§ 11. Уравнение прямой линии на плоскости

1°. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.

Фиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую началом координат и базисными векторами. Тогда точка плоскости определяется координатами.

Пусть прямая линия лежит в плоскости и проходит через точкупараллельно вектору.

M

M₀

O

Рис.1. Прямая , проходящая через точку

параллельно вектору .

Определение 1. Всякий ненулевой вектор , параллельный прямойl, называется направляющим вектором этой прямой.

Если точка плоскости лежит на прямой, то векторколлинеарен. Значим,R такое, что

.

(1)

С другой стороны, всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1), принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число.

Таким образом, условие Мвыполнению уравнения (1). Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой.

Если обозначить радиус вектора точек черезисоответственно, тои уравнение (1) принимает вид:

,

(2)

которое также называется векторным уравнением прямой.

Если , то (2) в координатах принимает вид

(3)

– параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку в направлении вектора.

Исключая из уравнения (3) параметр t, получаем

(4)

– каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение (4) понимается как пропорцию. Тогда, если, например, , то прямая параллельна осиOy и проходит через точку .

Приведем уравнение (4) к общему знаменателю:

.

Если обозначить , то получим:

(5)

– общее уравнение прямой на плоскости.

Так как , то хотя бы один из коэффициентовА или В отличен от нуля ⇒ уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка. Таком образом, показано, что любая прямая является алгебраической линией первого порядка.

Верно и обратное: любая алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой.

Действительно, уравнение (5) является линейным неоднородным уравнением, и в силу теории решения СЛНУ его общее решение имеет вид

где – частное решение уравнения (5) (например, при, частного решения можно выбрать вида,),– фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения. Сравнивая общее решение уравнения (5) с (3), представляющим собой параметрическое уравнение прямой на плоскости, можно видеть, что множество всех решений уравнения (5) представляет собой прямую, проходящую через точкуи имеющей направляющий вектор.

Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка.

Из доказательства теоремы 1 следует, что если – уравнение прямой, то векторявляетсянаправляющим вектором этой прямой.

Если , то из уравнения (5) получаем:

,

т.е.

, где .

Отметим, что в произвольной декартовой системе координат коэффициент не играет роль углового коэффициента (т.е.не равен тангенсу угла наклона прямой к оси). Например, на рис. 2 прямаяимеет уравнение(или в каноническом виде) и перпендикулярна оси

L

y

l

x

Рис.2. Прямая в системе координатимеет уравнение.

Из канонического уравнения (4) легко выводится уравнение прямой, проходящей через 2 точки. А именно, если прямая l проходит через две точки и, то векторможно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Тогда уравнение (4) принимает вид

,

(6)

который называется уравнением прямой, проходящей через точкии.

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения прямой (5)._.

1. Если А=0, то прямая параллельна оси .

2. Если B=0, то прямая параллельна оси .

3. Если C=0, то прямая проходит через начало координат.

4. Если A=C=0, то прямая совпадает с осью .

5. Если B=C=0 , то прямая совпадает с осью .

6. Если , то уравнение (5) после деления наможно переписать в виде

,

который называется уравнением прямой в отрезках. Здесь иравны отрезкам, отсекаемым прямой на координатных осях.

2°. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.

Пусть на плоскости задана аффинная система координат .

Утверждение 1. Для того чтобы прямые и, задаваемые соответственно уравнениями

,

(7)

и

,

(8)

совпадали, необходимо и достаточно, чтобы

.

(9)

Доказательство.

| Если прямые l₁ и l₂ совпадают, то это означает, что их направляющие вектора иколлинеарные, т.е.R:

.

(10)

Пусть т. принадлежит этим прямым. Тогда

.

Умножая первое уравнение на и прибавляя ко второму, в силу (10) имеем, что вместе с (10) эквивалентно (9).

| Пусть выполняется (9). Тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны  соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎

Утверждение 2. Прямые и, задаваемые уравнениями (7) и (8) соответственно, параллельны и не совпадают

.

(11)

Доказательство.

| Если прямые ипараллельны и не совпадают, то системанесовместна, а это эквивалентно (в силу теоремы Кронекера-Конелли) условию,

Последнее равносильно условию , что возможно лишь при выполнении (11).

| Из первого равенства (11)  что прямые ипараллельны, а из второго неравенства система уравнений (7), (8) несовместна  прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎

Следствие (из утверждений 1 и 2). Прямые ипересекаются

.

(12)

Утверждение 3. Пусть прямые и, задаваемые уравнениями (7), (8), пересекаются в единственной точке. Тогда прямаяпроходит через точку она задается уравнением

, ,

(13)

являющимся линейной комбинацией уравнений (7), (8).

Доказательство.

| Очевидно, а именно, если уравнение задается (13), то она проходит через точку.

| Пусть проходит через точкуи имеет уравнение.

Возьмем на прямой произвольную точку, отличную от точки . Положим. Покажем, что уравнение дляпропорционально (13) с выбранными.

Т.к. точка не может одновременно принадлежать прямыми хотя бы одно из иотлично от нуля. Поэтому уравнениеявляется уравнением первой степени определяет некоторую прямую. По построению эта прямая проходит через точки , а так как через две точки плоскости проходит единственная прямая, то она совпадает с прямой. Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎

Замечание. Уравнение (13) называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .

3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , определяемая ортонормированным репером. Пусть прямыеизадаются уравнениями (7), (8). Тогда угол между прямымиопределяется углом между направляющими векторами и может быть вычислен по формуле

.

Отметим, что здесь используется глагол «определяется», так как угол между прямыми принимает значение на промежутке , угол между направляющими векторами –.

Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны 

(15)

Отметим, что только в прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой

_{Далее построим нормальное уравнение прямой на плоскости. Вначале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.}

y

l

N

l₁

p

M

0

x

Рис.3.

Пусть прямая и пусть длина,- угол междуl₁ и . Если т.М лежит на l, то очевидно, что проекция

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М. Тогда или

, (16)

где - расстояние от т. М до начала координат, - угол междуи.

Другими словами, - полярные координаты т. М.

Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

,

где

, .

Здесь - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат. Получаем:

(17)

– нормальное уравнение прямой на плоскости, где p - длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, - угол наклона нормали к оси абсцисс.

Отметим, что и- координаты орта нормали.

Покажем, что общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду. Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель:. При этом.

Знак выбирается из условия, что, т.е. еслито, и наоборот. ЕслиС=0, то знак произвольный.

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.

y

l₁

M₀

N

M

P

x

О

Рис.4.

Пусть - произвольная точка,. Пусть- направляющий вектор прямойl, ,. Очевидно, что расстояние отдоl определяется по формуле:, т.е.

Рис.4.

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты точки и полученную величину взять по модулю.

Замечание. Из рисунка видно, что если т.и начало координат лежат по разные стороны отl, то, а если по одну, то. В первом случае, во втором -.

Последнее может быть использовано для того, чтобы узнать, лежат ли т.и начало координат по одну сторону или по разные от прямойl.

Пример. .