Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДЛЯ ЛАБ ПО МАТАНУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

820.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Каждый j −ый столбец табл. 2.8 представляет собой совместно с первым

столбцом некоторое распределение случайной величиныX,	соответствующее
данному значению случайной величины Y = y j (то	есть условное

распределение). Последний столбец табл. 2.8 совместно с первым столбцом образует безусловное распределение случайной величины X (ее эмпирический закон распределения):

Таблица 2.10

x 2

…

x k

…

По данным табл. 2.9 и табл. 2.10 вычисляем средние значения:

(2.20)

Y = ∑y j

myj m;

∑xi mxi

j=1

i=1

и средние квадратические отклонения:

σY2

= ∑(y j − Y)

myj m;

j=1

(2.21)

σX2 = ∑(xi − X)2

mxi m

i=1

Замечание 2.4. Рекомендуется сделать два рисунка – это графические изображения эмпирических законов распределения случайных величинX и Yв виде полигонов распределения частот. На рисунках нанести средние значения

X и Y.

Уточним определение корреляционной зависимости. Для этого введем понятие условной средней. Для каждой i −ой строки табл. 2.8 (совместно с первой строкой) можно вычислить среднее значение случайной величины Y (по формуле 2.20), которое называется условным средним

Yx i = Y (X = xi ) (i =1,2,K, k).

Так как каждому значению xi соответствует одно значение условной средней, то очевидно, условная средняя Yx i есть функция от X. В этом случае говорят, что случайная

величина Yзависит от X корреляционно.

Корреляционной зависимостью Y от X называют функциональную


зависимость условной средней			Y		x от X;
				x = f (X).			(2.22)
		Y
f (x)	Уравнение (2.22) называется уравнением регрессии Y на					X; функция
	называется регрессией Y на X; график функции f					(x)	- линией

регрессии Y на X.

x1 , x 2 ,K, x k

Аналогично, для каждого j −го столбца табл. 2.8 (совместно с первым

столбцом) можно вычислить среднее значение случайной величины X по формуле (2.20), которое называется условным средним

X y j = X (Y = y j ) (j =1,2,K, l).


Тогда корреляционной зависимостью					X от	Y называется
функциональная зависимость средней				yi от	Y:
функциональная зависимость средней			X	yi от	Y:
		y = ϕ(Y),				(2.23)
	X	y = ϕ(Y),				(2.23)

уравнение (2.23) называется уравнением регрессии X на Y; функция ϕ(Y)− регрессией X на

Y; график функции ϕ(Y)−линией регрессии X на Y.

Замечание 2.5. Рассматриваемые два уравнения регрессии существенно различны и не могут быть получены одно из другого.

Изучение корреляционной связи будем проводить при решении двух основных задач:

-определение формы корреляционной связи, то есть вида теоретической функции регрессии (она может быть линейной и нелинейной);

-определение тесноты (силы) корреляционной связи.

Наиболее простой и важный случай корреляционной зависимости – линейная регрессия. В этом случае теоретическое уравнение линейной

регрессии Y на X (формула 2.22) имеет вид

		x	= a X + b .	(2.24)
	Y	x	= a X + b .	(2.24)
Коэффициент				a	в уравнении	(2.24) называют коэффициентом
регрессии			X на Y	и	обозначают	ρYX (a = ρYX ). Оценки неизвестных

параметров ρYX и b рассчитаем применяя данные табл. 2.8:

m − X Y

∑ ∑m

j=1

i=1

(2.25)

a = ρYX =

k 2

2 .

∑xi

m −(X)

i=1

b =

−ρYX X

(2.26)

где

- средние

значения случайных величин

вычисленные по формулам (2.20).

Сделаем графическое изображение так называемой эмпирической линии регрессии Y на X и теоретической линии регрессии Y на X. Для этого в

декартовой системе координат по оси 0X откладываем значения из табл. 2.8, по оси 0Y откладываем значения условных

средних Yxi . Тогда ломаная, соединяющая точки (x1 , Yx1 )(; x 2 , Yx2 );K

(x k , Yxk )и будет эмпирической линией регрессии Y на X. Здесь же на

данном графике строим теоретическую линию регрессии, то есть прямую Y x = ρYX X + b с вычисленными коэффициентами.

