§ 6. Непрерывность обратной функции

Определение 1. Пусть f – соответствие между множествами X и Y. Множество всех пар {(y,x)| (x,y)f} называется соотвтетствием обратным для соответствия f и обозначается f ^–1.

Определение 2. Если соответствия f и f ^–1 являются функциями, то функция f называется обратимой, а f ^–1 –обратной для функции f .

Функции f и f ^–1 являются взаимно обратными, т.к. (f ^–1)^–1= f, а отображение

f: Х Y является взаимно однозначным.

Свойства взаимно обратных функций:

1. D(f^-1) =E(f),E(f^-1) =D(f).

2. f ^–1 (f(x)) = x xD(f); f(f ^–1 (y)) = y yE(f).

3. Графики функций fиf ^–1–симметричны относительно прямой y=x.

Примем без док-ва следующую теорему

Теорема 1. Если функция f является взаимно однозначным отображением области определения D(f) на область значений E(f), то обратое ей соответствие f^–1 – функция.

Теорема 2 (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть функция f строго возрастает (убывает) и непрерывная на области определения D(f), являющейся промежутком. Тогда обратное соответствие f ^–1 является функцией возрастающей (убывающей) и непрерывной в своей области определения D(f^–1) = E(f), которая также является промежутком.

Заметим, что согласно следствию из ІІ теоремы Больцано-Коши область значений непрерывной на промежутке функции E(f) = D(f ^–1) – промежуток.

► Доказательство проведём для возрастающей функции в 3 этапа.

1 этап. Пусть f – возрастающая, докажем, что f ^–1 – функция, т.е. покажем, что каждому

y D(f ^–1) = E(f) соответствует единственное значение х E(f ^–1) = D(f).

Допустим противное, что некоторому у_оE(f) соответствуют два х₁, х₂D(f) такие, что f(x₁) = y_o і f(x₂) = y_o, но х₁ ≠ х₂. Пусть для определённости х₁< х₂. Из условия возрастания функции f следует, что f(x₁) < f(x₂)  y_o < y_o, а это невозможно.

2 этап. Докажем, что f ^–1– возрастающая функция в области определения D(f ^–1) = E(f). В множествеE(f)возьмемлюбыеу₁ иу₂ такие, что у₁<у₂и покажем, чтоf ^–1 (у₁)<f ^–1 (у₂).

Допустим противное: f ^–1 (у₁) f ^–1 (у₂). Всилу возрастания функции f будем меть

f(f ^–1 (y₁))f(f ^–1 (у₂))у₁  у₂, что противоречит условию у₁<у₂.Это и доказывает возрастание функции f ^–1.

3 этап. Дакажам, што функция f ^–1 непрерывная на E(f).

Мы доказали, что f ^–1 – возрастающая на промежутке E(f) функция, множество её значений E(f^-1) =D(f)по условию теоремы – промежуток. Тогда по Т.2 §4 f ^–1 –непрерывная функция на E(f). ◄

Пример 1. Найти функцию обратную для функции функция f (х) = 2x  4.

Решение. Функция f (х) = 2x  4 – непрерывная и возрастающая на D(f) = R. По Т. 2 существует обратная функция, которая также является непрерывной и возрастающей на Е(f) = R. Найдём формулу для функции f ^–1 (у), для этого выразим х = у/2 + 2,или

y = x/2 + 2 (х и у поменяли местами).

Пример 2. Найти функцию обратную для функции

(1)

и построить её график.

Решение. D(f) = R – промежуток. Перепишем функцию (1) в виде   e^ye^–y = 2x  e^y  1/e^y = 2x  e^2y  2xe^y  1 = 0 обозначим e^y = t > 0

 t²– 2xt– 1 = 0(не подходит). Т. обр., – функция обратная для функции (1);D(f^–1)= R.

Построим графики функций f и f ^–1

Рис.1 Рис.2