Econometrics

Навчально-методичний комплекс

з курсу

„Економетрика”

для студентів економічних спеціальностей денної, очно-заочної та заочної форм навчання

Київ – 2004

Ставицький А.В.

Навчально-методичний комплекс з курсу „Економетрика”. – К., 2004. – 112 с.

Розглянуто та схвалено на зісіданні кафедри економічної кібернетики, протокол № 8 від 29 грудня 2003 р.

Схвалено Вченою радою економічного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, протокол № 5 від 10 лютого 2004 року.

Схвалено Вченою радою Інституту менеджменту та фінансів при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, протокол № 7 від 26 лютого 2004 року.

Рецензенти: О.А.Корольов, д.е.н., професор кафедри статистики та економетрії Київського національного торгово-економічного університету; О.І.Черняк, к.ф.-м.н., доцент, завідувач кафедри економічної

кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

2

3

Загальні положення

Економетричне моделювання широко застосовується в різноманітних економічних дослідженнях. Сьогодні економетрика переживає своє друге народження, що підтверджує вручення у 2003 році Нобелівської премії з економіки одним з найвідоміших вчених-економетристів Гренджеру та Інглу. Опанування курсу „Економетрика” надає студентам навички творчого мислення, формує здатність аналізувати економічні явища, знаходити взаємозв'язок між ними.

Мета вивчення дисципліни – ознайомлення студентів з методами досліджень, тобто методами перевірки, обґрунтування, оцінювання кількісних закономірностей та якісних тверджень (гіпотез) в мікрота макроекономіці на основі аналізу статистичних даних. Знання, здобуті студентами під час вивчення економетрики, широко застосовуються в менеджменті, маркетингу, фінансовій справі тощо.

Завдання курсу полягають у наступному:

•опанування методів побудови та оцінювання економетричних моделей;

•набуття практичних навичок кількісного вимірювання взаємозв'язків між економічними показниками;

•визначення критеріїв для перевірки гіпотези щодо якостей економічних показників та форм їх зв'язку;

•поглиблення теоретичних знань в галузі математичного моделювання економічних процесів та явищ;

•використання результатів економетричного аналізу для прогнозування та прийняття обґрунтованих економічних рішень

Зв'язок з іншими навчальними дисциплінами. Базовими для курсу

„Економетрика” є дисципліни економічного циклу, такі як „Економічна теорія”, „Мікроекономіка”, „Макроекономіка”. Математичною основою курсу є дисципліна „Теорія ймовірностей та математична статистика”. Знання, здобуті при вивченні „Економетрики” знаходять застосування при виконанні творчих індивідуальних завдань, курсових робіт та написанні дипломних проектів.

Форми проведення занять. Поєднання лекційних занять з лабораторними роботами в комп’ютерному класі.

Лекції націлені забезпечити теоретичне підґрунтя курсу, розкрити зміст основних методів аналізу економічної інформації.

Лабораторні заняття передбачають практичне застосування методів економетричного аналізу над економічними даними.

4

Форма контролю. Загальна оцінка виставляється за результатами виконання трьох контрольних робіт та роботи на семінарських заняттях. Перша контрольна робота (на комп'ютерах) перевіряє навички студентів в оцінці множинної регресії за методом найменших квадратів та інтерпретації результатів. Друга контрольна робота (теоретична) містить теоретичні питання та задачі по всьому курсу економетрики. Третя контрольна робота (на комп'ютерах) перевіряє здобуті навички студентів щодо побудови моделі по реальних даних, перевірки статистичних гіпотез.

Програма курсу

Вступ до курсу

Предмет і задачі навчальної дисципліни «Економетрика». Необхідність вивчення економетрики. Мета курсу. Зв'язок з іншими дисциплінами. Застосування економетричних досліджень в економіці.

Проста лінійна регресія

Структура моделі та основні припущення при її побудові. Оцінювання моделі. Метод найменших квадратів. Надійні інтервали оцінок. Числові критерії адекватності моделі. Коефіцієнт детермінації. Інші методи оцінювання моделі та їхнє практичне значення. Властивості параметрів моделі. Залишки моделі. Дисперсія моделі. Перевірка статистичних гіпотез. Гіпотеза про значимість одного з коефіцієнтів. Гіпотеза про лінійні обмеження коефіцієнтів. Перевірка моделі на адекватність. Перевірка моделі на наявність структурних розривів. Критерій дисперсійного аналізу. Критерій Чоу. Прогнозування за допомогою простої лінійної регресії. Моделі, які зводяться до моделі множинної лінійної регресії. Приклади застосування простої лінійної регресії.