Замечание 2.6. Поскольку формулы (2.25) и (2.26) получены по методу наименьших квадратов, то по сути этого метода, теоретическая линия регрессии должна на графике быть в «середине» ломаной линии.

Аналогично, можно поставить вопрос о нахождении теоретического уравнения линейной регрессии X на Y(формула 2.23), которое имеет вид

y = a1Y + b1 .

(2.27)

Коэффициент a1 в уравнении (2.27) называется коэффициентом

регрессии

X на

Y и обозначается ρXY (a1 = ρXY ).

Оценки неизвестных

параметров

ρXY и

b1 рассчитываются по данным табл. 2.7:

∑ ∑mij xi

y j m − X Y

a1 = ρXY

i=1

j=1

(2.28)

∑y2j my

m −(Y)

j=1

b1 =

−ρYX

(2.29)

где

−

средние значения

случайных

величин

X и Y,

вычисленные по формулам (2.20).

Далее целесообразно сделать графическое изображение эмпирической и теоретической линий регрессии X на Yаналогично вышеизложенному.

Вслучае линейной регрессии задача определения тесноты связи сводится

квычислению эмпирического (выборочного) коэффициента корреляции, который можно вычислить по одной из формул:

r	= ρ		σx	или r	= ρ		σY	.
			σY
B		YX		B		XY	σx
где		σX , σY −значения					средних квадратических отклонений,

вычисленных по формуле (2.21).

Приведем свойства выборочного коэффициента корреляции:

1.		rB	≤1 или −1 ≤ rB ≤1;

2.	Если rB = 0, тогда X и Y не связаны линейной корреляционной

зависимостью (но могут быть связаны нелинейной корреляционной или даже функциональной зависимостью);

3. С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость становится более тесной и

при rB =1 переходит в функциональную зависимость;

4. Если rB = +1 (rB = −1), тогда X и Y связаны прямой (обратной)

линейной зависимостью.

Замечание 2.7. Однако эмпирический коэффициент корреляции является весьма условным показателем даже линейной связи, так как он является средней пропорциональной величиной между коэффициентами регрессии. В теории корреляции существует понятие корреляционного отношения, которое является более естественным и общим показателем степени тесноты связи, так как не связано с формой зависимости. Но в тему данного практикума корреляционные отношения не входят.

ПРИМЕР 2.4. Дана таблица распределения заводов по объему основных производственных фондов X (млн. руб.) и по суточной выработке продукции Y (тонны).

	6	12	18	24	30	mx
10	4	-	-	-	-	4
15	2	6	-	-	-	8
20	-	2	5	2	-	9
25	-	-	40	8	4	52
30	-	-	5	7	7	19
35	-	-	-	-	8	8
my	6	8	50	17	19	m =100

Находим эмпирические распределения каждой из компонент, их графические изображения, средние значения и средние квадратические

отклонения (2.20) – (2.21).
	X	10		15		20		25		30		35
	mx		4		8		9		52		19		8
	m	100		100		100		100		100		100
	Y	6		12		18		24		30
	Y	6		12		18		24		30
	my		6		8		50		17		19
		100		100		100		100		100
	m	100		100		100		100		100

m x										m y
m										m
0,6								0,6
0,6
0,5								0,5
0,5
0,4								0,4
0,4
0,3								0,3
0,2								0,2
0,1								0,1
								0,1
0								X		0
										0							Y
	10	15		20	25	30	35
	10	15		20	25	30	35	x			6	12		18	24	30
								x			6	12		18	24	30	y
				Рис. 2.1										Рис. 2.2
X =10 4	+15 8		+ 20		9	+ 25 52		+30			19	+35		8 =
100		100			100		100				100		100
= (10 4 +15 8 + 20 9 + 25 52 + 30 19 + 35 8) 100 = 24,9 ;
Y = 6	6	+12		8 +18		50	+ 24	17		+30		19 =
	100		100			100		100				100
= (6 6 +12 8 +18 50 + 24 17 +30 19) 100 = 20,1.
σX2 = ((10 − 24,9)2 4 + (15 − 24,9)2 8 + (20 − 24,9)2 9 +
+ (25 − 24,9)2 52 + (30 − 24,9)2 19 + (35 − 24,9)2 8)														100 = 31,99
σY2 = ((6 − 20,1)2 6 +(12 − 20,1)2 8 +(18 − 20,1)2 5 +
+(24 − 20,1)2 17 +(30 − 20,1)2 19)100 = 40,6;
σX =	31,99 = 5,66;				σY =		40,6 = 6,37.
Перейдем к расчету данных для построения эмпирических линий
регрессииY на		X	и	X на		Y,	то есть		к		расчету условных				средних
	l
Y (X = xi )= ∑yi mi j				mxi .
	j=1
Y (X =10)= 6 4 4 = 6;						Y (X =15)= (6 2 +12 6) 8 =10,5 ;
Y (X = 20)= (12 2 +18 5 + 24 2) 9 =18;
Y (X = 25)= (18 40 + 24 8 +30 4) 52 =19,846 ;
Y (X = 30)= (18 5 + 24 7 +30 7) 19 = 24,632 ;
Y (X = 35)= 30 8 8 = 30,
							42

