Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДЛЯ ЛАБ ПО МАТАНУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

820.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Замечание 1.6. Однако эмпирический коэффициент корреляции является весьма условным показателем даже линейной связи, так как он является средней пропорциональной величиной между коэффициентами регрессии. В теории корреляции существует понятие корреляционного отношения, которое является более естественным и общим показателем степени тесноты связи, так как не связано с формой зависимости.

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 14 «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

2. Методические указания для студентов

x min

и x max ,

2.1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 «Первичная обработка статистических данных»

Из данных, входящих в выборку X (табл.1.1) находим соответственно наименьшее и наибольшее значения выборки, и вычисляем число d = x max − x min , называемое размахом выборки. Размах выборки – это длина основного интервала, в который попадают все значения выборки. Далее

значения xi	(i =		), называемые вариантами можно упорядочить, то есть
		1, N
расположить	в порядке возрастания. Тогда выборка			X = {x1 , x 2 ,K, x N },
записанная по возрастанию, называется вариационным рядом. По формуле
			k =1 + 4 [lg N],	(2.1)
где [lg N]− целая часть числа lg N , определим число k . Данное число

k задает количество подынтервалов, на которые разбиваем основной интервал

[x max ; x min ]. Вычисляем длину подынтервалов по формуле

h =

(2.2)

и затем – границы подынтервалов:

(2.3)

a 0 = x min ;

a1 = a 0 + h;K;a j = a j−1 + h;K;a k = x max .

m j

(j =1, k)−

Находим m j

относительные

частоты μj =

j −й подынтервал. Причем

частоты попадания значений выборкиX в

+K+ mk = N

должно быть ∑m j = m1 + m2

j=1

для относительных

частот: ∑ μ

=1 .

j=1

В результате проведенных расчетов, получаем две таблицы:

[a 0 ;a1 )

[a1;a 2 )

…

[a k−1;a k ]

Таблица 2.1

…

[a 0 ;a1 )

[a1;a 2 )

…

[a k−1;a k ]

Таблица 2.2

μ1

μ2

…

μk

Далее, если найти середины подынтервалов:

x max

x min

a1 + a 0

; b2

a 2 + a1

;K; bk

a k + a k−1

то получим еще одну

таблицу.

Таблица 2.3

…

μ1

μ2

…

μk

В целях наглядности полученных в табл. 2.1, 2.2, 2.3 данных пользуются различными способами их графического изображения. К ним относятся гистограмма и полигон.

Для построения гистограммы относительных частот используем данные табл.2.2. В декартовой системе координат на оси 0X находим значения и и тем самым находим границы основного интервала, в который попадают

все значения выборки. Затем на этом интервале откладываем границы подынтервалов. По оси 0Yоткладываем величины μj h (плотности

вероятностей) (j =1, k). Тогда гистограммой относительных частот назовем ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные подынтервалы длины h , а высоты равны числам μj h

(плотности вероятностей) (j =1, k). Аналогично, по данным табл. 2.1, строится

гистограмма частот.

Для построения полигона относительных частот используем данные табл. 2.3. В декартовой системе координат на оси 0X находим x min и x max , то есть

изображаем границы основного интервала. Затем наносим значения середин подынтервалов b j . По оси 0Yоткладываем значения, соответствующие

относительным частотам μj .

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой

соединяют точки (b1,μ1 ); (b2 ,μ2 );K;(bk ,μk ).

Данные табл. 2.3 представляют эмпирический закон распределения выборки, а полигон относительных частот есть его визуальное представление.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F* (x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X < x .

Таким образом, F* (x)= nNx , где n x − число вариант, меньших x ,

N −объем выборки.

Для каждой реализации выборки эмпирическая функция распределения однозначно определена и обладает всеми свойствами теоретической функции распределения:

1)значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1];

2)F* (x)−не убывающая функция;

3) если x1 − наименьшая варианта, то F* (x)= 0 при x ≤ x1; если

x k −наибольшая варианта, то F* (x)=1 при x > x k .

Эмпирическая функция распределения выборки является оценкой теоретической функции распределения генеральной совокупности.

ПРИМЕР 2.1. Дана выборка X из генеральной совокупности объема

N=100.

