шпоры

Равенство расстояний, от любой точкой первого множества до другого множества. Например

• Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

____________________________________________________________________

КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ заключается в том, что любые микрочастицы материи (фотоны, электроны, протоны, атомы и др.) обладают свойствами и частиц (корпускул), и волн

____________________________________________________________________

Соотношение гейзенберга Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения  координаты и среднеквадратического отклонения  импульса, мы найдем что:

, где ħ — приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что  может быть измерен с высокой точностью, но тогда  будет известен только приблизительно, или наоборот  может быть определён точно, в то время как  — нет. Во всех же других состояниях и , и  могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью

Планк в 1900 г. высказал предположение (гипотезу) о том, что свет должен излучаться порциями (квантами). Энергии порции прямо пропорциональна частоте световой волны E=hn, где h - постоянная Планка, n - частота света.

Эйнштейн в 1905 г. выдвинул теорию, согласно которой свет не только излучается и поглощается, но и состоит из дискретных, далее неделимых порций, квантов света. Они представляют собой частицы, которые движутся в пустоте со скоростью 300 000 километров в секунду. Впоследствии (в двадцатые годы) эти частицы получили название фотонов.

Квант (от лат. quantum — «сколько» ) — неделимая порция какой-либо величины в физике. Квантованость значит это - разделенность объекта на элементарные состовляющии. Это значит, что данная величина может принимать только дискретный ряд значений. То есть не может иметь ЛЮБОЕ значение, даже из ограниченного интервала, а именно ДИСКРЕТНОЕ. Например, энергия электрона в атоме (в стационарном состоянии) не может быть произвольной - разрешены только строго определённые значения этой энергии. Это и есть то, что энергия квантована

Энергия фотона 

e=hv=,(1) где h=6.6*10-34 Дж*с - постоянная Планка, =h/2p=1.055*10-34 Дж*с также постоянная Планка, w=2pv - круговая частота.

Как следует из (1) энергия фотона увеличивается с ростом частоты (или с уменьшением длины волны) , и, например, фотон фиолетового света (l=0.38 мкм) имеет большую энергию, чем фотон красного света (l=0.77 мкм) .

____________________________________________________________________

2. Масса фотона определяется исходя из закона о взаимосвязи массы и энергии (Е=mc2) ____________________________________________________________________ 3.Импульс фотона. Для любой релятивиской частицы энергия ее Поскольку у фотона m0=0, то импульс фотона т. е. длина волны обратно пропорциональна импульсу

____________________________________________________________________

. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами.

. Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью  (скорости света), импульс равен  (где  — масса частицы), и . Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше масса частицы и её скорость.

Длина волны де Бройля для нерелятивистской частицы с массой , имеющей кинетическую энергию 

В частности, для электрона, ускоряющегося в электрическом поле с разностью потенциалов  вольт

нерелятивистской частицы Свободные частицы — термин, который используется в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами, и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образовывает идеальный газ.

 А волны де Бройля - это вообще не материальные образования. Для них в частности не действует запрет на сверхсветовые скорости. Это просто математика. во всех взаимодействиях частица проявляет себя именно как частица! "  Это, вообще говоря, неверно. Иначе не было бы повода говорить о корпускулярно-волновом дуализме. Есть ряд физических явлений, в которых частица взаимодействует как волна (например, всем хорошо известная дифракция и интерференция одиночных электронов и др. частиц - частица взаимодействует с препятствием, которое огибает).

Проводилось исследование отражения электронов от монокристалла никеля. Установка включала в себя монокристалл никеля, сошлифованный под углом и установленный на держателе. На плоскость шлифа направлялся перпендикулярно пучок монохроматических электронов. Скорость электронов определялась напряжением  на электронной пушке:

Под углом  к падающему пучку электронов устанавливался цилиндр Фарадея, соединённый с чувствительным гальванометром. По показаниям гальванометра определялась интенсивность отражённого от кристалла электронного пучка. Вся установка находилась в вакууме.

В опытах измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния  от азимутального угла , от скорости  электронов в пучке.

Таким образом наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке монокристала. Опыт явился блестящим подтверждением существования у микрочастиц волновых свойств.

