Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodII.pdf матека

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

π 3 x dx

ПРИМЕР. Вычислить интеграл

∫

π 4 sin 2

π 3

x dx

u = x, du = dx

π 3

Решение.

∫

= − x ctg x

π 4

π 4 sin 2 x

dv =

, v = −ctgx

sin 2 x

π 3

π 3 =

+ ∫ctgx dx = −

ctgx +

ctgx

+ ln

sin x

−

+ ln

π 4

21. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть функция f (x)		интегрируема на любом отрезке [a, b], где
a < b < ∞ . Тогда	lim ∫b f (x)dx называется несобственным интегралом от
	b→∞ a
функции f (x) в пределах от a до ∞ и обозначается ∞∫ f (x)dx .
			a
Аналогично определяются несобственные интегралы для других интегра-
лов с бесконечными пределами ∫b f (x)dx,			∞∫ f (x)dx .
		−∞	−∞
По определению
∫b f (x)dx = lim b∫f (x)dx .
−∞	a→−∞ a
∞∫ f (x )dx = lim		∫b f (x )dx .
−∞	a →−∞
	b→+∞ a

Если вышеприведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называются сходящимися, в противном случае интегралы называются расходящимися.

При исследовании несобственных интегралов на сходимость могут быть полезны следующие теоремы, которые называются признаками сходимости.

Теорема. Если для всех x ≥ a выполняется неравенство 0 ≤ f (x) ≤ g(x),

то из сходимости интеграла ∞∫ g(x)dx следует сходимость интеграла ∞∫f (x)dx ,

a a

причем ∞∫f (x)dx ≤ ∞∫ g(x)dx , из расходимости интеграла ∞∫f (x)dx следует рас-

a a a

ходимость интеграла ∞∫ g(x)dx .

Если функция f (x) определена и непрерывна при a ≤ x < b и имеет разрыв второго рода в точке x = b , то есть lim f (x) = ∞ , то по определению по-

		x→b−0
b		b−ε
лагают ∫f (x)dx = lim		∫f (x)dx .
a	ε→0	a

Аналогично определяются несобственные интегралы в пределах от a до

b , если функция f (x) терпит разрыв второго рода в точке x = a или в точке x = c, a < c < b .

b		b
∫ f (x)dx = lim		∫ f (x)dx ,
a	ε→0	a +ε
a		a +ε
b			c−ε1				b
∫f (x)dx = lim			∫ f (x)dx + lim				∫f (x)dx .
	ε →0			ε	2	→0
a	1		a		2		c+ε2
a			a				c+ε2
Если вышеприведенные пределы существуют и конечны, то соответст-

вующие им несобственные интегралы от разрывной функции называются сходящимися, в противном случае – расходящимися.

∞	dx
ПРИМЕР 1. Вычислить несобственный интеграл ∫		.

2 x ln 2 x

Решение. Согласно формуле для вычисления несобственного интеграла

∞

b d(ln x)

имеем

∫

= lim

∫

= lim

−

= − lim

−

b→∞

2 x ln

b→∞

ln x

b→∞ ln b

ln 2

Следовательно, интеграл сходится.

ПРИМЕР 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

∫

4x − x 2 − 3

= lim arcsin(x − 2)

Решение. ∫

= lim ∫

1 − (x − 2)

1 4x − x

− 3

ε→0

1+ε

ε→0

1+ε

= − lim arcsin(ε − 1) =

, интеграл сходится.

ε→0

ln 2

22.ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1.Вычисление площади плоской фигуры

Если фигура ограничена графиком функции y = f (x) (f (x) ≥ 0), прямыми x = a, x = b и осью 0X , тогда площадь этой фигуры вычисляется по

формуле S = ∫ f (x)dx .

2. Вычисление длины дуги кривой

Если кривая задана уравнением y = f (x) и производная f ′(x) непрерывна при x [a, b] , то длина L ее дуги вычисляется по формуле

L = ∫ 1 + (f ′(x))2 dx .

3. Если тело образовано вращением вокруг оси 0X криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x), прямыми x = a, x = b и y = 0 , тогда объем этого тела вычисляется по формуле

V = π ∫f 2 (x)dx .

	a
ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры (рис.23), ограниченной парабола-
	y		ми y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2x .
	4		Решение. Построим обе параболы.
A			Решение. Построим обе параболы.
A		y = x 2 − 2x	Найдем координаты точек A и B
		y = x 2 − 2x	Найдем координаты точек A и B
y = 4 − x 2	B		пересечения графиков. Для этого решим
	B	x	y = 4 − x 2 ,
−1	2	x	y = 4 − x 2 ,
−1	2		систему
			систему	2
				2	− 2x.

			y = x
	Рис. 2		При ее решении получим уравнение

x 2 − x − 2 = 0 , корни которого x = −1, x = 2 .

