mah3

Измерительные понятия имеют поэтому в этой области ничтожное значение. Связь психологии с физиологией и, посредственно, с физикой может в будущем изменить это положение дела.

5. Попытаемся теперь психологически выяснить происхождение представления и понятия числа из непосредственной или посредственной биологической потребности. Дети, не имеющие еще понятия о счете, в возрасте 2—3 лет, сразу замечают, если в небольшой группе одинаковых монет или игрушек взять ка- кую-нибудь тайком или прибавить. Несомненно, и животное научается биологической нуждой различать, например, небольшие группы одинаковых плодов по их содержанию и предпочитает группу более богатую содержанием. Потребность в более тонком развитии этой способности различения приводит к развитию понятия числа. Чем больше членов объединяется в одну группу, без утраты ее обозреваемости и различимости отдельных членов, тем выше ценим мы означенную способность. Нашим детям удается сначала объединять в группу 2,3,4 члена, не теряя из виду различения этих членов. При этом близость членов по времени или пространству может содействовать образованию группы, а различие членов, в смысле их положения во времени или пространстве, может обусловить различение их. Так зарождаются первые представления о числах, смотря по влиянию среды, с названием или без названий. Эти представления развиваются через зрение, осязание или слух (в последнем случае наблюдением ритма)1. Употребление представлений о числах при смене разных объектов ведет нас, с помощью названий чисел, к пониманию особой однородной реактивной деятельности, независимой от рода объектов, к понятию числа2. Для получения более ясных численных представлений о группах с более богатым содержанием, последние разделяются на систематически расположенные, уже привычные части. Эту историю развития мы находим воплощенной в численных знаках ассирийцев, египтян, обитателей Мексики, римлян и других народов3. Свидетельствуют об этой истории и наши игральные карты, и камни домино. Вполне правильно ведем мы детей в элементарной школе по тому же пути, который прошли самостоятельно все народы, именно даем

Научаются считать как люди зрячие и слышащие, так и слепые и глухонемые. Глухонемой Massieu сам говорит: «Я знал числа прежде, чем меня стали учить; меня научили им мои пальцы». (Туlor, Einleit. i. d. Studium d. Anthropologie, стр. 372; см. также Tylor, Anfänge d. Kultur. I, стр. 241 и след.)

Численные понятия приобретаются лишь выполнением численных операций в различных случаях. См. стр. 147, примечание.

См. таблицу I у М. Cantor, Mathem. Beiträge zum Kulturleben der Völker. 1863.

315

изображения группы объектов, упорядоченных и разделенных легко обозреваемым способом4. Но это средство делать обозримым содержание членов группы имеет узкие пределы.

6. Кроме этого средства -- наглядного распорядка членов какой-нибудь группы — есть еще и другое. Каждый член группы, которую желают обозреть, присоединяют к члену другой группы объектов, нам весьма знакомой и привычной. Первобытные народы пользуются в качестве такой труппы пальцами рук, а иногда

иног5. Мы сами, будучи детьми, пользовались этим примитивным средством, чтобы усилить наши численные представления созерцанием этих особенно привычных нам объектов. Когда пальцы во время этого процесса называются и, хотя бы без особого намерения, из простой привычки употребляются всегда в одном

итом же порядке, то из этих названий пальцев развиваются при частом упражнении имена числительные, причем первоначальное значение этих названий забывается6. Так как все содержание членов группы твердо упорядочено, то имя числительное определяет число членов упорядоченной, сосчитанной группы7. Таково доказанное историей культуры происхождение имен числительных. Потребность в них и повод к их развитию проявлялись довольно часто, когда приходилось устанавливать число друзей или врагов, делить добычу, добытую на войне или на охоте и т. д.

7.Это средство упорядочения может быть легко с помощью небольшого искусственного приема превращено в средство, пределы применения которого безграничны. Рассматривают группу из десяти членов как один член высшей группы, группу из десяти таких высших групп — как один член еще высшей группы

ит. д. И, подобно тому как каждую группу можно рассматривать как один член высшей группы, так можно каждый член рассмат-

С. Schneider, Die Zahl im grundlegenden Rechenunterricht. Berlin, 1900.

