ДЛЯ ЛАБ ПО МАТАНУ

Полученная оценка σв2 - это состоятельная несмещенная выборочная дисперсия, а σв - выборочное среднее квадратичное отклонение.

При выборке малого объема (N < 30) точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого генерального параметра, то есть приводить к грубым ошибкам. Поэтому при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Пусть найденная (по данным выборки) статистическая оценка θв является оценкой неизвестного генерального параметра θг . Ясно, что θв тем

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью γ покрывает оцениваемый генеральный параметр. В соотношении (1.8), если

общих соображений ясно, что длина доверительного интервала будет зависеть от объема выборки N и доверительной вероятности γ.

8

где q – находим по таблице (приложение 3) при заданных N и γ.

формулы δ = t σNг , определяющей точность классической оценки, можно сделать выводы:

1)при возрастании объема выборки N число δ убывает, значит, точность оценки увеличивается;

2)увеличение надежности оценки γ приводит к увеличению значения

t (так как γ = 2Ф(t) и функция Ф(t) - возрастающая), значит, к возрастанию

δ, то есть к уменьшению точности оценки.

Замечание 1.2. В связи со второй частью замечания 1.1 обычно предлагается строить доверительные интервалы для двух значений вероятности

γ= 0,95 и γ = 0,99. Затем провести анализ, как меняются границы интервалов

сувеличением доверительной вероятности.

9

1.4 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Статистической гипотезой H 0 называется любое предположение

относительно закона распределения исследуемой случайной величины X. Гипотезы бывают простые и сложные. Простая гипотеза полностью

определяет закон распределения величины X в отличии от сложной. Гипотезы бывают параметрическими и непараметрическими. В первом

случае мы имеем предположение о параметрах распределения при известном законе, а во втором – о самом виде закона распределения.

ПРИМЕР 1.2. Гипотеза H0 о том, что математическое ожидание нормальной случайной величины равно Mв[x] при условии, что дисперсия Dг [x] известна, является простой параметрической. Если же дисперсия Dг [x] неизвестна, то гипотеза будет сложной параметрической.

ПРИМЕР 1.3. Гипотеза H0 о том, что случайная величина распределена

по нормальному (или по какому-то другому) закону, является сложной непараметрической.

Наряду с выдвинутой гипотезой H0 рассматривают противоречащую ей гипотезу H1 . Если выдвинутая гипотеза H0 будет отвергнута, то имеет место противоречащая ей гипотеза H1 .

Критерием проверки статистической гипотезы называется некоторое правило, позволяющее принять ее или отвергнуть. Причем критерии строятся с помощью случайной величины K (часто именно ее называют критерием), для

которой известно распределение. Наблюдаемым значением критерия K

называют значение критерия, вычисленное по данным выборки. В случае проверки гипотез возможны ошибки:

Ошибка 1-го рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода α называется уровнем значимости критерия, по которому производится проверка.

Ошибка 2-го рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Если β - вероятность ошибки второго рода, то величина 1 −β

называется мощностью критерия.

Параметрические гипотезы проверяются с помощью критериев значимости, а непараметрические – с помощью критериев согласия.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Если уровень значимости α уже выбран и задан объем выборки, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Выполнение этого требования должно обеспечить минимальную ошибку второго рода, что более желательно.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если K принадлежит критической области – гипотезу H0 отвергают, если же K принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу H0 принимают.

10

h - длина частичного подынтервала (см. формулу (1.2)).

Составляется сводная таблица на основе данных табл.1.4 и рассчитанных теоретических вероятностей:

1.5 СТАТИСТИЧЕСКАЯ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТИ. ЭМПИРИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЛИНИИ РЕГРЕССИИ

Две случайные величины могут быть связаны между собой функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми. Строгая функциональная зависимость для случайных величин реализуется редко, так как обе величины (или одна из них) подвержены различным случайным факторам.

12

ПРИМЕР 1.4. Рассмотрим две таблицы значений, которые принимают случайные величины Xи Y.

Изобразим эти данные в декартовой системе координат, откладывая

значения случайной величины X по оси OX , а значения случайной величины Y по оси OY .