Тогда площадь фигуры, изображенной на чертеже, вычисляется по формуле

2	(			2 )	2	(		)	2	(			2 )			x	2		x	3	2

			− x				2				+ 2x	− 2x		2x	+			−				= 9 .

S = ∫		4		dx − ∫		x		− 2x dx = ∫		4			dx = 2			2			3
−1					−1				−1												−1

23. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

	Пусть в некоторой замкнутой области D						плоскости X0Y задана огра-
ниченная функция двух переменных z = f (x, y).
y					Подобно тому как мы это делали при введении
			Di	понятия определенного интеграла, проделаем следую-
			Di	щие операции:
				щие операции:
			Pi		1. Область D (рис. 3) разобьем сеткой кривых на
		D	Pi
		D
				конечное число		n элементарных подобластей
				D1 , D	2 ,K, D n ,	площади	которых обозначим через
				x
0
0		Рис. 3		Si (i	= 1, n), а диаметры (расстояние между наиболее
				Si (i	= 1, n), а диаметры (расстояние между наиболее
				удаленными точками области Di ) – через d i . Пусть
				удаленными точками области Di ) – через d i . Пусть

max d i - наибольший диаметр областей Di .

2. В каждой из областей Di (внутри или на границе – безразлично) возь-

мем точку Pi (ξi , ηi ) и вычислим в этой точке значение функции f (Pi ).
3. Значение f (Pi ) умножим на площадь	Si − меру элементарной облас-
ти Di . (В случае функции одной переменной	y = f (x) мерой элементарной
области была длина x i отрезка [x i−1 , x i ], в случае функции двух переменных

за меру области Di принимается ее площадь.)
4. Составим сумму произведений вида f (Pi	) D i :
S n = f (P1 ) S1 + f (P2 ) S 2 + K + f (Pn ) S n	= ∑∞ f (Pi ) S i .	(8)
	n=1

Сумма (8) называется интегральной суммой для функции z = f (x, y) в области D , соответствующей данному разбиению.

При заданном числе n частей Di , на которые делится область D , можно составить сколь угодно интегральных сумм: во-первых, разными способами разделить фигуру на n частей, а во-вторых, в каждой части можно произвольным образом выбирать точку Pi .

5. Увеличивая число разбиений, находим предел I интегральной суммы

Sn при условии, что max di → 0 , следовательно, n → ∞ .

I = lim	∑n	f (Pi ) S i .
max di →∞	i =1
n→∞

	25
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел интегральной сум-
мы Sn	при max di → 0 (при этом n → ∞ ) и если этот предел не зависит ни от
	i

способа разбиения области D на элементарные площадки Di , ни от выбора точки Pi D i , то он называется двойным интегралом от функции z = f (x, y) по области D и обозначается символом

∫∫ f (P)dS или ∫∫f (x, y )dx dy .
D	D
Выражение f (x, y)dx dy	называется подынтегральным выражением;

функция f (x, y) − подынтегральной функцией;				dS = dx dy − элементом площа-
ди; D − областью интегрирования; x и y − переменными интегрирования.
Итак, по определению
∫∫f (P)dS =	lim	∑n	f (Pi )	S i .
D	max di →0
D	n→∞	i =1
	n→∞
Вводя определение двойного интеграла, мы предполагали, что функция

z = f (x, y) ограничена в области D . Однако не всякая ограниченная функция интегрируема. Какие условия надо наложить на функцию еще, чтобы можно было гарантировать существование двойного интеграла? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема (существования двойного интеграла). Всякая функция z = f (x, y), непрерывная в ограниченной замкнутой области D , интегрируема


z				z = f (x, y)	в этой области.
				z = f (x, y)		Выясним		теперь	гео-
						Выясним		теперь	гео-
				Ti	метрический смысл двойного
				Ti	интеграла.
					интеграла.
						Рассмотрим			в
					пространстве			тело	T ,
0				y	ограниченное снизу областью
				y	D ,	сверху		поверхностью
					D ,	сверху		поверхностью
	D	Pi			z = f (x, y)		такой, что функ-
	D				z = f (x, y)		такой, что функ-
x					ция f (x, y)		непрерывна и не-
Рис. 4					ция f (x, y)		непрерывна и не-
Рис. 4			Si		отрицательная			в области	D ,
					отрицательная			в области	D ,

по бокам – цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси 0z , и направляющей – границей области D (рис. 4). Такое тело будем называть цилиндрическим.

f (Pi ):

Поставим задачу: найти объем V цилиндрического тела. При разбиении основания цилиндрического тела – области D - на n частей Di тело T ока-

жется разбитым на n элементарных цилиндрических тел – призм T1 , T2 ,K, Tn с основаниями D1 , D 2 ,K, D n . Объем призмы Ti приближенно равен объему прямого цилиндра с тем же основанием и высотой

Vi ≈ f (Pi ) Si .