Подробнее см. Tylor, E i. d. St. d. Anthropologie, стр. 372 и след. Племя Tamaпаса, живущее вдоль реки Ориноко, говорит «целая рука» вместо пяти, «обе руки» вместо десяти, «целый человек» вместо двадцати. Следы этого примитивного способа счета сохранились еще у народов высоко цивилизованных; французы, например, называют число 80 «quatre-vingt».

Tylor, Anfänge der Kultur. I, стр. 248 и след. Tylor, Anthropologie, стр. 373.

A. Lanner, Die wissenschaftlichen Grundlagen des ersten Rechenunterrichts. Wien und Leipzig, 1905. В этом сочинении много очень хороших психологических замечаний относительно того, как дети научаются считать, как у них образуются первые численные понятия и т. д. Понятие единицы может быть получено лишь из общего понятия числа специализацией абстракции. Задача 1x2 или в особенности 1x1 может быть понята только после того, как поняты задачи 2x2 или 3x2, как ид1 — после я2, ап и т. д. Сходное с этим замечание см.

Ribot, L'évolution des idées générales. Paris, 1897, стр. 160.

316

ривать как группу из десяти меньших равных членов, что особенно ясно бывает при счете (измерении) того, что поддается безграничному делению, например длин, но может быть выполнено и везде. Таким образом система чисел становится применимой как для счета бесконечно большого, так и для счета бесконечно малого8.

8. Пусть группа А и группа В состоят из одних равных членов. Будем связывать каждый член группы А соответственно с одним членом группы В. Если обе группы исчерпываются одновременно, мы говорим, что они имеют равное содержание или — короче — обе группы равны. Если В исчерпывается, когда группа А еще не исчерпана, то содержание А больше содержания В.

Числами мы называем такие понятия, через которые мы определяем группы, из равных членов состоящие, в смысле их содержания, и различаем одну от другой. Там, где место численных представлений занимают численные понятия, нет уже непосредственной наглядности, а только потенциальная наглядность. Численное понятие дает нам возможность везде, где это важно и где мы не боимся затраты труда, наглядно представлять себе содержание группы, по крайней мере посредственно. Мы не станем останавливаться здесь на ученом споре, какие числа должно считать в психологическом и логическом отношении первичными: количественные или порядковые. Да и невозможно из этих систем, которые установляются впоследствии, приписывать одной исключительное руководящее значение для культурного развития. Численные названия для маленьких чисел могут несомненно образоваться и без какого-либо принципа порядка. Но там, где число выходит за пределы непосредственно наглядного, принцип порядка оказывается безусловно необходимым для образования понятия числа или количества, хотя этот принцип может и не быть прямо выражен. Когда мы считаем равные или кажущиеся нам равными объекты, то вместе с названием числа мы присоединяем к объектам, которые до тех пор едва различали, отличительные знаки; эти последние очень скоро вновь утратили бы для нас обозреваемость, если бы они в то же время не были порядковыми знаками, образующими простую, весьма знакомую и привычную нам систему. Только лишь принцип порядка, благодаря которому каждое число потенциально содержит в себе представление обо всех предшествующих ему числах и вместе с тем ясно указывает положение его между двумя определен-

Наша десятичная система обязана своим естественным происхождением десяти пальцам рук и по аналогии с ней могут быть придуманы какие угодно другие системы.

317

•

ными членами системы, обусловливает большие преимущества числа перед простым названием. Каждый алфавитный указатель, цифры страниц какой-нибудь книги, каждый распределенный по номерам инвентарь и т. д. дает нам ясно почувствовать ценность порядка для быстрой ориентировки.