				k		m y j
				k
и условных средних X (Y = y j )= ∑xi					mi j
				i=1
			(Y = 6)= (10 4 +15 2) 6 =11,7 ;
		X	(Y = 6)= (10 4 +15 2) 6 =11,7 ;
			(Y =12)= (15 6 + 20 2) 8 =16,25;
	X		(Y =12)= (15 6 + 20 2) 8 =16,25;

X (Y =18)= (20 5 + 25 40 +30 5) 50 = 25;

X (Y = 24)= (20 2 + 25 8 +30 7)17 = 26,5;

X (Y = 30)= (25 4 +30 7 +35 8)19 = 31,1.

Сделаем графическое изображение эмпирических линий регрессии:

Y
35
30
25
20
15
10			Yx	= f (X)
5			Yx	= f (X)
5
0
10	15	20	25	30	35
		Рис. 2.3

	X
	35
	30
	25
	20
	15
	10				X y	= ϕ(Y)
	5				X y	= ϕ(Y)
	5
X	0					Y
X	6	12	18	24	30	Y
			Рис. 2.4

Перейдем к расчету параметров для теоретических линий регрессии Y x = a X + b и X y = a1 Y + b1 . Прежде чем воспользоваться формулами (2.25) и (2.28), подготовим их общее значение выражения:

С = ∑k	∑l (xi yi mi j ) m =
i=1	j=1

=(10 6 4 + (15 6 2 +15 12 6)+ (20 12 2 + 20 18 5 + 20 24 2)+

+(25 18 40 + 25 24 8 + 25 30 4)+ (30 18 5 +30 24 7 +30 30 7)+

+35 30 8) 100 = (240 +1260 +3240 + 25800 +14040 +

+8400)100 = 529,8 .

Знаменатели формул (2.25) и (2.28) есть, соответственно σ2X и σ2Y , которые у нас уже рассчитаны, поэтому:

a = ρYX

529,8 − 24,9 20,1

529,8 −500,49

29,31

= 0,916;

31,99

b = 20,1−0,916 24,9 = 20,1 − 22,81 = −2,71;

a1 = ρXY

529,8 − 24,9 20,1

529,8 −500,49

29,31

= 0,722;

40,6

b1 = 24,9 −0,722 20,1 = 24,9 −14,51 =10,39 .
Тогда		Y = 0,916 X − 2,71					и	X = 0,722 Y +10,39 .				Для	графического
изображения полученных прямых линий вновь вернемся к рисункам 2.3 и 2.4,
чтобы совместить на одном графике эмпирическую и соответствующую ей
теоретическую линии регрессии
Y								35	X
Y								35
35
30								30
30
25								25
20								20
15								15		X = 0,7224Y +10,39
10		Y = 0,916X − 2,71						10		X = 0,7224Y +10,39
5		Y = 0,916X − 2,71						5
								5
0						X		0
10	15	20	25	30	35			0						Y
10	15	20	25	30	35				6	12	18	24	30
									6	12	18	24	30
		Рис. 2.3а									Рис. 2.4а
Перейдем к вычислению эмпирического (выборочного) коэффициента
корреляции по формуле (2.30):
r	= ρ		σx =	0,916 5,66			≈ 0,81.
B		YX	σy		6,37

Итак. 1. Поскольку rB достаточно близок к единице, то можно

утверждать, что между случайными величинами X и Y существует линейная зависимость, причем достаточно тесная.