Таблица 2.4

254	1158	522	524	972	736	401	347	208	368
1485	812	1032	226	428	368	676	671	587	701
701	1171	443	683	786	895	267	597	51	941
659	400	484	876	570	241	678	127	728	903
424	245	531	986	1017	429	732	1021	430	153
513	520	221	1074	826	65	389	1180	504	325
294	447	1459	589	307	461	1434	559	837	743
382	387	967	446	763	767	349	853	578	652
285	628	688	517	380	375	878	409	109	621
712	476	432	721	1300	577	580	909	690	757


1) Находим из выборки x min										и x max , рассчитываем размах выборки d :
x max =1485;					x min = 51;					d = x max − x min				=1485 −51 =1434.
2) Составим вариационный ряд, для чего всю последовательность
выборки расположим в порядке возрастания
51	65		109			127			153			208	221		226	241	245
254	267		285			294			307			325	347		349	368	368
375	380		382			387			389			400	401		409	424	428
429	430		432			443			446			447	461		476	484	504
513	517		520			522			524			531	559		570	577	578
580	587		589			597			621			628	652		659	671	676
678	683		688			690			701			701	712		721	728	732
736	743		757			763			767			786	812		826	837	853
876	878		895			903			909			941	967		972	986	1017
1021	1032		1074			1158			1171			1180	1300		1434	1459	1485
3)	Задаем число					k − количество частичных подынтервалов, на которое
разбиваем нашу выборку X:							k =1 + 4 lg100 = 9. Исходя из этого вычисляем
длину	подынтервалов					h =		1434			≈159,333		и	границы		подынтервалов
длину	подынтервалов					h =					≈159,333		и	границы		подынтервалов
(a j−1 , a j ), j =							9
(a j−1 , a j ), j =		1,9		, a 0	= x min = 51.
a1	= a 0 + h = 51 +159,333 = 210,333;
a 2	= a1 + h = 210,333 +159,333 = 369,666 ;
a3	= a 2 + h = 369,666 +159,333 = 528,999 ;

a 4

= a3 + h = 528,999 +159,333 = 688,332;

= a 4 + h = 688,332 +159,333 = 847,665;

a 6

= a5 + h = 847,665 +159,333 =1006,998;

a 7

= a 6 + h =1006,998 +159,333 =1166,331;

= a 7 + h =1166,331+159,333 =1325,664 ;

= a8 + h = x max =1485 .

4) Рассчитываем частоты – число попаданий в подынтервалы значений из

выборки, то есть m1

, m2 ,K, m9 .

[51; 210,333)

= 5

[210,333; 369,666)

=14

[369,666; 528,999)

= 25

[528,999; 688,332)

=18

[688,332; 847,665)

=16

[847,665; 1006,998)

=10

[1006,998; 1166,331)

= 5

[1166,331; 1325,664)

= 3

[1325,664;1485]

= 3.

Контроль: ∑ m j

= N

5 +14 + 25 +18 +16 +10 +5 +3 =100.

j=1

На основе полученных данных, заполняем таблицу

[528,999;

[51;

[210,333;

[369,666;

[688,332;

210,333)

369,666)

528,999)

688,332)

847,665)

[1325,664;

[847,665;

[1006,998;

[1166,331;

006,998)

1166,331)

1325,664)

1485]

5) Считаем середины подынтервалов b1 , b2 ,L, b9 и относительные частоты μ1 ,μ2 ,K,μ9 .

a j−1 + a j

m j

b j

;

μj =

j =1,9 ;

a 0 + a1

51 + 210,333

=130,666;

a1 + a 2

210,333 +369,666

= 290;

a 2 + a3

369,666 +528,999

= 449,3;

a3 + a 4

528,999 + 688,332

= 608,6;

a 4 + a5

688,332 +847,665

= 768;

a5 + a 6

847,665 +1006,998

= 927,3;

a 6 + a 7

1006,998 +1166,331

=1086,66;

a 7 + a8

1166,331 +1325,664

=1246;

a8 + a9

1325,664 +1485

=1405,3.

Относительные частоты:

μ1

= 0,06;

μ6

= 0,1;

100

μ2

= 0,14;

μ7

= 0,05;

100

μ3

= 0,25;

μ8

= 0,03;

100

μ4

= 0,18;

μ9

= 0,03.

100

μ5

= 0,16;

100

Контроль:

0,06 + 0,14 + 0,25 + 0,18 + 0,16 + 0,1+ 0,05 + 0,03 + 0,03 =1.