Множинна регресія

Структура моделі та основні припущення при її побудові. Оцінювання моделі. Метод найменших квадратів. Надійні інтервали оцінок. Числові критерії адекватності моделі. Коефіцієнт детермінації. Скоригований коефіцієнт детермінації. Властивості параметрів моделі. Залишки моделі. Дисперсія моделі. Перевірка гіпотез. Гіпотеза про значимість одного з коефіцієнтів. Гіпотеза щодо системи лінійних обмежень. Перевірка моделі на адекватність. Перевірка моделі на наявність структурних розривів. Прогнозування за допомогою лінійної регресії. Моделі, що зводяться до моделі множинної лінійної регресії. Виділення сезонних коливань. Регресійні залежності довільного типу. Модель Коба-Дугласа. Приклади застосування множинної лінійної регресії. Інтерпретація коефіцієнтів регресії. Порівняння факторів за ступенем їх впливу. Економічний зміст коефіцієнтів регресії. Коефіцієнти еластичності.

Мультиколінеарність у регресії. Методи визначення мультколінеарності. Шляхи позбавлення мультиколінеарності. Приклади оцінювання регресії з мульколінеарними змінними.

5

Модель лінійної регресії з гетероскедастчними збуреннями

Модель лінійної регресії з гетероскедастичними збуреннями, її структура та основні припущення. Наслідки застосування МНК для оцінювання моделі. Виявлення гетероскедастичності. Критерій Голфелда-Квондта. Критерій Глейзера. Критерій Уайта. Оцінювання моделі. Зважений метод найменших квадратів у випадку відомої коваріаційної матриці збурень. Використання критеріїв Глейзера та Уайта для оцінювання моделі. Методи позбавлення гетероскедастичності. Приклад аналізу лінійної регресії з гетероскедастичними збуреннями.

Модель лінійної регресії з автокорельованими збуреннями

Структура моделі. Наслідки застосування МНК для оцінювання моделі. Виявлення автокореляції. Оцінювання моделі. Узагальнений метод найменших квадратів у випадку відомої кореляційної матриці збурень. Авторегресія першого порядку. Авторегресія другого порядку. Оцінювання моделі у випадку невідомої кореляційної матриці збурень. Методи позбавлення автокореляції. Приклад аналізу лінійної регресії з автокорельованими збуреннями.

Системи одночасних регресійних рівнянь

Структура моделі. Приклади систем одночасних регресійних рівнянь. Класифікація рівнянь та змінних. Структурний та зведений вигляд систем одночасних рівнянь. Ідентифікація систем одночасних рівнянь. Ідентифікація через зведений вигляд. Порядкова умова ідентифікації. Рангова умова ідентифікації. Оцінювання моделі. Непрямий метод найменших квадратів. Двоетапний метод найменших квадратів. Приклад застосування системи одночасних регресійних рівнянь.

Сучасні проблеми економетрики

Методи специфікації моделей. Використання стохастичних регресорів. Безумовне прогнозування за допомогою регресії. Умовне прогнозування за допомогою регресії. Метод максимальної правдоподібності. Використання оцінок максимальної правдоподібності. Перевірка гіпотез за допомогою функції правдоподібності. Моделі бінарного та множинного вибору. Перспективи економетрики.

Вступ до теорії часових рядів

Основні визначення. Порядок аналізу часових рядів. Адитивна та мультиплікативна моделі часових рядів. Міри точності прогнозів. Лаговий оператор. Стаціонарність часових рядів. Функція автокореляції. Стабільність моделі. Методи згладжування часових рядів. Класичні підходи: метод усереднення, подвійне усереднення, процентне диференціювання, процентна різниця). Методи експоненціального згладжування: звичайне, подвійне, потрійне. Несезонна модель Холта-Вінтера. Проблема дезагрегування часових рядів.