 На третьем рисунке приводены результаты мысленных экспериментов с электронами при наличии двух щелей. Фейнман считал, что используя отличие в прохождении пуль и волн можно определить какого рода объект проходил через эти две щели. В опытах с волновыми свойствами частиц картина распределений получается не такими идеальными, как показано на третьем рисунке, однако точно установлено, что распределение при двух щелях отличается от суммы распределений попадания частиц при наличии каждой из щелей по отдельности. Сравнивая с опытами для пуль и для волн Фейнман делает вывод о том, что электроны обладает такими же свойствами, что и волны. Для анализа прохождения электронов при наличии двух щелей использовалась модель движения электронов в кулоновском поле зарядов,

Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота ν и длина волны λ.

Корпускулярные и волновые характеристики микрообъектов связаны такими же количественными соотношениями, как и у фотона: 

Гипотеза де Бройля постулировала эти соотношения для всех микрочастиц, в том числе и для таких, которые обладают массой m. Любой частице, обладающей импульсом, сопоставлялся волновой процесс с длиной волны λ = h / p. Для частиц, имеющих массу, 

____________________________________________________________________

Канони́ческое коммутацио́нное соотноше́ние — в квантовой механике это соотношение между канонически сопряжёнными операторами, то есть операторами физических величин, являющимисядуальными относительно преобразования Фурье.

Например, каноническое коммутационное соотношение для оператора координаты частицы  и оператора проекции её импульса на ось x  имеет вид:

где квадратными скобками обозначен коммутатор:

____________________________________________________________________

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующимиоператорами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределённостей^{[* 1]} задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

Естественная ширина спектральной линии — ширина спектральной линии излучения, обусловленная взаимодействием с нулевыми колебаниями электромагнитного поля. Любая квантово-механическая система не может находиться сколь угодно долго в возбужденном состоянии. Естественная ширина линии определяется временем жизни возбужденного состояния, то есть интенсивностью его взаимодействия с полем.

В начале XX века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым телам (в том числе и любым микрочастицам) присущи волновые свойства. Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени^[1] :

где  — гамильтониан.

____________________________________________________________________

Волнова́я фу́нкция, или пси-функция  — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

где  — координатный базисный вектор, а  — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

квантовая механика описывает не микрообъекты сами по себе, а их свойства, проявляющиеся в макроусловиях, создающихся классическими измерительными приборами в процессе акта наблюдения.

____________________________________________________________________

Поведение атомных объектов невозможно резко отграничить от их взаимодействия с измерительными приборами, фиксирующими условия, при которых происходят явления^[4]

...в квантовой физике данные об атомных объектах, полученные при помощи разных экспериментальных установок, находятся в своеобразном дополнительном отношении друг к другу.^[8]

...соотношения неопределённостей Гейзенберга...дают связь (обратную пропорциональность) между неточностями допустимого в квантовой механике фиксирования тех кинематических и динамических переменных, которыми в классической механике определяется состояние физической системы.^[8]

____________________________________________________________________

1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл  станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.

2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.

3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции , , . Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

____________________________________________________________________

Ква́нтовая суперпози́ция (когерентная суперпозиция) — это суперпозиция состояний, которые не могут быть реализованы одновременно с классическойточки зрения, это суперпозиция альтернативных (взаимоисключающих) состояний. Принцип существования суперпозиций состояний обычно называется в контексте квантовой механики просто принципом суперпозиции. Из принципа суперпозиции также следует, что все уравнения на волновые функции (например, уравнение Шрёдингера) в квантовой механике должны быть линейными.

____________________________________________________________________

Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Чистое квантовое состояние может быть описано:

• В волновой механике — волновой функцией,

• В матричной механике — вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы.

• Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д.

• 

____________________________________________________________________

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, агамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

____________________________________________________________________

Дискретный спектр энергетических уровней  Изменение энергии атома как квантовой системы характеризуется дискретностью, что обусловливает существование энергетических уровней (электронных слоев) и запрещенных энергетических зон между ними, ширина которых соответствует энергии фотона, излучаемого или поглощаемого электроном при "переходе" (квантовой телепортации) между уровнями. 

