11. Частотный спектр импульсного сигнала.

Ранее отмечалось, что любой электрический сигнал может быть представлен в виде суммы синусоид, каждая синусоида имеет свою амплитуду, частоту и фазу.

где А_к – амплитуда f_к – частота _к – фаза.

Если построить график, показывающий, как зависит амплитуда синусоиды от частоты, то это будет частотный спектр данного сигнала.

U(t) – сигнал, имеющий периодический характер.

Частотный спектр – зависимость А_к от f_к.

Можно вместо синусоиды брать косинусоиду, частотный спектр от этого не изменится. Выбор разложения по синусоиде или косинусоиде зависит от выбора начала отсчета (симметричный).

Каждая синусоида носит название гармоника. Поэтому представление в виде суммы гармоник называется гармоническим рядом.

Пусть импульсы прямоугольной формы периодически повторяются, амплитуда, период и длительность – постоянны.

Выберем начало отсчета времениt = 0 так, чтобы картина была симметричной относительно начала отсчета.

Тогда - т.е. будут одни косинусоиды,

где k 2  f _k =  _k - частота гармоники.

Отсутствует  _к , т.е. все гармоники имеют нулевой фазовый сдвиг.

Существует косинусоида, у которой к = 0, f₀ = 0, нулевая гармоника, ей соответствует постоянная составляющая U(t).

Частоты гармоник:

К = 0, f ₀ = 0 - нулевая гармоника

К = 1, f ₁ = 1/T - первая гармоника

К = 2, f ₂ = 2/T - вторая гармоника и т.д.

Если Т постоянно, т.е. сигнал периодический

Частоты гармоник:

Амплитуды гармоник.

Определяются из теории рядов Фурье.

Для прямоугольных импульсов:

где U₀ – амплитуда импульса,

К – номер гармоники (чем больше к, тем меньше U₀).

.

Как следует из формулы для A_k амплитуды гармоник идеальных прямоугольных импульсов имеют тенденцию с ростом k (частоты) убывать асимптотически, т.е. формально ширина частотного спектра идеальных прямоугольных импульсов неограниченна.

Реальные импульсы имеют отклонения от прямоугольной формы и ширина их спектра не бесконечна.

Отдельно вычисляется амплитуда нулевой гармоники.

Если к = 0 , знаком синуса можно пренебречь и тогда:

-это не что иное, как постоянная составляющая напряжения U(t).

Изобразим график частотного спектра.

Для упрощения далее будет изображаться только первая полуволна графика частотного спектра - основной частотный спектр.

Амплитуды гармоник уменьшаются с увеличением частоты, при этом наблюдается колебательный характер.

Участок до первого нуля (первая полуволна) – это основной спектр.

Частотная граница основного спектра определяет ширину частотного спектра из условия:

откуда k=k_осн=илиk_осн=q

k_осн – количество линий в основном спектре.

Величина F_осн=- ширина основного спектра

Часто требуется количественная оценка ширины частотного спектра F_c . Для идеальных прямоугольных импульсов, её условно принимают равной

F_c=(1..3)F_осн или .

Свойства частотного спектра.

1. Чем больше период повторения импульсов, тем больше линий в основном частотном спектре – чаще расположены линии в частотном спектре.

2. Чем короче импульс, тем больше ширина частотного спектра.

3. Ширина ЧС определяется для прямоугольного импульса соотношением:

Это соотношение справедливо для идеальных прямоугольных импульсов.

Реальный импульс отличается от идеального более пологими фронтами.

Общая формула вычисления амплитуды гармоник для любого случая:

По сравнению с идеальным прямоугольным импульсом для реального импульса ЧС имеет более определенную частотную границу. Убывание амплитуд гармоник с частотой может иметь монотонный характер.