9. Часто называют числа «плодами свободного творчества человеческого духа». Обнаруживающееся здесь восхищение пред человеческим духом весьма естественно пред готовым и внушительным зданием арифметики. Но пониманию этого творчества гораздо более способствует, если мы наблюдаем инстинктивные начатки его и обстоятельства, вызвавшие потребность в нем. Такое исследование, может быть, приведет к мысли, что первые относящиеся сюда образования были бессознательными и биологически вынуждены материальными условиями, ценность которых могла быть познана лишь после того, как они были уже налицо и много раз обнаруживали уже свою полезность. Только воспитанный на таких более простых образованиях интеллект мог постепенно развиться до более свободных, сознательных и быстро удовлетворяющих потребность данного момента изобретений.

10. Для торговли и сношений, купли и продажи, требуется развитие арифметики. Культура примитивная пользуется для подкрепления своих расчетов простыми приборами или счетными машинами; таковы, например, римская счетная доска (Abacus) или китайские счеты, ставшие общеизвестными через посредство русских и приобретшие права гражданства в наших элементарных школах. Во всех этих приборах подлежащие счету объекты символизируются в подвижных предметах, костяшках, шариках или других вещах, которыми и оперируют, вместо того чтобы оперировать более тяжеловесными объектами. Группа десятков, сотен и т. д. отмечены особыми знаками, которым отведены специальные отделения в машине9. Если взять понятие машины (вспомогательного приспособления) несколько свободнее и шире, то и в наших арабских (индийских) цифрах и десятичной системе, в которой отсутствие групп в известном классе обозначается нулем10, тоже должно видеть счетную машину, которая с помощью бумаги и карандаша может быть устроена в любой момент. При этом наше внимание "еще более облегчается, так как цифры делают излишним счет членов каждого класса.

Механические счетные машины Паскаля, Лейбница, Бэббэджа, Томаса и др., выполняющие арифметические операции посредством вращений рукоятки и зубчатых передач, как и современные интеграфы, представляют собой естественное дальнейшее развитие примитивных счетных машин.

Важное изобретение нуля приписывается индусам.

318

И. В наших сношениях могут возникать различные задачи. Является, например, потребность объединить в одну группу две или несколько групп равных членов и указать число членов этой новой группы, т. е. возникает задача сложения. Примитивное решение этой задачи заключается в том, чтобы были пересчитаны все члены группы, получаемой в результате объединения, все равно, были ли уже ранее пересчитаны члены в отдельных группах или нет. И, действительно, наши дети пользуются еще и в настоящее время этим способом, оперируя над маленькими числами и приобретая при этом опыт в счете. Этим опытом они впоследствии пользуются при сложении больших, написанных согласно десятичной системе, чисел, сосчитывая отдельно единицы, отдельно десятки и т. д. и перенося получающиеся при этом единицы высших классов в эти последние. Уже этот простой пример показывает, что вычисление (арифметическое действие) состоит в освобождении от прямого считания, причем это последнее, с помощью числового опыта, заменяется возможно проще ранее уже исполненными действиями счета. Вычисление есть непрямое или косвенное считание. Представим, что нам нужно сложить 4 или 5 многозначных чисел и что эта задача один раз решается прямым сосчитыванием, а другой раз — обычным способом вычисления: сразу видна огромная экономия во времени и работе, заключающаяся в последнем способе. Столь же часто встречаются в практической жизни случаи, побуждающие к решению задач на вычитание, умножение, деление и т. д. И опять можно показать, что и здесь дело сводится к упрощенному, сокращенному счету с применением приобретенного уже числового опыта, но мы не будем на этом больше останавливаться11.

12. Итак, материальная среда, окружающая нас, далеко не столь неповинна в развитии наших арифметических понятий, как это иногда думают. Если бы физический опыт не учил нас тому, что существует множественность эквивалентных, постоянных вещей, если бы биологическая потребность не понуждала нас к объединению этих вещей в группы, счет не имел бы никакой цели и смысла. К чему нам было бы считать, если бы наша среда была совершенно непостоянна, как во сне менялась каждый момент? Если бы прямой счет не был практически неиспол-

Мое изложение этих вопросов от 1882 г. (Populäre Vorlesungen, 3 изд. стр. 224) очень близко подходит к взглядам Гелъмголъца и Кронекера (Сборник, изданный в честь Целлера, 1887 г.). Другие пункты я попытался осветить в моей книге «Wärmelehre», 2 изд., стр. 65 и след. См. также прекрасный подробный разбор этих вопросов у Af. Pack, «Zählen und Rechnen» (Zeitschr. f. Philos, u. Pädagogik von Flügel u. Rein, Jahrg 2, стр. 196 и след.). Далее: Czuber, Zum Zahl

and Grössenbegriff (Zeitschr. f. d. Realschulwesen, Jahrg. 29, стр. 267).

