2_Уравнение прямой и плоскости

§ 11. Уравнение прямой линии на плоскости

1°. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.

Фиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую началом координат O и базисными векторами e1,e2 . Тогда точка плоскости M определяется координатами x, y .

Пусть прямая линия l лежит в плоскости и проходит через точку M0 (x0 , y0 ) параллельно вектору q .

q

l

M

M0

O

Рис.1. Прямая l , проходящая через точку M0 (x0 , y0 )

С другой стороны, всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1), принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число.

– параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку

– общее уравнение прямой на плоскости.

Так как q 0 , то хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от

нуля уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка. Таком образом, показано, что любая прямая является алгебраической линией первого порядка.

Верно и обратное: любая алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой.

Действительно, уравнение (5) является линейным неоднородным уравнением, и в силу теории решения СЛНУ его общее решение имеет вид

фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения. Сравнивая общее решение уравнения (5) с (3), представляющим собой параметрическое уравнение прямой на плоскости, можно видеть, что множество всех решений уравнения (5) представляет собой прямую, проходящую через точку M0 (x0 , y0 ) и имеющей направляющий вектор

q B, A .

Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка.

Из доказательства теоремы 1 следует, что если Ax By C 0 – уравнение прямой, то вектор q B, A является направляющим вектором

этой прямой.

Если B 0 , то из уравнения (5) получаем:

коэффициент k не играет роль углового коэффициента (т.е. k не равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox ). Например, на рис. 2 прямая l имеет

e1 x

Рис.2. Прямая l в системе координат (O,e1,e2 ) имеет уравнение y x .

Из канонического уравнения (4) легко выводится уравнение прямой, проходящей через 2 точки. А именно, если прямая l проходит через две точки

M0 (x0 , y0 ) и M1(x1, y1) , то вектор M 0 M1 x1 x0 , y1 y0 можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Тогда уравнение (4) принимает вид

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения прямой (5)..

1.Если А=0, то прямая параллельна оси Ox .

2.Если B=0, то прямая параллельна оси Oy .

3.Если C=0, то прямая проходит через начало координат.

4.Если A=C=0, то прямая совпадает с осью Ox .

5.Если B=C=0 , то прямая совпадает с осью Oy .

6.Если C 0 , то уравнение (5) после деления на C можно переписать в виде

который называется уравнением прямой в отрезках. Здесь a и b равны отрезкам, отсекаемым прямой на координатных осях.

2°. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.

Пусть на плоскости задана аффинная система координат Oxy .

Утверждение 1. Для того чтобы прямые l1 и l2 , задаваемые соответственно уравнениями

параллельны и не совпадают, ч.т.д.

Следствие (из утверждений 1 и 2). Прямые l1 и l2 пересекаются

Утверждение 3. Пусть прямые l1 и l2 , задаваемые уравнениями (7), (8),

Возьмем на прямой l3 произвольную точку M1 x1, y1 , отличную от точки

проходит через точки M0 , M1, а так как через две точки плоскости проходит единственная прямая, то она совпадает с прямой l1 . Поэтому в силу

утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.

Замечание. Уравнение (13) называется уравнением пучка прямых,

проходящих через точку M 0 .

3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy , определяемая ортонормированным репером O,i , j . Пусть

прямые l1 и l2 задаются уравнениями (7), (8). Тогда угол между прямыми

определяется углом между направляющими векторами и может быть вычислен по формуле

Отметим, что здесь используется глагол «определяется», так как угол

между прямыми принимает значение на промежутке 0; 2 , угол между

направляющими векторами – 0,.

Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат

Отметим, что только в прямоугольной декартовой системе координат вектор n A, Bявляется перпендикулярной к прямой Ax By C 0

В дальнейшем построим нормальное уравнение прямой на плоскости. Вначале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.

y

l

N

l1

P

M

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т.

Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

Здесь x, y - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат. Получаем:

cos y p 0 (17)

– нормальное уравнение прямой на плоскости, где p - длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, - угол наклона нормали к

y

l1

N M0

P M

О x

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты точки и полученную величину взять по модулю.

Последнее может быть использовано для того, чтобы узнать, лежат ли т. M0 и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.

§ 12. Уравнение плоскости в пространстве

1°. Различные виды уравнения плоскости.

Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от размерности плоскости на единицу, а размерность плоскости отличается на единицу от размерности пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.

Утверждение 1. Пусть на плоскости задана т. M0 и два неколлинеарных вектора a и b . Тогда т. M u, v :

x x0 a1u b1v

z z0 a3u b3v

Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде

представляющем собой линейную зависимость столбцов матрицы, то имеем

- общее уравнение плоскости. Отметим, что в силу неколлинеарности a, b

хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля уравнение (8) является

уравнением первой степени.

Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.

Докажем и обратное: а именно, любое уравнение первой степени вида

(8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.

Действительно, пусть в (8) A 0. Тогда общее решение уравнения (8) можно записать в виде