6

Тематичний план дисципліни

7

Тема 1. Проста лінійна регресія

Основні визначення та формули

Проста лінійна регресія.

Проста лінійна регресія – рівняння зв'язку двох змінних:

yi = α + βxi + εi , i = 1, n ,

де xi - значення незалежної змінної, yi - значення залежної змінної.

Класичні властивості збурень.

1.M εi = 0

2.Гомоскедастичність збурень:Dεi =Mεi2 = σ2 = const ,i = 1, n .

3.Незалежність збурень:cov (εi ,ε j )= 0,i ≠ j .

4.Незалежність збурень та регресорів: cov (εi , xij )= 0, i, j .

5.Збурення εi нормально розподілені для всіх i.

Оцінка регресії.

Оцінка регресії зводиться до знаходження її параметрів за методом найменших квадратів (МНК):

Можна також скористатися готовими формулами:

βˆ = xy − x y , αˆ = y − βˆx .

x2 − x 2

Вибіркова регресійна функція має вигляд: ˆy = αˆ + βˆx .

Залишки моделі знаходяться за формулою: ei = εˆi = yi −αˆ − βˆxi ,i = 1, n .

Дисперсійний аналіз.

Формула розкладу дисперсії має вигляд

TSS = ESS + RSS ,

n

де TSS = ∑( yi − y)2 – загальна сума квадратів,

i=1

n

ESS = ∑(ˆyi − y)2 – пояснена сума квадратів,

i=1

n

RSS = ∑ei2 –сума квадратів залишків.

i=1

8

Статистичні властивості оцінок найменших квадратів.

Mαˆ = α ,

M βˆ = β ,

Теорема Гауса-Маркова.

Для простої лінійної регресії з гомоскедастичними, некорельованими збуреннями оцінки МНК мають найменшу дисперсію в класі всіх лінійних незміщених оцінок.

Коефіцієнт детермінації.

Коефіцієнт детермінації R2 визначається як відношення поясненої і загальної сум квадратів:

R2 = TSSESS = 1 − TSSRSS

Коефіцієнт детермінації є частиною дисперсії залежної змінної, яка пояснюється за рахунок моделі, або, іншими словами, завдяки мінливості незалежної змінної. Коефіцієнт детермінації є мірою тісноти саме лінійного зв’язку між x та y. Коефіцієнт детермінації завжди знаходиться в межах від

нуля до одиниці. Чим ближче R2 до 1, тим точніше x пояснює y.

Коефіцієнт та індекс кореляції.

Тісноту зв'язку між змінними вивчає лінійний коефіцієнт парної кореляції

(−1 ≤ rxy ≤1):

та індекс кореляції

Гіпотеза про адекватність моделі ( F -тест ).

H0 :α = β = 0 .

Необхідно обрахувати практичне значення

9

R2

Fpr = 1 −1R2

n − 2

та порівняти його з теоретичною статистикою Фішера з 1 та n-2 степенями свободи і рівнем надійності 1 −α :

Fteor = F (1, n − 2,1 −α).

ЯкщоFpr < Fteor , то гіпотеза H0 приймається, тобто регресія є статистично

незначимою (неадекватною).

Гіпотеза про значення нахилу регресії.

H0 :β = m .

Обраховується практичне значення:

та порівнюється з теоретичною статистикою Стьюдента з n-2 степенями свободи:

tteor = t (n − 2,1 −α).

Якщо tpr < tteor , то гіпотеза H0 приймається, тобто значення коефіцієнту β

можна прийняти рівнимm .

Аналогічно перевіряється гіпотеза про значення коефіцієнта α . Частковим випадком гіпотези про значення нахилу регресії є гіпотеза про

значимість коефіцієнта регресії.

Гіпотеза про значимість коефіцієнта регресії.

H0 :β = 0.

Обраховується практичне значення: tpr = s.e.βˆ(βˆ)

та порівнюється з теоретичною статистикою Стьюдента з n-2 степенями свободи:

tteor = t (n − 2,1 −α).

Якщоtpr < tteor , то гіпотеза H0 приймається, тобто коефіцієнт β є значимим

Гіпотеза про значимість кореляції між змінними x та y .

H0 :rxy = 0.

Обраховується практичне значення:

10