осн. киб лекц

Большинство объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости регулирования, поэтому такие объекты при расчете систем регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени, за который свойства объекта не успевают существенно измениться.

Далее будут рассматриваться линейные стационарные объекты (системы) с сосредоточенными координатами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами:

an y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +...+ a1y′(t) + a0 y(t) = bm x(m) (t) +bm−1x(m−1) (t) +...

Уравнение (3.8) описывает поведение объекта, который имеет статическую характеристику y = b0 x a0

в неустановившемся (переходном) режиме при любой форме входного сигнала x(t). Частными случаями уравнения (3.8) являются уравнения

an y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +...+ a1y′(t) + a0 y(t) = bm x(m)(t) +bm−1x(m−1) (t) +...

an y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +...+ a1y′(t) = bm x(m) (t) +bm−1x(m−1) (t) +...

Для объектов, описываемых уравнением (3.8, а), статическая характеристика существует, но является вырожденной, так как b0 = 0. Для объектов же, описываемых уравнением (3.8, б), статическая характеристика не существует.

Объекты, имеющие статическую характеристику, называются статическими, а не имеющие статической характеристики, называются астатическими.

В большинстве случаев, как уже отмечалось выше, уравнения систем автоматического регулирования оказываются нелинейными, поэтому, если это возможно, проводят линеаризацию этих уравнений при помощи ряда Тейлора путем разложения нелинейных функций некоторых переменных по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их значений, соответствующих установившемуся режиму. В результате получают линеаризованные уравнения в отклонениях. Таким образом, в большинстве случаев дифференциальное уравнение (3.8) является уравнением в отклонениях, которое описывает объект или систему регулирования только в окрестности установившегося режима. Для линейных систем уравнения в отклонениях и исходные уравнения совпадают.

Для получения решения уравнения (3.8) необходимо задать начальные условия, под которыми понимается состояние процесса в момент времени, принятом за его начало t = 0:

Общее решение уравнения (3.8) представляется в виде:

В выражении (3.10) yсв(t) является общим решением соответствующего однородного уравнения и увын(t) – частное решение неоднородного уравнения (3.8). Следовательно, yсв(t) соответствует движению системы в отсутствии входного сигнала x(t) ≡ 0, т.е. собственному свободному движению системы, и определяется свойствами самой системы, которые проявляются в свойствах корней характеристического уравнения. Если эти корни различны, то

i=1

где λi – корни характеристического уравнения; сi – произвольные постоянные, определяемые из на-

чальных условий.

Частное решение увын(t) зависит от вида функции x(t), определяющей входное воздействие на систему, и соответствует вынужденному движению (состоянию) системы.

Решение (3.10) уравнения (3.8) определяет динамический процесс в системе, происходящий с момента подачи входного воздействия, который принят за начало отсчета времени, поэтому движение системы (переходной процесс) рассматривается только при t ≥ 0 , для t < 0 он принят тождественно равным нулю.

Выходной сигнал y(t), получающийся в течение такого процесса, является наиболее полной характеристикой динамических свойств системы, поэтому определение этого сигнала, как уже отмечалось, и является основной задачей теории регулирования. Здесь становится актуальной идея изучения динамических свойств системы с помощью временных характеристик.

3.6Переходная и весовая функции

3.6.1ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ

Для получения переходной функции в качестве стандартного сигнала используется единичная функция времени (2.16). Такого рода воздействию соответствует, например, сброс или включение нагрузки в системах регулирования (отказ мотора в системе регулирования).

Рис. 3.10 Переходная характеристика химического реактора:

а – ступенчатое воздействие; б – кривая разгона

Переходной функцией называется аналитическое выражение для решения линейного дифференциального уравнения (3.8) при входном сигнале x(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях, т.е.

an y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +...+ a1y′(t) + a0 y(t) = b01(t),

Кривой разгона называется реакция объекта (системы) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

На практике кривая разгона определяется экспериментальным путем и используется в качестве исходных данных для анализа и синтеза систем автоматического управления исследуемом объектом.

Здесь следует ввести понятия прямой и обратной задач. Прямая задача (задача Коши) заключается в определении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. В обратной задаче требуется восстановить вид и коэффициенты дифференциального уравнения по известной интегральной кривой, например, переходной функции. Решение обратной задачи представляет значительную сложность вследствие ее некорректности и здесь существует специальный математический аппарат. Так, например, если предположить, что переходная функция описывается решением уравнения первого порядка

a1y′(t) + a0 y(t) = b0x(t) , x(t) = 1(t), у(0) = 0, или Ty′(t) + y(t) = kx(t),

Если для представления входного сигнала использовать не формулу (2.26), а (2.27), то интеграл Дюамеля записывается через переходную функцию:

3.8 Преобразование Лапласа

Основным математическим аппаратом, который используется в теории автоматического управления, является специальный метод прикладного анализа, так называемый операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

3.8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s) другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением

Формула (3.16) определяет прямое преобразование Лапласа. Возможно и так называемое обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал. Оно определяется соотношением

где с – абсцисса сходимости функции x(s).

Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями. Изображения некоторых наиболее часто встречающихся функций в теории управления приведены в табл. 3.1. Если же функция отсутствует в таблице, то ее изображение можно получить непосредственно, пользуясь соотношением (3.16).

Пример 3.1 Требуется найти преобразование Лапласа от функции x(t) = е–at. Согласно определению преобразования Лапласа (3.16) имеем

Таким образом, e−at → s +1 a .

3.8.3 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Одним из важнейших применений операционного исчисления – преобразования Лапласа – является решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которыми как раз и описываются рассматриваемые системы автоматического управления.

Решение дифференциального уравнения в этом случае складывается из следующих этапов:

1)преобразование уравнения по Лапласу;

2)отыскание решения в области комплексного переменного s;

3)переход в область действительного переменного путем обратного преобразования Лапласа.

Пример 3.2

Пусть полином a2s2 + a1s + a0 = 0 имеет корни s1 и s2, тогда, как будет показано ниже, можно записать

y(s) = Cs0 + sC−1s1 + sC−2s2 ,

где C0, C1, C2 – некоторые коэффициенты, определяемые методом неопределенных коэффициентов:

Пользуясь таблицами обратного преобразования Лапласа, находим

y(t) = C0 +C1es1t +C2es2t .

Полученное выражение y(t) является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка при входном сигнале x(t) = 1(t), т.е. ничем иным, как переходной функцией для линейного объекта второго порядка.

3.8.4 РАЗБИЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ

Как видно из примера 3.2, решение дифференциального уравнения, полученное с использованием преобразования Лапласа, представляет собой рациональную дробь. Для облегчения обратного преобразования полученную дробь необходимо разложить на простейшие дроби, пользуясь следующим правилом.

Дробь

называется правильной рациональной дробью, если порядок числителя меньше, чем порядок знаменателя. Для разложения дроби (3.34) необходимо найти корни уравнения ϕn (s) = 0 .

Если корень действительный, то ему соответствует дробь вида

A . s − s1

Если корни действительные кратности k, то им соответствует сумма дробей

Если корни комплексно сопряженные, то

A1s + B . (s2 + as +b)

Если корни комплексно сопряженные кратности k, то

Таким образом, дробь (3.34) можно представить в виде

Коэффициенты А1, ..., Аk; В1, ..., Вm; С1, ..., Сp; D1,..., Dp; F1, ..., Fq; Е1, ..., Еq находятся методом неоп-

ределенных множителей. В этом случае правая часть (3.35) приводится к общему знаменателю и получается равенство двух дробей, у которых знаменатели равны, следовательно, должны быть равны и числители. Из равенства последних составляется система алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов, которая решается известными методами решения линейных алгебраических систем.

При определении оригинала по полученному изображению пользуются следующими формулами соответствия:

Данное изображение раскладывается на простейшие дроби:

Правая часть последнего выражения приводится к общему знаменателю, и из условия равенства числителей получают:

s2 + 2 = A1(s +1)2 (s − 2) + A2 (s +1)(s − 2) + A3(s − 2) + B(s +1)3 .

Из равенства коэффициентов при соответствующих степенях s в левой и правой частях записывается система алгебраических уравнений:

A1 + B = 0;

A2 + 3B =1;

A3 − A2 − 3A1 + 3B = 0;

− 2A3 − 2A2 − 2A1 + B = 2,

решение которой дает А1 = – 2/9; A2 = 1/3; А3 = –1; В = 2/9. Таким образом,

Применяя обратное преобразование, записывается выражение для оригинала:

3.9 Передаточная функция

Одной из основных характеристик объекта управления, используемой в теории автоматического управления, является передаточная функция, записываемая в терминах преобразования Лапласа.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(s) к преобразованному по Лапласу входу х(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция определяется только внутренними свойствами системы, является функцией комплексного переменного и обозначается:

Рис. 3.13 Примеры различных объектов:

а – с одним входом и одним выходом; б – двумя входами и одним выходом; в – двумя входами и двумя выходами

Передаточная функция характеризует динамику объекта только по определенному каналу, связывающему конкретный вход объекта и конкретный выход (рис. 3.13).