319

г

ним при определении больших чисел, вследствие огромной затраты на него времени и труда, ничто не побуждало бы нас к изобретению вычисления, посредственного счета. Прямым счетом мы только чувственно констатируем фактически данное. Так как арифметические действия представляют собой лишь косвенный счет, то ясно, что с их помощью мы ничего не можем узнать существенно нового о чувственном мире, ничего, чего не мог бы дать и прямой счет. Как может, следовательно, математика предписывать a priori природе законы, если она по необходимости ограничивается только тем, что, пользуясь опытами упорядочивающей деятельности считающего, доказывает согласие результатов арифметического действия с исходными данными. Но навык в наблюдении и понимании различных форм собственной упорядочивающей деятельности может поэтому все же иметь высокую ценность и освещать один и тот же факт с самых различных точек зрения.

13. Простые начатки арифметики развились на службе практической жизни. Дальнейшее же ее развитие получилось вследствие того, что арифметика стада предметом особой профессии. Кому неоднократно приходится проделывать одни и те же вычисления и кто приобрел в этом деле особую сноровку и обобщающий взгляд, тому особенно легко заметить возможные упрощения и сокращения метода. Так зарождается алгебра, общие символы которой не обозначают особых чисел, а сосредоточивают внимание на форме операций. Алгебра решает все совпадающие по форме операции сразу для всех случаев, и тогда остается только небольшая работа вычисления со специальными числами. Алгебраические выражения, как и вообще математические, выражают всегда лишь эквивалентность различных видов распределительной, упорядочивающей деятельности. Это относится, например, к общим сторонам уравнения, выражающего теорему бинома. Когда мы рядом с квадратным уравнением пишем формулу его корней, мы в такой же мере устанавливаем эквивалентность двух операций, как если поместить рядом дифференциальное уравнение и его интеграл. Кстати заметим, что математически язык знаков опять-таки представляет собой род машины для облегчения головы, — машины, при помощи которой мы символически совершаем быстро и легко операции, которые без нее нас утомляли бы. Вместе с тем математическое письмо есть прекраснейший и наиболее совершенный пример удачной пазиграфии, правда, для ограниченной области.

14. Рассмотрение групп равноценных объектов приводит непосредственно только к понятию целых чисел. Если объекты

320

суть индивиды, не поддающиеся разложению на равноценные части, то при счете их находят вообще разумное применение только целые числа. Но деление, как аналитическая противоположность синтетическому умножению, приводит в особых случаях к разделению единичных сосчитанных объектов (единиц), к дробным числам, которые, конечно, имеют смысл только для единиц, действительно разделимых. Применения арифметики к геометрии, например уже попытка выразить диагонали и стороны квадрата в одних и тех же единицах, равно как и чисто арифметические операции, извлечение корня, как аналитическая противоположность синтетическому возведению в степень, приводят к фикции чисел, не подлежащих полному определению