____________________________________________________________________

Вакуум в современной квантовой теории поля означает основное, наинизшее состояние полей, описывающих соответствующие элементарные частицы. В квантовой электродинамике различают вакуум электромагнитного поля и вакуум электронно-позитронного поля. Из соотношения неопределенностей следует, что в состоянии вакуума поля совершают нулевые колебания, которые рассматриваются как состояния с виртуально возникающими парами частица-античастица.

Математически это явление для электромагнитного поля может быть представлено как совокупность независимых гармонических осцилляторов со всеми возможными значениями волнового вектора. При этом напряженность электрического поля играет роль скорости, а напряженность магнитного поля — координаты. Из квантовой механики следует, что осциллятор может находиться только в состояниях с дискретными значениями энергии: , где  — число фотонов с волновым вектором k. В основном, наинизшем, состоянии электромагнитного поля фотоны отсутствуют, то есть . При этом энергия электромагнитного поля в вакуумном состоянии оказывается бесконечно большой величиной .

В квантовой электродинамике переходят к отсчету энергии не с нуля, а с нулевого уровня вакуумного состояния электромагнитного поля. Средние значения электрического и магнитного полей в вакуумном состоянии равны нулю, но средние значения квадратов этих величин больше нуля.

____________________________________________________________________

Тунне́льный эффект, туннели́рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике и даже полностью противоречащее ей. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и 

 прозрачность барьера физического соображения: эта величина идёт в показатель экспоненты со знаком минус, так что при переходе к классическому случаю барьер быстро становится непроницаемым. 

____________________________________________________________________

В "релятивистской" динамике кинетическая энергия частиц определяется по двум формулам: первая идентифицирует полученную в электрическом поле энергию сразу в кинетическую E_k = mv²/2 = neU, гдеn - число раз прохождения зарядом e разности потенциалов U; вторая выражается через энергию массы покоя E_k = m₀c²(1/ - 1). Обе эти формулы позволяют расти массе и энергии ускоряемых частиц до бесконечности, что противоречит не только здравому смыслу, но и наблюдаемым явлениям. Рассмотрим следующее выражение для кинетической энергии Т , принимая во внимание, что скорость взаимодействия заряда е с электрическим полем с ростом скорости уменьшается как е.

T = m₀ v²/2 = e U = eU (7)

Здесь е – заряд частицы; m₀ – масса; U – разность потенциалов.

При v<<c T = eU. Найдём m₀. m₀ = 2eU/v² , тогда (7) станет: Т/c² = m₀  = m₀(1 – v²/2c²). В первом приближении кинетическая энергия составит: T = m₀c² – m₀v²/2 (8). Чтобы получить кинетическую энергию в чистом виде, добавим в левую часть (8) m₀c² + T = m₀c² – m₀v²/2. T = - m₀v²/2 (9).

Вопреки утвердившемуся мнению, кинетическая энергия не прибавляется к энергии покоя, а вычитается, что соответствует нормальному превращению одного вида энергии в другой, в полном соответствии с законом сохранения энергии. При приближении v к с кинетическая энергия стремится к m₀с², а энергия покоя убывает до нуля.

Таким образом, кинетическая энергия ускоряемой частицы стремится только к величине энергии покоя, причём она отрицательна сама по себе. Полю Дираку не нужно иметь море виртуальных электронов, протонов, нейтронов и других античастиц с отрицательной кинетической энергией. Мы живём в мире с отрицательной кинетической энергией! Достаточно хорошо разогнать один электрон, чтобы его кинетическая энергия приблизилась к энергии покоя, тогда при встрече с электроном или ядром он доберёт недостающую энергию и, электрон, остановившись, так и остаётся электроном, а отрицательная кинетическая энергия рождает отрицательную частицу, подобную первой, но с другим знаком. Т.е., если это был электрон, то рождается позитрон, если протон – родится антипротон, нейтрон – антинейтрон и т.д. Рождение античастиц является прямым доказательством отрицательности кинетической энергии.

система замкнута и имеет прямоугольную форму, да еще и в возбужденном состоянии.  логично, что частица в подобной системе будет перемещаться циклично, а значит, что минимальной вероятность будет в каждом из двугранных углов. 

Рисунок 7.4.3. – График собственных функций         

Рисунок 7.4.4. – График плотности обнаружения частицы в  потенциальной яме

___________________________________________________________________