Данные табл.1.6 представлены на рис.1.1, данные табл. 1.7 – на рис.1.2. Из рис.1.1 видно, что данные табл.1.6 не связаны между собой. А вот из рис.1.2 просматривается какая-то зависимость между X и Y, причем выражена обратная зависимость: с увеличением значений случайной величины X, значения случайной величины Y уменьшаются.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. Если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной. Значит, корреляционная зависимость есть частный случай статистической зависимости.

Чтобы установить наличие и характер связи между двумя случайными величинами X и Y, нужно привести к удобному виду исходный цифровой материал. Наглядной (удобной) формой представления данных является корреляционная таблица.

13

встречается пара (xi ; y j ). В последнем столбце и в последней строке таблицы помещены суммарные частоты, соответствующие значению X = xi , и соответственно Y = yi , то есть

mxi = mi1 + mi2 +... + mil ;

my j = m1j + m2 j +... + mkj , тогда должно быть

k

mx1 + mx2 +... + mxk = ∑mxi = m и

i=1

l

my1 + my2 +... + myl = ∑my j = m.

i=1

m - общее количество пар значений (xi ; y j ).

Каждая i −я строка табл. 1.8 представляет собой (совместно с первой строкой) некоторое распределение случайной величины Y, соответствующее

данному значению случайной величины X = xi . Такое распределение

называется условным распределением. Последняя строка табл.1.8 совместно с первой строкой образует безусловное распределение случайной величины Y (ее эмпирический закон распределения):

распределение). Последний столбец табл. 1.8 совместно с первым столбцом образует безусловное распределение случайной величины X (ее эмпирический закон распределения):

Таблица 1.10

14

Замечание 1.3. Рекомендуется сделать два рисунка – это графические изображения эмпирических законов распределения случайных величин X и Y

в виде распределения частот. На рисунках нанести средние значения X и Y . Уточним определение корреляционной зависимости. Для этого введем

понятие условной средней. Для каждой i -й строки табл.1.8 (совместно с первой строкой) можно вычислить среднее значение случайной величины Y (по

Уравнение (1.17) называется уравнением регрессии Y на X; функция называется регрессией Y на X; график функции f (X) - линией

15

Уравнение (1.18) называется уравнением регрессии X на Y; функция ϕ(Y) называется регрессией X на Y; график функции ϕ(Y) - линией

регрессии X на Y.

Замечание 1.4. Рассматриваемые два уравнения регрессии существенно различны и не могут быть получены одно из другого.

Изучение корреляционной связи будем проводить при решении двух основных задач:

-определение формы корреляционной связи, то есть вида теоретической функции регрессии (она может быть линейной и нелинейной);

-определение тесноты (силы) корреляционной связи.

Наиболее простой и важный случай корреляционной зависимости - линейная регрессия. В этом случае теоретическое уравнение линейной

Коэффициент a в уравнении (1.19) называют коэффициентом регрессии Y на X и обозначают ρYX (a = ρYX ). Оценки неизвестных параметров ρYX и

b рассчитаем, применяя данные табл.1.8:

декартовой системе координат по оси OX откладываем значения x1 , x 2 ,..., x k из табл. 1.8, по оси OY откладываем значения условных средних Yxi . Тогда

вычисленными коэффициентами.

Замечание 1.5. Поскольку формулы (1.20) и (1.21) получены по методу наименьших квадратов, то по сути этого метода, теоретическая линия регрессии должна на графике быть в «середине» ломаной.

16

Аналогично можно поставить вопрос о нахождении теоретического уравнения линейной регрессии X на Y (формула 1.18), которое в этом случае имеет вид

где X и Y средние значения случайных величин X и Y, вычисленные по формулам (1.15).

Далее целесообразно сделать графическое изображение эмпирической и теоретической линий регрессии X на Y аналогично вышеизложенному.

Вслучае линейной регрессии задача определения тесноты связи сводится

квычислению эмпирического (выборочного) коэффициента корреляции, который можно вычислить по одной из формул:

вычисленных по формуле (1.16).

Приведем свойства выборочного коэффициента корреляции: 1. rВ <1 или −1 ≤ rВ ≤1.

2. Если rВ = 0, тогда X и Y не связаны линейной корреляционной

зависимостью (но могут быть связаны нелинейной корреляционной или даже функциональной зависимостью).

3. С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость становится более тесной и

линейной функциональной зависимостью.

17