никакими конечными численными операциями, — к фикции иррациональных чисел. Побуждают к образованию новых понятий и операции простейшие, как сложение и вычитание. Действия 7 + 8 или 8 — 5 осуществимы всегда. Но операция 5 — 8 представляет собой нечто невозможное, если дело идет о совершенно равных численных объектах, не представляющих никакой противоположности. Но эта операция становится сразу возможной и получает разумный смысл, как только соответствующие единицы образуют какую-нибудь противоположность, как имущество и долг, движения вперед и назад и т. д. Так приходим мы к понятию противоположности положительных и отрицательных чисел, для обозначения которых сохраняются знаки сложения и вычитания, при каковых действиях впервые обнаружилась потребность в фиксировании этой противоположности. Строго говоря, были бы необходимы для обозначения этой противоположности особые знаки. Правило знаков для умножения обозначенных (положительных и отрицательных) чисел вытекает из того, что произведение (а - Ь) · (с - а) должно совпадать с произведением, которое получается, если заменить множители простыми величинами т и п. В случае чисел без противоположности, такое правило умножения не имеет никакого смысла. По упомянутому правилу знаков и положительное и отрицательное число дают положительный квадрат. Это обстоятельство ведет однако к тому, что квадратный корень из отрицательного числа должен с первого взгляда показаться невозможным, мнимым. И действительно, такой корень, как и отрицательное число, долгое время считались невозможными. И покуда неизвестна никакая другая противоположность, кроме противоположности положительных и отрицательных чисел, это так и остается. Wallis12, руководствуясь геометрическими приложениями алгебры, первый пришел к

12 Wallis, Algebra. 1673, Кар. 66-69.

мысли рассматривать лДГ, как среднее пропорциональное между —1 и +1 (+1 : / = / : —1, откуда / = V^T). Этот взгляд встречается более или менее ясно еще несколько раз, пока Argand1* не изложил его с полной ясностью и всеобщностью. Распространяя пропорциональность не только на величину, но и на направление, он придает выражению о + thi-( значение вектора в плоскости. Мы доходим от начальной точки этого вектора до конечной, передвигаясь в одном направлении на отрезок а и затем в направлении, перпендикулярном к первому, на отрезок Ъ. Таким образом точки плоскости могут быть изображены через комплексы.

15.Итак, практика арифметики в некоторых случаях приводит

к(аналитическим) операциям, которые на первый взгляд кажутся невозможными, или их результаты — не имеющими никакого смысла. Но при более близком рассмотрении оказывается, что

при небольшом видоизменении и расширении принятых до тех пор арифметических понятий эта невозможность исчезает и результат получает очень ясный смысл, правда, при несколько расширенной области применения арифметики. После того как математики были вынуждены против своей воли видоизменять свои понятия и когда они оценили значение и преимущества таких процессов, стало доступным быстрее удовлетворять назревавшие потребности именно через свободное творчество или даже предвосхищать эти потребности. Блестящие примеры такого творчества мы находим у Грассмана, Гамильтона и др. в области векториального исчисления, в котором численные понятия непосредственно приспособляются к потребностям геометрии, кинематики, механики, физики и т. д.

16.Упомянем еще об одной современной попытке выразить

вопределенных понятиях не только беспредельно возрастающее или уменьшающееся бесконечное, но и актуально бесконечное.

Впервом дне своих диалогов (1638) Галилей обращает внимание на следующий парадокс: бесконечное множество целых чисел кажется как будто гораздо большим числом, чем количество квадратных чисел, а между тем, так как каждому числу должно соответствовать свое квадратное число, то количества тех и других чисел должны быть равны. Приходит он к тому заключению,

R.Argand, Essai sur la manière de représenter les quantités imaginaires. Paris, 1806.

Взгляд ArgancTa становится ясным из следующего примера. Пусть от ка- кой-нибудь начальной точки проведен вектор г, от той же начальной точки проведен вектор лгпод углом φ к первому и от нее же в той же плоскости проведен вектор п2г под тем же углом φ ко второму вектору и в том же направлении; тогда он называет второй вектор средним пропорциональным между первым и третьим. Сочинение ArgancTa представляет собой образец изложения новой мысли.

322

что категории равного, большего, меньшего неприменимы к бесконечному. Эти рассуждения, следы которых можно проследить до античной эпохи, приводят к исследованиям Г. Кантора о многообразиях. Пример Галилея показывает, как можно прийти, например, к следующим определениям: два многообразия обладают равной мощностью, если каждый элемент одного из них однозначно и взаимно соответствует элементу другого. Два такие многообразия называются эквивалентными. Многообразие бесконечно, если оно эквивалентно собственной же своей части14. Исследования Кантора показывают, что и в области актуально бесконечного возможно целесообразным построением упорядочивающих понятий сохранить обозреваемость многообразия.

