x2	+	@y2	i;
		2	(x;y;t)		@2u(x;y;t)

(8:1)

Для решения этой краевой задачи рассмотрим локально одномерную схему. Явная разностная схема имеет следующий вид:

u(x; y; t + 2 ) =

8u(x; y; t)

181

[u(x + h; y; t) + u(x h; y; t)];

u(x+h;y;t)+u(x h;y;t)

если

;

u(x; y; t) 2= [95; 105];

u(x; y; t)

если

[95; 105];

>u(x; y; t + ) =

8u(x; y; t)

[u(x; y + h; t) + u(x; y h; t)];

u(x;y+h;t)+u(x;y

h;t)

;

если

u(x; y; t) = [95; 105];

если

u(x; y; t)

[95; 105];

(8:2)

>u(x; y; 0) = 0;

>u(0; y; t) = 100;

>u(7h; y; t) = 300;

>u(x; 5h; t) = 200;

:u(x; 0; t) = 400:

Мы получаем следующие распределения температур:

	100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300:
	100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
t = 0 :	100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
t = 0 :	100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
	100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
	100:	0:	0:	0:	0:	0:	0:	300:
	100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

t = 2 :

t = :

t = + 2 :

t = 2 :

t = 2 + 2 :

t = 3 :

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ							17
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 125: 100: 100: 100: 100: 175: 300:

100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:
100:	50:	0:	0:	0:	0:	150:	300:

100: 225: 200: 200: 200: 200: 275: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 100: 101: 100: 100: 104: 200: 300: 100: 50: 25: 0: 0: 75: 150: 300: 100: 50: 25: 0: 0: 75: 150: 300: 100: 150: 212: 200: 200: 237: 250: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 103: 102: 100: 100: 108: 175: 300: 100: 75: 63: 50: 50: 89: 175: 300: 100: 100: 118: 100: 100: 156: 200: 300: 100: 225: 212: 200: 200: 237: 275: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 103: 102: 100: 100: 137: 204: 300: 100: 81: 62: 56: 69: 112: 194: 300: 100: 101: 100: 101: 103: 150: 228: 300: 100: 156: 212: 206: 218: 237: 268: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 107: 105: 103: 104: 156: 197: 300: 100: 102: 101: 100: 101: 143: 216: 300: 100: 103: 104: 104: 107: 174: 231: 300: 100: 250: 250: 250: 251: 275: 314: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:

9. Явная разностная схема решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в плоском кольце

Хорошо известно, что в полярных координатах x = r cos '; y = r sin ', поэтому

уравнение	@u(x;y;t)	= a2	@2u(x;y;t)		+	@2u(x;y;t)		принимает вид
	@t		@x	2		@y	2

С.Г.ТАНКЕЕВ

= a2

@2u

1 @u

1 @2u

@r2

@'2

Мы рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в плоском кольце с внутренним радиусом R1 0 и внешним радиусом R2 > R1 при условии, что температура u(r; '; t) не зависит от ' (другими словами, мы будем предполагать, что u(x; y; t) = u(r; t)). В этом случае краевая задача принимает вид

8@u@t = a2 h@@r2u2 + 1r @u@r i;

>u(r; 0) = '(r);

>u(R

; t) =

(t);

>u(R2; t) =

2(t):

Явная разностная схема имеет вид

u(r;t+ ) u(r;t)

u(r+h;t) 2u(r;t)+u(r h;t)

1 u(r+h;t) u(r h;t)

= a

+ r

если r

[R1 + h; R2

h];

(9:1)

>u(r; 0) = '(r);

<u(R1; t) = 1(t);

>u(R2; t) =

2(t):

Очевидно,

2 a2

u(r; t + ) = u(r; t) 1

+ h2

1 +

u(r + h; t) + 1

u(r

h; t) ;

если r

[2R1 + h; R2

h];

u(r; 0) = '(r);

u(R1; t) = 1(t);

>u(R2; t) =

2(t):

(9:2)

Можно доказать, что эта разностная схема дает хорошее приближение к решению краевой задачи, если выполнено условие устойчивости:

	h2
	2a2 :	(9:3)

Если взять = 2ha22 , то формулы разностной схемы существенно упрощаются:

u(r; t + ) =

1 +

u(r + h; t) + 1

u(r h; t) ;

если r

[R1

+ h; R2

h];

>u(r; 0) = '(r);

(9:4)

<u(R1; t) = 1(t);

>u(R2; t) = 2(t):

Пример. Рассмотрим следующую краевую задачу в плоском кольце, внутренний радиус которого равен 3h, а внешний радиус равен 10h:

					ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ						19
						8@u@t = a2 h@@r2u2 + 1r @u@r i;
						>u(r; 0) = 0;
						>
						>u(3h; t) = 0;
						>
						<
						>u(10h; t) = 100:
						>
	h	2				>
	h					>
Возьмем =				. Тогда		:
	2a		2	. Тогда		:
			2		получим следующие распределения температур:
				r =		3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h 10h
				t = 0 :		0: 0: 0:	0:	0:	0:	0:	100:
				t = :		0: 0: 0:	0:	0:	0:	53:	100:
				t = 2 :		0: 0: 0:	0:	0:	28:	53:	100:
				t = 3 :		0: 0: 0:	0:	15:	28:	66:	100:

Если кольцо является кругом радиуса R, то рассмотрим краевую задачу

@u = a2 @2u2 + 1 @u ;

>u(r; 0) = '(r);

@r r @r

>u(R; t) = (t):

формулы разностной схемы принимают вид

Если взять

, то

u(r; t + ) = 21

1 +

u(r + h; t) + 1

u(r h; t) ;

если r

[h;

h];

>u(r; 0) = '(r);

>u(R; t) = (t):

= 0

При этом мы имеем: @r jr=0

, поэтому

u(h; t + ) u(0; t + )

= 0;

так что u(0; t + ) = u(h; t + ). В итоге разностная схема принимает вид

u(r; t + ) = 21

1 +

2hr

u(r + h; t) + 1

2hr

u(r h; t) ;

>u(0; t + ) = u(h; t + );

[h; R

(9:5)

если r

h];

>u(r; 0) = '(r);

:u(R; t) = (t):

10. Неявная разностная схема решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Рассмотрим первую краевую задачу

8u(x; 0) = '(x);
>	@u(x;t)	= a	2 @2u(x;t)			;
>		= a			2	;
>	@t			@x
>u(0; t) =			1(t);
>
<
>u(l; t) = 2(t):

Фиксируем шаг > 0 по оси времени t и шаг h > 0 по оси x. Заметим, что

20				С.Г.ТАНКЕЕВ
	@u(x; t)				u(x; t + ) u(x; t)	;
		@t
	@2u(x; t)		u(x + h; t) 2u(x; t) + u(x h; t)
	@x2				h2

(вторая формула следует из теоремы Тэйлора). Неявная разностная схема имеет вид

			u(x;t+ ) u(x;t)			2 u(x+h;t+ ) 2u(x;t+ )+u(x h;t+ )
					= a		h2		;
	8u(x; 0) = '(x);
	>			1(t);
	>u(0; t) =			1(t);
	>
	<
	>u(l; t) =			2(t):
	>
	>
Очевидно,	:
8 ha22 u(x h; t + ) 2ha22 + 1 u(x; t + ) + ha22 u(x + h; t + ) = u(x; t);
>u(x; 0) = '(x);									(10:1)
>
>u(0; t + ) =	1	(t + );
>	1
<
>u(l; t + ) =	2(t + ):
>
>
>
:
Положим yi 1 = u((i 1)h; t + );						yi = u(ih; t + );		yi+1 = u((i + 1)h; t + )

(i = 1; : : : ; N 1), y0 = u(0; t + ) = 1(t + ), yN = u(Nh; t + ) = u(l; t + ) =

2(t+ ), Fi = u(ih; t). Тогда задача (10:1) становится частным случаем более общей

задачи вида
8y0		= 1y1 + 1;		= Fi;	(i = 1; : : : ; N	(10:2)
>	Aiyi 1 Ciyi + Biyi+1			= Fi;	(i = 1; : : : ; N	1)
<yN = 2yN			1 + 2;
>
:

причем Ai 6= 0; Bi 6= 0 для всех	i = 1:2; : : : ; N 1	и	jCij jAij + jBij.
Мы будем решать задачу (10:2) методом прогонки.
Предположим, что имеется рекуррентное соотношение
yi	= i+1yi+1 + i+1		(10:3)

с неопределенными коэффициентами i и i. Выражение yi 1 = iyi + i подставим в (10:2). Тогда

(Ai i Ci)yi + Ai i + Biyi+1 = Fi:

Из соотношения (10:3) получим:

[(Ai i Ci) i+1 + Bi]yi+1 + Ai i + (Ai i Ci) i+1 = Fi:

Это уравнение выполнено для любых yi, если

(

(Ai i Ci) i+1 + Bi = 0;

Ai i + (Ai i Ci) i+1 + Fi = 0:

Отсюда получаем рекуррентные формулы для i+1 и i+1:

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.20191.18 Mб10Лекции методы актив соц-псих.doc
#
21.03.201558.37 Кб23Лекции Нормы, Ораторское искуство.doc
#
07.12.20181.12 Mб9Лекции ОФСС.doc
#
21.12.2018458.08 Кб164лекции по ист пси студ.docx
#
21.03.201560.16 Кб57лекции по логопсихологии.docx
#
21.03.2015313.85 Кб17Лекции по теории разностных схем.pdf
#
03.08.2019177.15 Кб17Лекции по Ф.В №1..doc
#
21.03.20158.64 Mб149Лекции по Цветоводству.docx
#
21.03.2015837.12 Кб229лекции по экологии почв.doc
#
22.03.2015458.18 Кб16Лекции танкеева.pdf
#
21.03.20153.5 Mб255Лекции ЭМС.doc