Тематика и содержание практических занятий курса «основы теории надежности»

1. Практическое занятие по темам № 3 и 4. Первичная информация о надежности. Сбор и обработка материалов. Выбор теоретической модели и проверка её адекватности.

Практическое занятие посвящено освоению студентами методов статистической обработки первичной информации о надежности. По индивидуальному заданию, представляющему собой вариационный ряд значений наработки на отказ, студент проводит обработку статистической выборки, определяет параметры и строит гистограмму эмпирического распределения. По виду гистограммы подбирается теоретический закон распределения и проверяется его адекватность эмпирическому распределению по критерию согласия Колмогорова. Продолжительность практического занятия 12 час – для студентов очной формы обучения, 4 час – для студентов заочной формы обучения.

Методические указания по выполнению практического занятия.

Работы по выполнению практического занятия целесообразно вести в следующей последовательности:

1.1. Провести ранжирование вариационного ряда и определить минимальное и максимальное значение в вариационном ряду, размах вариационного ряда, число интервалов разбивки, границы и середины интервалов.

Ранжирование вариационного ряда представляет собой процесс анализа значений величин наработки до отказа в вариационном ряду, выявления минимального и максимального значений и расположения значений наработки до отказа в вариационном ряду в порядке возрастания от минимального до максимального.

Размах вариационного ряда R определяется по формуле:

R = t_max– t_min (1.1)

где t_max и t_min – соответственно максимальное и минимальное значение наработки на отказ в вариационном ряду.

Число интервалов l и шаг интервала разбивки Δ вариационного ряда определяются по формулам:

l = 1 + 3,3∙lgN (1.2)

(1.3)

где N – объём выборки (число значений в вариационном ряду).

Верхняя t_вi, нижняя t_нi границы и середина интервала t_i вычисляются:

t_нi= t_min + (i – 1)∙Δ (1.4)

t_вi = t_min + i∙Δ (1.5)

(1.6)

где i = 1 … l – порядковый номер интервала.

1.2. Составить интервальную таблицу по форме таблицы 3, столбцы которой соответствуют номеру интервала, а строки – нижеперечисленным параметрам:

- границы интервалов наработки – t_нi, t_вi;

- середины интервалов наработки – t_i;

- количество отказов наблюдаемой партии изделий в данном интервале наработки – n_i;

- количество отказавших изделий к данному интервалу наработки – r(t_i);

r(t_i) = (1.7)

- количество работоспособных изделий, остающихся в эксплуатации к данному интервалу наработки – N(t_i);

N(t_i) = N - (1.8)

- частость отказов в данном интервале наработкиω_i;

ω_i = (1.9)

- накопленная частость отказов к данному интервалу наработки F_i;

F_i = (1.10)

- накопленная частость безотказной работы к данному интервалу наработки P_i;

P_i = (1.11)

- интенсивность отказов в данном интервале наработки λ_i.

λ_i = (1.12)

Таблица 3.

	1	2	…	i	…	l
tнi – tвi
ti
ni
r(ti)
N(ti)
ωi
Fi
Pi
λi

1.3. По интевальной таблице определить математическое ожидание μ, дисперсию D, среднеквадратическое отклонение σ, коэффициент вариации ν и построить ступенчатую гистограмму, отложив по оси абсцисс – границы интервалов в ед. наработки, а по оси ординат – ω_i, F_i, P_i, λ_i в долях единицы:

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.17)

1.4. По виду гистограммы подобрать теоретический закон (модель) распределения (экспоненциальный, нормальный, логарифмически-нормальный и т.д.), определить его параметры и рассчитать значения вероятности отказа для середин интервалов t_i – F(t_i). В случае выбора в качестве теоретической модели нормального или логарифмически-нормального закона распределения, для расчета значений F(t_i) использовать таблицу значений функции Лапласа Ф(z), приведенную в Приложении 1.

Для вычисления значений z_i использовать формулу 1.18 для нормального закона распределения и 1.19 – для логарифмически нормального закона распределения.

(1.18)

(1.19)

где (1.20)

(1.21)

После вычисления значений F(t_i) рассчитать значение критерия Колмогорова λ_К по формуле 1.22 и сопоставить его с табличными значениями λ_Ктабл., приведенными в Приложении 2.

(1.22)

2. Практическое занятие по теме № 5. Комплексные показатели надежности.

Практическое занятие посвящено освоению студентами методов расчета комплексных показателей надежности. По индивидуальному заданию, представляющему собой вариационные ряды значений наработки между отказами, времени восстановления работоспособности объекта, времени выполнения технических обслуживаний и значение длительности периода выполнения задания, студент вычисляет коэффициенты готовности, технического использования и оперативной готовности по машинному парку.

Продолжительность практического занятия 2 час. – для студентов очной формы обучения, 1 час – для студентов заочной формы обучения.

Методические указания по выполнению практического занятия.

Вычисление коэффициентов готовности (К_Г), технического использования (К_ТИ) и оперативной готовности (К_ОГ) производится по формулам 2.1 – 2.3.

(2.1.)

(2.2)

(2.3)

где ,,– соответственно средняя наработка между отказами, среднее время восстановления и среднее время выполнения технического обслуживания.

Среднее значение по вариационному ряду вычисляется:

(2.4)

z – длительность периода выполнения задания,

= 1 - F(t), F(t) - функция распределения наработки между отказами. Для экспоненциального закона распределения

F(t) = 1 – exp(-λt) (2.5)

где λ – параметр масштаба экспоненциального распределения

(2.6)

3. Практическое занятие по теме № 6. Прогнозирование показателей надежности.