17.Что касается логико-математического изложения учения

очисле, я хотел бы указать здесь на ясно и привлекательно написанную книгу L. Couturat15. Точка зрения, с которой обсуждается здесь предмет, соответствует психологическому и культурно-исто- рическому изучению, составляющему во всяком случае необходимое дополнение к указанной выше логической точке зрения. Углубленное изучение истории развития могло бы оказать здесь столь же полезное и отрезвляющее влияние, какое оказали известные лекции Феликса Клейна^.

18.Там, где уже заранее даны дискретные, равноценные для нашего актуального интереса, объекты, применения учения о числах сравнительно просты. Но многие объекты исследования, как то пространственная и временная протяженность, интенсивность сил и т. д., не представляют непосредственно групп эквивалентных членов, доступных непосредственному счету. Правда, можно эти объекты разнообразным образом делить на равноценные, поддающиеся счету, члены, эти последние, далее, делить на такие же члены и т. д., но и пределы деления этих членов должны быть воспринимаемы и различаемы искусственно, и деление, на котором хотят остановиться, следовательно, величина последних членов деления произвольна и случайна. Но раз препарирована таким образом подобная непрерывная величина, то часть ее, определение которой ищется в том или ином исследо-

G.Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883. См. также цитированную в следующем примечании книгу Couturat, стр. 617 и след. См. наконец, A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. Jahrb. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 8, Heft 2. 1900.

Couturat, De l'infini mathématique. Paris, 1896. Прекрасный краткий обзор развития понятия числа см. у О. Stolz, Grossen und Zahlen. Leipzig, 1891.

F. Klein, Anwendung der Differential und Integralrechnung auf Geometrie. Eine Revision der Prinzipien. Leipzig, 1902.

вании, может быть с какой угодно точностью определена счетом ее частей, т. е. измерением. Искусственно созданная числовая непрерывность есть средство, при помощи которого мы можем с какой угодно точностью проследить условия естественных непрерывностей. Но у какого-нибудь предела приходится остановиться вследствие несовершенства наших чувств, даже усиленных искусственными средствами. Ибо то, что какой-нибудь масштаб покрывается подлежащим измерению объектом или что концы совпадают, невозможно установить с беспредельной точностью. Эта неточность отзывается затем и на числе, которое, как результат измерения, дает нам отношение между измеряемым объектом и масштабом. Впрочем от того же недостатка не свободны и практические применения арифметики к отдельным, поддающимся счету объектам, ибо идеальная предпосылка совершенной равноценности последних в действительности никогда не осуществима.

19. Когда нужно непрерывно изменяющиеся физические обстоятельства, физические величины сводить к какой-нибудь мере, приходится выбрать сначала какой-нибудь объект для сравнения как единицу меры, и установить, каким способом возможно определять равенство другого объекта с этой избранной нами единицей. Равными в известном отношении мы считаем объекты, которые при неизменившихся условиях могут заменять друг друга с неизменными последствиями. Две тяжести равны, когда, будучи положены одна после другой на одну и ту же чашку одних и тех же весов, одинаково отклоняют стрелку последних; два электрических тока равны, когда, будучи один за другим введены в неизменяющийся гальванометр, вызывают одно и то же отклонение стрелки; подобным же образом определяется равенство магнитных полюсов, градусов тепла, количеств теплоты и т. д. Если же на ту же чашку весов положить n тяжестей, порознь равных единице меры, если провести через ту же проволоку гальванометра (или также рядом расположенные проволоки) n единиц тока и т. д., то результат (при совершенной заместимости единиц друг другом) зависит только от числа единиц и17.

20. Раз мы определили в числах основные обстоятельства в ряде однородных физических случаев, то часто удается выразить их взаимную зависимость в простой формуле с точностью, достаточной для изображения фактов. Примерами этого могут служить закон преломления света, закон Мариотта — Гей-Люссака, закон Био — Савара. Такие законы, раз установленные, часто мо-

См. Helmholz, Zählen und Messen. (Philos. Aufsätze. Б. Zeller gewidmet 1887. стр. 15 и след.)

324