51-1
По теореме Ферма производная в точке минимума функции f равна
Ответ:
0 (ноль)
51-2
По правилу Лопиталя, если f (a) = g(a) = 0 и существуют и , причем 0, то
Ответ:
=
51-3
Если функция f дифференцируема на (a,b) и >0 на (a,b), то функция f на (a,b)
Ответ:
Строго возрастает
51-4
Если =0, а <0, то в точке x0 функция f
Ответ:
Функция f имеет максимум
51-5
Установить соответствие
Ответ:
Параметры уравнения наклонной асимптоты y = kx + b
Формулы для вычисления k и b
1. k – В.
2. b – Д. [f(x) – k*x]
51-6
Формулировка теоремы Ролля такова ____________________________. Доказательство.
Ответ:
Если функция f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b), тогда C (a,b), где (с)=0
Доказательство:
Е(f)=[m;M]
m= f
M= f
1) Если m=M => f(x)=m=const x (a,b)
(x)=0 x (a,b)
2) Если m<M
Т.к. f(a)=f(b), то хотя бы одно из этих значений достигается внутри интервала (a,b). Пусть f(C)=M, C (a,b) => (с)=0
51-7
По правилу Лопиталя равен
Ответ:
= = = =(0* )= =( )= =
=( )= =( )= =1
51-8
Для функции y=
52-1
Установить соответствие
Ответ:
Характер критической точки x0
Необходимые условия
1. Экстремум – В. (x0) = 0
2. Перегиб – Д. (x0) = 0
52-2
По правилу Лопиталя, если функции f и g дифференцируемы при х > с, f(x)= , g(x)= , g(x) 0 при х > с и существует , тогда
Ответ:
=
52-3
Если функция f дифференцируема на (a,b) и (x) <0 на (a,b), то функция f на (a,b)
Ответ:
Строго убывает
52-4
Если (x)<0 для x (a,b), то функция f на (a,b)
Ответ:
Выпукла вверх
52-5
Если y = kx + b - асимптота функции f при x , то k равно
Ответ:
k=
52-6
Формулировка теоремы о достаточных условиях выпуклости вверх (вниз) кривой такова: ________________________. Доказательство
Ответ:
Если (x) ( ) 0 x (a,b), f C[a,b] (непрерывна), то функция f выпукла вниз f (выпукла вверх f )
Доказательство:
L: y=
f(x)- = - = =
f(x)-f(x2)=- (c0)(x2-x)
f(x)-f(x1)= (c1)(x-x1)
= = =
52-7
По правилу Лопиталя равен
Ответ:
= = = = = = = = = =1
52-8
Для функции y=x*
53-1
По теореме Ролля, если функция f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f (a) = f (b) , то
Ответ:
С (a,b), где (C)=0
53-2
Если функция f дифференцируема в окрестности точки x0 , =0 и производная (x)<0 при x<x0; (x)>0 при x > x0 , то
Ответ:
- точка минимума
53-3
По правилу Лопиталя, если функции f и g дифференцируемы на (a,b), f(x)= g(x)=0 и g(x) 0 для x (a,b), то
Ответ:
=
53-4
Если (x) >0 для x (a,b), то функция f на (a,b) является
Ответ:
Выпуклой вниз
53-5
Установить соответствие
Ответ:
Уравнение асимптот для функции y = f (x)
Необходимые и достаточные условия
1. x = a – Г. f(x)=
2. y = b – В. f(x)=b
53-6
Формулировка теоремы Ферма такова _____________________________. Доказательство
Ответ:
Если функция f достигает максимума (минимума) в точке х0 и дифференцируема в точке в точке х0, то (х0)=0
Доказательство:
(x0- ;x0+ ): f(x0)>f(x) при x (x0- ;x0) (x0;x0+ )
(х0)= 0
(х0)= 0 =>
=> (х0)=0
53-7
По правилу Лопиталя равен
Ответ:
=( )= = = =( )= = = = = = = =1
53-8
Для функции y=
54-1
По теореме Лангранжа, если функция f непрерывна на [a,b], и дифференцируема на (a,b), то
Ответ:
С (a,b): f(b)-f(a)= (C)(b-a)
54-2
Установить соответствие для дифференцируемой функции y = f (x), x (a,b)
Ответ:
Значения (x) на (a,b)
Функция y = f (x) на (a,b)
1. Положительны - Е. Возрастает
2. Отрицательны - С. Убывает
54-3
Если функция f дифференцируема в окрестности точки x0 , и производная (x)>0 при x<x0; (x)<0 при x>x0, то
Ответ:
- точка максимума
54-4
Если точка x0 является точкой перегиба функции f и существует (x) в окрестностях точки x0, то (x0)
Ответ:
(x0)=0
54-5
По определению, функция f называется выпуклой вниз на [a,b], если
Ответ:
f(a(альфа, здесь и далее)x1+(1-a)x2) af(x1)+(1-a)f(x2)
x1,x2 [a,b], a [0;1]
54-6
Формулировка теоремы о первом достаточном условии существования экстремума функции ___________. Доказательство
54-7
По правилу Лопиталя предел равен
Ответ:
=( )= = = = = = =
54-8
Для функции y=2x+
55-1
По теореме Коши, если функции f и g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b) и g(x) 0 для любого x (a,b), то
Ответ:
C (a,b): =
55-2
По правилу Лопиталя, если функции f и g дифференцируемы на (a,b), f(x)= , g(x)= , g(x) 0 на (a;b) и существует то
Ответ:
=
55-3
Установить соответствие для дважды дифференцируемой функции y = f (x), x (a,b), =0, x0 (a,b)
Ответ:
Значения
x0 есть точка
1. Положительно - Г. Минимума
2. Отрицательно - А. Максимума
55-4
Если (x) меняет знак при переходе через точку x0 , причем =0, то для функции f (x) точка x0 является
Ответ:
- точка перегиба
55-5
По определению функция f (x) называется выпуклой вверх на (a,b), если
Ответ:
f(a(альфа, здесь и далее)x1+(1-a)x2) af(x1)+(1-a)f(x2)
x1,x2 [a,b], a [0;1]
55-6
Формулировка теоремы Лагранжа такова ____________________________. Доказательство
Ответ:
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то с (a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)