МКТ и термодинамика

Разделим обе части последнего уравнения на V и, учитывая, что

VN = n −концентрация молекул, получим

P = nkT

(5)

Оба уравнения (4) и (5) представляют различные формы записи уравнения состояния идеального газа. Это уравнение позволяет достаточно просто оценить параметры газа, если его можно считать идеальным.

Вопросы для самоконтроля

1.Какой газ называется идеальным? Опишите модель идеального газа.

2.Что называется числом степеней свободы механической системы i?

3.Чему равно число i для одноатомной и многоатомной молекул? Обоснуйте свой ответ.

4.Что утверждает закон равнораспределения?

5.Как зависит внутренняя энергия идеального газа от его абсолютной температуры?

6.Как объясняют давление газа в МКТ?

7.Запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Назовите микро- и макропараметры системы.

8.Выведите основное уравнение МКТ.

9.Что позволяет рассчитать уравнение состояния идеального газа Клапейрона – Менделеева?

11

большое число N измерений величины Х. Допустим, что N1 измерений дали результат x1, N2 измерений – результат x2 , Ni – результат xi .

Отношение N1N называется относительной частотой появления результата xi .

Вероятностью появления результата xi называется величина

Pi = lim Ni

N →∞ N

Так как на практике N всегда конечно, то для вычисления вероятности стараются, чтобы N и Ni были достаточно большими. Тогда можно считать, что

Pi ≈ NNi

(Заметим, что вероятность случайного события есть количественная мера ожидаемой возможности его появления).

Рассмотрим ситуацию, когда случайная величина Х имеет непрерывный характер (например скорости молекул). Для этого разобьём всю область измерения Х на отдельные интервалы и будем считать число попаданий случайной величины в тот или иной интервал. Возьмём малую величину ∆x =a и найдём число измерений ∆N0 , при которых 0 ≤ x < a , ∆N1

измерений при a ≤ x < 2a …, ∆Nx измерений, при которых результат измерений находится в интервале от х до х+а ( x ≤ x < x + a ). Вероятность того, что результат измерений окажется в интервале от 0 до а обозначим

(рис. 8.1).

Или, учитывая выражение (1):

13

Смысл условия нормировки легко понять на примере подбрасывания монеты. Сумма вероятностей выпадения «орла» или «решки» (при доста-

точно большом числе опытов) равна 12 + 12 =1. Аналогично для игрального

Статистическое усреднение

Зная функцию распределения f(x), можно найти среднее значение результатов измерения величины х. Из N измерений в dN x случаях из формулы (2) dN x = Nf (x)dx получается результат, равный х. Сумма таких результатов xdNx = xNf (x)dx . Сумма всех возможных результатов равна:

∫xdNx = ∫xNf (x)dx

(в левой части фактически стоит сумма хi ). Разделив обе части на N, получим среднее значение величины х (формула статистического усреднения):

< x >= ∫xf (x)dx

Из приведенной формулы следует, что для определения среднего х необходимо знать функцию распределения f(x). Интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений х.

2. Фазовое пространство, фазовая точка, фазовая ячейка

Введём воображаемое шестимерное пространство, каждая точка которого характеризуется шестью параметрами x, y, z, px , py , pz , где x, y, z –

координаты, px , py , pz – соответствующие им проекции импульсов каж-

дой молекулы. Такое пространство называется фазовым пространством молекул, а его точки – фазовыми точками.

Мгновенное состояние отдельной молекулы полностью характеризуется положением её фазовой точки в фазовом пространстве.

Разобьём теперь всё фазовое пространство молекул на достаточно малые области с одинаковыми фазовыми объёмами. Такие области называются фазовыми ячейками (например, фазовая ячейка может иметь форму бесконечно малого шестимерного прямоугольного параллелепипеда и объём dxdydzdpxdpydpz ).

15