§ 5. Условия непрерывности монотонной функции

Теорема 1 (об односторонних пределах монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и определена в некоторой окрествности U(x₀,δ) точки x₀, то

1^о. , при f(x) — неубывающей;

2^о., при f(x) — невозрастающей.

►Доказательство проведём для неубывающей функции. Т. к. f(x) — неубывающая (по условию Т.) в U(x₀,δ), то выполняется неравенствоf(x)≤ f(x₀)  множество М={x| x≤ x_{0 ,}} ограничено сверху числом f(x₀). По Т. о существ-нии верхней грани  a^* = sup M. По определению верхней грани х U(x₀,δ) и x≤ x₀ 

a^* ≤ f(x₀) (1)

По свойству верхней грани ε>0  x₁ U(x₀,δ) и x₁<x₀ , такой, что a^* –ε< f(x₁) ≤ a^* <a^* +ε . Т.к. f(x) — неубывающая (по условию), то последнее неравенство выполняется x, удовлетворяющих неравенству x₀ >x> x₁. Т.обр., показали, что ε>0  δ₁= x₁– x₀ >0 | x U(x₀,δ₁)D(f) (а значит –δ₁< x– x₀ <0, что выполняется неравенство

a^* –ε< f(x) <a^* +ε  | f(x) – a^* |< ε, а значит

(2)

(с учетом неравенства (1)). Аналагично даказывается, что

, (3)

где а_* = sup{ x| x≥ x_{0 ,}}. Объединяя (2) и (3), получаем утверждение теоремы.

Доказать самостоятельно для невозрастающей функции.◄

Следствие из Т.1. Если монотонная функция f(х) имеет разрыв в точке x₀, то x₀ — точка разрыва перого рода.

Теорема 2 (неабходимое и дастаточное условие непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная функция f(x), определенная на промежутке ХD(f) была непрерывной, неабходимо и дастаточно, чтобы множество её значений на этом промежутке множество Y={f(x)| xX} также являлось промежутком.

Необходимость. Дано: f(x)– монотонная, непрерывная функция на промежутке Х.

Доказать: Y– промежуток.

►Доказательство проведём для неубывающей функции. Обозначим через m=inf Y, M=supY. Ранее мы договорились считать m= – , если Y – неограниченное снизу множество и M = + , если Y – неограниченное сверху множество. Возьмём любое число l, удовлетворяющего неравенству m<l<M . По 2 свойству верхней (нижней) грани

 x_1, x₂ Х, (причём x₁ < x₂ т.к. по условию f(x)– неубывающая), такие, что

m≤f(x₁) <l< f(x₂) ≤ M.

По условию теоремы f(x) – непрерывная функция на промежутке Х, а значит и на отрезке [x_1, x₂]X  по теореме § , что  с[x_1, x₂]X, такая что f(c)=l . Т. обр. показали, чтодля любого числаl, удовлетворяющего неравенству m<l<M  сX, в которой f(c)=l  Y – промежуток. ◄

Дастаточность. Дано: f(x) – монотонная функция на промежутке Х .

Y={f(x)| xX} — промежуток.

Доказать: f(x) —непрерывная функция на промежутке Х .

► Доказательство проведём для неубывающей функции методом от противного. Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке x₀ Х. На основании следствия из Т.1 x₀ – точка разрыва первого рода, т. е., что . Пусть для определённости , тогда по Т.1 .Рассмотрим число γ, такое, что . Тогда x<x₀, xX выполняется неравенство

(4)

а x> x₀, xX

(5)

Объединим (4) и (5), получим что  xX f(x)≠γ , но γY Yне является промежутком (противоречие).

Доказать самостоятельно для невозрастающей функции.◄