∑μj =1

j=1

В результате имеем таблицу:

Таблица 2.5

130,6

290

449,3

608,6

768

927,3

1086,6

1246

1405

0,06

0,14

0,25

0,18

0,16

0,1

0,05

0,03

6) Из данных табл. 2.5, получим эмпирический закон распределения относительных частот и визуальное его представление, то есть строим гистограмму и полигон распределения относительных частот.

μj
h
0,0016
0,0011
0,001
0,0008
0,0006
0,0003
0,0002
a 0	= 51a1	a 2	a3	a 4	a5	a 6	a 7	a8	a 9 =1485		x
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0											x
b1	b2	b3	b4		b5	b6		b7	b8	b9	x
b1	b2	b3	b4		b5	b6		b7	b8	b9

7) Составим эмпирическую функцию распределения. По определению, для группированного статистического ряда F* (x), имеет вид

	0		x ≤ 51
		при 51 < x ≤ 210,333
	0,06	при 51 < x ≤ 210,333
	0,2	при 210,333 < x ≤ 369,666
		при 369,666 < x ≤ 528,999
	0,45	при 369,666 < x ≤ 528,999
	0,63	при 528,999 < x ≤ 688,332
F* (x)=	0,79	при 688,332 < x ≤ 847,665

	0,89	при 847,665 < x ≤1006,998
		при 1006,998 < x ≤1166,331
	0,94	при 1006,998 < x ≤1166,331
		при 1166,331 < x ≤1325,664
	0,97	при 1166,331 < x ≤1325,664
		при 1325,664 < x ≤1485
	0,99	при 1325,664 < x ≤1485
	1	при	x >1485

Построим график F* (x).

F* (x)

0 a 0 =51 a1 a 2

a 4

a5 a 6 a 7 a8

a9 =1485 x

M [θв ]= θг .

2.2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «Расчет точечных и интервальных оценок генерального

математического ожидания и дисперсии»

Пусть θг − некоторый параметр генеральной совокупности, который

невозможно вычислить. Но знать его значение (хотя бы приближенное, оценочное) надо! Поэтому по выборочным данным производят расчет статистических оценок данного генерального параметра.

Точечной называют статистическую оценку генерального параметра θг ,

которая определяется одним числом θв . Точечная оценка	θв может быть
несмещенной и смещенной.
Несмещенной называют такую точечную оценку θв ,	математическое

ожидание которой равно оцениваемому генеральному параметру при любом объеме выборки, то есть

(2.4)

Если равенство (2.4) нарушается, то в этом случае точечная оценка θв

называется смещенной.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания Mг [x]) служит выборочная средняя:

m j

(2.5)

Mв [x]= ∑b j

= ∑b j

μj ,

j=1

которую считаем по данным таблицы 2.3.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии Dг [x] служит выборочная

дисперсия:

m j

(2.6)

Dв [x]= ∑(b j − Mв[x])2

= ∑(b j − Mв[x])2 μj ,

j=1

где b j ; μj − из таблицы 2.3. Иногда более удобно пользоваться другой

формулой для вычисления выборочной дисперсии:

(2.6а)

Dв [x]=

μj −(MB [x])2 .

∑b2j

j=1

Замечание.

Поскольку

Dв [x]является

смещенной

оценкой,

то

ее

«исправляют» следующим образом:

N Dв[x]

(2.7)

σв =

N −1

оценка σв2 −

σв

−

Полученная

это несмещенная дисперсия, а

выборочное среднее квадратическое отклонение.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно

отличаться от оцениваемого

генерального параметра, то

есть приводит

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.27 Mб45дипломный проект v1.3.docx
#
14.08.20191.37 Mб5ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-30.doc
#
27.10.201811.93 Mб36Длинные нарды - Школа игры.doc
#
08.11.2018671.74 Кб1для заочников практикум.doc
#
17.03.201518.6 Кб16Для курсовой по Сооружениям Лист А4 Форма 2.docx
#
17.03.2015820.77 Кб75ДЛЯ ЛАБ ПО МАТАНУ.pdf
#
17.03.20151.22 Mб102ДМ.doc
#
06.03.201668.79 Кб22добыча нефти и газа.docx
#
06.03.20162.1 Mб63док 2.docx
#
08.11.2018128.51 Кб2доклад по приводу.doc
#
21.04.2015137.81 Кб19ДОКЛАД.docx