2. Поскольку rB > 0, то эта линейная зависимость прямая. Данные выводы можно сделать и из рис. 2.3а, 2.4а.

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Объяснить, пользуясь теоремой Бернулли, свойство устойчивости относительных частот.

2.Перечислить основные задачи математической статистики.

3.Нахождение статистических числовых характеристик случайной величины из опыта.

4.Задача точечной оценки параметра, различные методы решения. Рассказать сущность метода моментов.

5.Метод максимального правдоподобия. Оценить параметр mx для

нормального распределения при известном σx этим методом.

6. x1 , x 2 ,K, x n являются n − неизвестными наблюдениями над нормально распределенной случайной величиной с неизвестными параметрами. Построить доверительный интервал для mx заданной доверительной вероятности.

7.Сформулировать задачу статистической проверки гипотез.

8.Привести примеры задач на проверку гипотез.

9.Критерии согласия. Применение критерия Пирсона при решении задачи о согласованности теоретического и статистического распределений.

10.Метод наименьших квадратов и его применение для обработки результатов испытаний.

11.Нахождение закона распределения функции случайного аргумента по известному закону распределения аргументов.

12.Дать определение и доказать свойства корреляционного отношения.

13.Сформулировать правило проверки гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

3.2 ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

ЗАДАЧА 1.

Дана выборка из генеральной совокупности объема N . По выборке необходимо выполнить следующие три лабораторные работы.

Лабораторная работа №1. Первичная обработка статистических данных

1.Построить вариационный ряд.

2.Построить группированную выборку с числом интервалов k = 5 ÷9 .

3.Построить гистограмму и полигон частот и (или) относительных

частот.

4.Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. Лабораторная работа №2. Расчет точечных и интервальных оценок

генерального математического ожидания и дисперсии.

1.По сгруппированной выборке вычислить точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения.

2.Построить доверительные интервалы для генерального

математического ожидания с доверительными вероятностями γ1 = 0,95 и

γ2 = 0,99.

Лабораторная работа №3. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности.

1.Перенести из Л.Р. №1 график полигона относительных частот.

2.Из визуального наблюдения полигона выбрать один из законов распределения (равномерный, нормальный, показательный) в качестве предполагаемого (теоретического) распределения.

3.Найти параметры теоретического распределения.

4.Построить на одном графике полигон относительных частот (выборочное распределение) и кривую теоретического распределения генеральной выборки.

5.Проверить гипотезу о том, что выборка имеет выбранное теоретическое распределение. Принять уровень значимости α = 0,01.

Вариант 1. N = 100; k = 9

1.70	1.51	1.35	1.11	1.45	1.94	1.15	1.79	1.35	1.49
1.52	1.97	1.27	1.43	1.10	1.38	1.90	1.07	1.29	1.61
1.29	1.29	1.59	1.32	1.00	1.33	1.29	1.17	1.09	1.50
1.58	1.32	1.70	1.17	1.89	1.97	1.40	1.19	1.24	1.06
1.25	1.41	1.33	1.87	1.13	1.35	1.57	1.48	1.94	1.54
1.03	1.91	1.74	1.56	1.66	1.11	1.56	1.73	1.54	1.10
1.94	1.69	1.78	1.65	1.00	1.37	1.08	1.79	1.72	1.68
1.39	1.45	1.10	1.40	1.90	1.61	1.42	1.63	1.51	1.51
1.82	1.78	1.24	1.78	1.11	1.86	1.73	1.70	1.36	1.92
1.59	1.47	1.29	1.04	1.20	1.90	1.40	1.71	1.04	1.32

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.27 Mб45дипломный проект v1.3.docx
#
14.08.20191.37 Mб5ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-30.doc
#
27.10.201811.93 Mб36Длинные нарды - Школа игры.doc
#
08.11.2018671.74 Кб1для заочников практикум.doc
#
17.03.201518.6 Кб16Для курсовой по Сооружениям Лист А4 Форма 2.docx
#
17.03.2015820.77 Кб75ДЛЯ ЛАБ ПО МАТАНУ.pdf
#
17.03.20151.22 Mб102ДМ.doc
#
06.03.201668.79 Кб22добыча нефти и газа.docx
#
06.03.20162.1 Mб63док 2.docx
#
08.11.2018128.51 Кб2доклад по приводу.doc
#
21.04.2015137.81 Кб20ДОКЛАД.docx