Мат.Ан

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ф.Х. Мукминов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Óôà-2010

Оглавление

2

Введение.

Пособие посвящено дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных.В его основу положены лекции прочитанные студентам на специальности прикладная математика в УГАТУ. В работе изложены основные понятия, определения и теоремы математического анализа. С математического анализа, как учебной дисциплины, начинается процесс обучения высшей математике в вузе.

Курс математического анализа также призван подготовить учащихся к восприятию более глубоких математических понятий. В силу этого курс математического анализа, как основа всего математического образования, должен характеризоваться широтой охвата материала, строгостью

èполнотой доказательств. Курс анализа также призван подготовить уча- щихся к восприятию более глубоких математических понятий.

Âпервой главе даются основные определения и свойства множеств. Вводится понятие функция. Во второй главе переходим к понятию предела последовательности. Рассматриваются такие темы как: действия над последовательностью, частичные пределы последовательности, верхний

èнижний пределы последовательностей. Третья глава охватывает следующие темы: критерии Коши для существования предела последовательности, предел сложной функции. В четвертой главе изучается непрерывность функции в точке. Пятая глава называется дифференцирование функции одной переменной. Она содержит такие темы как: механиче- ский и геометрический смысл производной, дифференцирование сложной функции, формула Лейбница, теорема Ролля-Лагранжа-Коши, формула Тейлора, производная функции заданной параметрически.

Âшестой и седьмой главе рассматриваются такие понятия как неопределенный и определенный интеграл. Восьмая глава включает в себя основные теоремы теории интеграла Римана. Девятая глава посвящена несобственным интегралам. Она содержит следующие темы: признак сравнения для несобственного интеграла первого рода, признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственного интеграла, несобственные интегралы

3

второго рода.

Десятая и одиннадцатая главы охватывают темы, посвященные функциональным последовательностям и рядам. В двенадцатой главе даются некоторые понятия общей топологии. Тринадцатая глава посвящена дифференциальному исчислению функций многих переменных. Она включа- ет в себя такие темы как: дифференцируемость сложной функции, дифференциалы высших порядков, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

4

ГЛАВА 1

ВВЕДЕНИЕ.

1. Множества

Определение 1. Множество - это совокупность объектов любой природы.

Хотя математика точная наука, мы примем это неточное, скорее интуитивное определение. Точно говоря, множество это неопределяемое понятие. Современные логические исследования показали, что при построении теории всегда приходится начинать с нескольких неопределяемых понятий.

Множество состоит из элементов.

Определение 2. Объекты, составляющие множество, называются его элементами или точками.

Запись x A означает, что x является элементом множества A, x

принадлежит A.

Как задать множество? Общий способ выглядит так: A ={описание элементов}

Например: A ={1,5,3}. Здесь множество A = состоит из трех чисел

1,5,3. Но некоторые "описания"могут быть неправильными: A ={1,5,1,3}

здесь нет смысла повторять элемент 1 дважды. Некоторые "описания", как в парадоксе брадобрея, могут не задавать множества.

Парадокс брадобрея. Король приказал брадобрею брить всех тех, кто не бреется сам. Здесь король не задал определенного множества, поскольку нельзя определить, должен ли брадобрей брить себя.

Для обозначения множеств чаще всего используются заглавные буквы латинского алфавита.

5

Определение 3. Два множества считаются равными если они состоят из одних и тех же элементов.

Это записывают так: X = Y.

2. Подмножества

Определение 4. Множество A называется подмножеством множества

B, если любой элемент множества A является элементом множества B:

A B x A x B

A B(A лежит в B, A содержится в B) B A(B содержит A.)

Мы будем использовать следующие сокращения в записях:для всякого

существует

! единственный | такой чтоследует

равносильноилии

Знаки , называются кванторами общности и существования.

Определение 5. Объединением множеств A и B называется новое множество, состоящее из элементов множеств A и B в совокупности.

A B(объединение множеств A и B)

"

A B : x A B

x A, x B

Здесь квадратная скобка равносильна союзу "или". Можно еще записать так

A B = {(x A) (x B)}.

6

Определение 6. Пересечением множеств A и B называется новое мно-

жество, состоящее из всех общих элементов множеств A и B.

A ∩ B : (x A ∩ B x A, x B)

Можно еще записать так

A ∩ B = {(x A) (x B)}.

Очень часто бывает достаточно рассматривать только подмножества одного определенного множества.

Определение 7. Универсум (U) это объемлющее множество, которое содержит все другие множества участвующие в данном рассуждении.

В этой ситуации подмножества универсума задаются следующим образом

A = {x U | P (x)},

где P (x) условие, выделяющее элементы множества A. A = {x Z | x четное}

A = {x Z | x делится на 2}

R+ = {x R | x > 0}

Определение 8. Разностью множеств A\B называют множество, состоящее из тех элементов множества A, которые не принадлежат B.

A\B : (x A\B {x A, x / B})

Определение 9. Пустое множество это множество, которое не содержит ни одного элемента. ( )

Определение 10. Симметрической разностью A 4 B называется множество

7

При работе с множествами для наглядности используют диаграммы Венна (изображение на плоскости) условное изображение произвольного множества в виде подмножества плоскости.

При наличии универсума определена операция дополнения: AC = U\A дополнение A.

3. Свойства операций над множествами

(

A B,

A = B

B A.

)

A B

A C

B C

1.A (B C) = (A B) C ассоциативность (произвольность расстановки скобок).

2.A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3.A B = B A коммутативность.

4.A ∩ B = B ∩ A

5.A (B ∩ C) = (A B) ∩ A C) дистрибутивность.

6.A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C)

7.A = A; A ∩ U = A

8.A ∩ = ; A U = U

9.A U\A = U

10.A ∩ U\A =

8

Доказательство. 5 свойства:

(

x A B,

x (A B) ∩ (A C)

x A C.

Случай a) x / A, тогда x B и x C поэтому x (B ∩ C) следовательно x A (B ∩ C)

Доказательство. 1 свойства:

""

x A B или x C x (A B) C. Доказано включение A (B C) (A B) C. Обратное включение следует из коммутативности операции объединения:

(A B) C = C (A B) = C (B A) (C B) A = A (B C)

Доказательство. 2 свойства:

((

x A∩B и x C x (A∩B)∩C. Доказано включение A∩(B∩C) (A ∩ B) ∩ C. Обратное включение следует из коммутативности операции пересечения.

9

4. Законы Де Моргана

1.(A B)C = AC ∩ BC

2.(A ∩ B)C = AC BC

Доказательство. первого закона:

x / B.

x (A B)C.

5. Функция

Важнейшим понятием в математическом анализе является функция.

Определение 11. Функцией F называется правило, по которому каждому элементу x A ставится в соответствие строго один элемент y

множества B. При этом пишут y = F (x) .

Функцию иногда называют отображением. Элемент y называется образом элемента x при отображении F . Элемент x называется прообразом (одним из возможных) элемента y.

Множество

F (A) = {y = F (x)|x A}

10