§4. Интегрирование тригонометрических функций.

I. Интеграл вида, гдеR(sin(x),cos(x)) – это рациональная функция относительноsin(x) иcos(x) подстановкойtg=tсводится к интегралу от рациональной функции относительноt.

Действительно найдем.

= arctg(t);

x = 2 arctg(t); dx = ;

sin(x) = sin2 = ;

разделим числитель и знаменатель на cos²; |tg=t|

sin(x) =;

cos(x) =, делим наcos²;

cos(х) =; тогда

== ∫r(t)dt, гдеr(t) – рациональная функция

относительноt.

r(t)

Пример: Вычислить.

= | tg=t| = = =

= 2 = -2= -2= ;

Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интегралаsin(x) иcos(x).

Замеяание1:часто применение универсальной подстановки приводит к громоздким вычислениям. Некоторые интегралы могут быть решены другим способом.

а) ∫ R(sin(x))cos(x) dx = | sin(x) =t; cos(x)dx = dt | = ∫ R(t) dt.

∫ R(t)dt– интеграл от рациональной функции относительноt.

б) ∫ R(cos(x))sin(x) dx = – ∫ R(t) dt;

в) ∫ R(tg(x)) dx = | tg(x)=t; x= arctg(t); dx = dt/(1+t²)| = = ∫r(t)dt ,

r(t)

где r(t)- рациональная функция относительноt.

Пример: вычислить интеграл.

= = |sin(x) = t ; cos(x)dx=dt| = =

=_-t² +1 |t+2 =∫(2 – t –3/(t+2))dt = 2t – t²/2 – 3 ln|t+2| = 2 sin(x)-1/2sin²x –3ln|sin(x)+2|+C

- t²-2t -t+2

_ 2t+1

2t+4

-3

Замечание2:если подынтегральная функция содержитsin(x) иcos(x) в четной степени и произведениеsin(x)cos(x), то целесообразней применять подстановкуtg(x) =t, тогда

x = arctg(t), dx = ;

;

;

sin(x)cos(x) = ;

В результате получается рациональная функция относительно t.

Пример: = |tg(x) =t;dx=| =

= ====

==+C.

II. Интеграл вида

а)

Iслучай.mиn– положительные, одно из них нечетное.

Пусть m=2p+1 , тогда ∫sin^2p(x)cosⁿ(x) sin(x)dx = – ∫(sin²x) ^p cosⁿ(x) d(cos(x)) =

= – ∫(1 –cos²x) ^p cosⁿ(x) d(cos(x)).

II.случай.mиn– целые, положительные, четные.

Пусть m=2p,n=2q, тогда

∫sin^m(x)cosⁿ(x)dx = ∫sin^2p(x)cos^2q(x)dx = ∫(sin²x) ^p(cos²x) ^qdx = ;

Возводя скобки в соответствующие степени и разбивая интеграл на сумму интегралов, в результате получаем интегралы либо типа а), либо типа б).

III.случай.m+n= –2k;tg(x)=t;ctg(x)=t;

Пример1:

I.случай.∫sin⁵(x)cos²(x)dx = ∫sin⁴(x)cos²(x)sin(x)dx = –∫(sin²x) ²cos²(x)d(cos(x)) =

= –∫(1 – cos²x) ²cos²(x)d(cos(x)) = –∫(cos²x – 2 cos⁴x + cos⁶x)d(cos(x)) = –∫cos²(x)d(cos(x)) +

+ 2 ∫cos⁴(x)d(cos(x)) –∫cos⁶(x)d(cos(x)) = – cos³(x)/3 + 2 cos⁵(x)/5 – cos⁷(x)/7 +C.

Пример2:

∫sin⁴(x)cos²(x)dx = = ∫(1 – cos2x)(1 – cos²(2x))dx =

= ∫(1 – cos2x)sin²(2x))dx = ∫sin²(2x))dx – ∫cos2x∙sin²(2x))dx = –

– ∫sin²(2x))d(sin2x) = ∫dx – ∫cos(4x)dx – sin³(2x) = x – sin(4x) –

– sin³(2x) + C.

Пример3:

= ∫sin²(x)cos^-6(x)dx = | m+n = 2-6 = 4| = =

= ∫ tg²(x)( 1+tg²(x))d(tg(x)) = ∫ tg²(x)d(tg(x)) + ∫ tg⁴(x)d(tg(x)) = tg³(x)/3 + tg⁵(x)/5 + C.

Пример4:

= = = ∫ sin^–6(x)cos^–6(x) dx = | m=-6; n=-6; m+n=-12; | = = = == = |(1+x)ⁿ= 1 + nx +

+ | = = ∫ tg^–6x d(tg(x)) +

+ ∫ tg^–4x d(tg(x)) + ∫ tg^–2x d(tg(x)) + ∫ d(tg(x)) + ∫ tg²x d(tg(x)) +

+ ∫ tg⁴x d(tg(x)) = ( + 5 tg²(x) + tg³(x)+ tg⁵(x)) + C. §5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции (не берущиеся).

1. , гдеPn(x) – многочленn-ой степени; не берется, еслиnвыше 2-ой степени; приn= 2,3,4.. –интеграл эллиптического типа.

2. - интеграл Пуассона.

3.; - интегралы Френеля.

4. и сводящийся к нему- интегральный логарифм.

5. ;; - интегральный синус, интегральный косинус.