Практическое занятие посвящено освоению студентами методов прогнозирования показателей надежности. По индивидуальному заданию, представляющему собой таблицу значений параметра технического состояния объекта в зависимости от наработки в предшествующий период и значение предельной величины параметра технического состояния, студент рассчитывает прогноз работоспособности объекта на последующий период эксплуатации.

Продолжительность практического занятия 6 час. – для студентов очной формы обучения, 2 час – для студентов заочной формы обучения.

Методические указания по выполнению практического занятия.

3.1. При выполнении практического задания необходимо предварительно построить график изменения параметра технического состояния объекта от наработки в предшествующем периоде, по которому оценить характер изменения (линейный, нелинейный) и выбрать вид функции, описывающей изменение параметра технического состояния. Если изменение параметра технического состояния можно предположительно описать линейной функцией, выбираем линейное уравнение регрессии вида y = a₀ +a₁x. Если изменение параметра технического состояния носит нелинейный характер – в качестве линии регрессии выбираем показательную функцию вида y = , где y – зависимая переменная (значение параметра технического состояния), x –независимая переменная (наработка технического объекта).

3.2. Для описания процесса изменения параметра технического состояния необходимо определить коэффициенты a₀ и a₁ уравнения регрессии. Используя метод наименьших квадратов, коэффициенты уравнения регрессии при линейной апроксимации можно рассчитать по формулам:

(3.1)

(3.2)

где n – количество предшествующих значений параметра технического состояния y_i, измеренных при соответствующей наработке x_i.

Так как в формулах коэффициентов a₀ и a₁ присутствуют значения сумм величин x_i, y_i, x_i∙y_i, , расчет целесообразно вести

в табличной форме, аналогичной таблице 4.

Таблица 4.

i	xi	yi	xi∙yi
1	x1	y1	x1∙y1
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
n	xn	yn	xn∙yn

3.3. В случае, если апроксимация зависимости y_i от x_i нелинейная и в качестве уравнения регрессии предполагается использовать показательную функцию вида y = , она может быть сведена к линейному виду путем логарифмирования:

= (3.3)

Обозначив , и , получим уравнение регрессии линейного вида:

= +, (3.4)

коэффициенты которого могут быть рассчитаны по формулам 3.1 и 3.2, где вместо подставляется величина .

Расчетная таблица, в этом случае, будет иметь вид, аналогичный таблице 5.

Таблица 5.

i	xi	yi
1	x1	y1
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
n	xn	yn

После расчета коэффициентов и определяются коэффициенты показательной функции (y = ) – и по формулам:

(3.5)

3.4. Проверка взаимосвязи и адекватности полученного уравнения регрессии проводится по коэффициенту корреляции R и критерию согласия Фишера F.

(3.6)

где и – соответственно суммарный остаточный и суммарный полный квадрат отклонений.

(3.7)

(3.8)

где вычисляются по формуле уравнения регрессии с подсчитанными коэффициентами и при подстановке значений x_i, – среднее значение параметра технического состояния - . Расчет также целесообразно вести в таблице, аналогичной форме 6.

Таблица 6.

i	xi	yi
1	x1	y1
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
n	xn	yn

Расчётное значение коэффициента корреляции R должно превышать 0,7. В противном случае взаимосвязь фактических значений и уравнения регрессии – недостаточна. Следует изменить вид уравнения регрессии и вновь провести необходимые расчеты.

Адекватность уравнения регрессии фактическим данным при заданном уровне доверительной вероятности определяется сопоставлением расчетного значения критерия Фишера F_р с табличным значением F_табл.

Условием адекватности уравнения регрессии фактическим данным является соотношение F_р≥F_табл.

Расчетное значение критерия Фишера F_р определяется по формуле:

(3.9)

где – оценка полной дисперсии при числе степеней свободыf_полн = n – 1, где n – число фактических данных.

(3.10)

–оценка остаточной дисперсии при числе степеней свободы f_ост = n – т, где т – число коэффициентов уравнения регрессии

(3.11)

Табличные значения критерия Фишера F_табл при уровне доверительной вероятности Р = 0,95в зависимости от величин f_полн и f_ост приведены в Приложении 3.

4. Практическое занятие по теме № 7. Модели надежности сложных систем.

Практическое занятие посвящено освоению студентами методов расчета показателей надежности сложных технических систем. По индивидуальному заданию, представляющему собой структурную схему (модель) технической системы и таблицу значений показателей надежности её элементов, студент рассчитывает вероятность отказа и безотказной работы заданной модели.

Продолжительность практического занятия 2 час. – для студентов очной формы обучения, 1 час – для студентов заочной формы обучения.

Методические указания по выполнению практического занятия.

4.1. Для расчета показателей надежности сложной системы, она должна быть сведена к эквивалентной основной модели, представляющей собой ряд последовательно соединенных эквивалентных элементов (основная модель надежности).

При последовательном соединении элементов показатели надежности системы (вероятность безотказной работы Р_с и вероятность отказа F_c) рассчитываются:

, F_c = 1 – Р_с (4.1)

где - вероятность безотказной работыi-го эквивалентного элемента.

Эквивалентный элемент может состоять из m последовательно соединенных элементов и в этом случае вероятность безотказной работы рассчитывается по формуле аналогичной 4.1:

(4.2)

или l параллельно соединенных элементов. Вид соединения в эквивалентном элементе может быть только один – либо последовательный, либо параллельный.

При параллельном соединении отказ эквивалентного элемента происходит при одновременном отказе всех входящих в него элементов. Таким образом,

(4.3)

а вероятность безотказной работы эквивалентного элемента:

(4.4)