Принимая объем V данного цилиндрического тела T приближенно равным объему Vn ступенчатого тела, получаем приближенное равенство

V ≈ Vn = ∑n	f (Pi ) Si ,
i=1

которое, интуитивно ясно, будет тем ближе к точному, чем меньше размеры областей Di и больше n . Для получения точного значения V нужно в выраже-

нии для Vn перейти к пределу, устремив наибольший диаметр di подобластей Di к нулю:

V =	lim Vn	= lim	∑n	f (Pi ) Si .
	max di →0	max di →0	i =1
	n→∞	n→∞
Последний предел есть двойной интеграл; значит, V = ∫∫f (x, y)dxdy .
					D
Таким образом, решена задача об объеме цилиндрического тела и уста-
новлен геометрический		смысл	двойного		интеграла: двойной	интеграл
∫∫f (x, y)dxdy	от неотрицательной			функции	f (x, y) дает объем	соответст-
D

вующего цилиндрического тела, верхней границей которого является график функции z = f (x, y).

Как видно, конструкции определенного интеграла и двойного интеграла аналогичны. Вследствие этого свойства, а также доказательства свойств двойного интеграла, аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Приведем свойства двойного интеграла. Свойства формулируются в предположении непрерывности функции.

1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых функций

∫∫[f1 (x, y) + f 2 (x, y) + K + f n (x, y)]dS =

= ∫∫f1 (x, y)dS + ∫∫f 2 (x, y)dS + K + ∫∫f n (x, y)dS .

D D D

2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак интеграла

	∫∫a f (x, y)dS = a ∫∫f (x, y)dS,		a = const .
	D	D
y		3.	(Свойство	аддитивности). Если об-
y		ласть D разбита на две области D1 и D2 без
		ласть D разбита на две области D1 и D2 без
	D	общих внутренних точек (рис. 5), то
	D	D2
	D1	∫∫f (x, y)dS = ∫∫f (x, y)dS + ∫∫f (x, y)dS .
	D1	D	D1	D2
		D	D1	D2
		4. Если в области D имеет место нера-
0	Рис. 5	x венство
	Рис. 5	f (x, y) ≤ ϕ(x, y), то ∫∫f (x, y)dS ≤ ∫∫ϕ(x, y)dS .
			D	D

Из этого свойства, в частности, следует, что если подынтегральная функция в области интегрирования не меняет знак, то двойной интеграл есть число того же знака, что и функция.

5. Оценка интеграла по модулю	∫∫f (x, y)dS	≤ ∫∫	f (x, y)	dS.

	D	D

6. Теорема об оценке интеграла. Если m и M − наименьшее и наибольшее значения функции f (x, y) в области D , то двойной интеграл от нее удов-

летворяет неравенствам m S ≤ ∫∫ f (x, y )dS ≤ M S ,

где S − площадь области D .

7. Теорема о среднем значении. В области D найдется такая точка

P0 (x 0 , y 0 ), что ∫∫f (x, y)dS = f (P0 ) S .

24. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. ДВУКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть область интегрирования D удовлетворяет условию: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области параллельно координатной оси, пересекает ее границу не более, чем в двух точках.

Область D называется правильной в направлении оси 0y (0x ), если лю-

бая прямая, параллельная оси 0y (0x ), проходящая через любую внутреннюю

точку, пересекает границу области не более, чем в двух точках.

Для правильной в направлении оси 0y области нижнюю из этих точек

будем называть точкой входа, а верхнюю - точкой выхода. Для правильной в

направлении оси 0x области точка входа – левая точка пересечения прямой с границей области, точка выхода – правая точка пересечения прямой с границей.

Область, правильная как в направлении оси 0y , так и в направлении оси

0x , называется правильной.

Область, изображенная на рис.6, является правильной и в направлении

оси 0y (при этом M1 − точка входа в область, M 2 − точка выхода из нее) и в

направлении оси 0x ( N1 − точка входа, N 2 − точка выхода из области). Об-

ласть D на рис. 7 является правильной только в направлении оси 0x (прямая

M1M 2 , параллельная оси 0y , пересекает границу в четырех точках).

2 (x)

y = ϕ

M 2

N′

N 2

y = ϕ

(x)

Рис. 6

Рис. 7

Правильная в направлении оси 0x область D аналитически определяется

неравенствами ϕ1 (x ) ≤ y ≤ ϕ2 (x),

a ≤ x ≤ b , где y = ϕ1 (x ) и y = ϕ2 (x)− уравне-

ния нижней (ACB) и верхней (AEB) линий границы, x = a и x = b − уравнения прямых, параллельных оси 0y и касающихся границы в точках A и B

(рис.6).

Правильная в направлении оси 0y область D определяется неравенствами вида ϕ1 (y) ≤ x ≤ ϕ2 (y), c ≤ y ≤ d , где x = ϕ1 (y) и x = ϕ2 (y)− уравнения ле-

вой ( CAE на рис. 6, CN	N′	Е на рис.7) и правой ( CBE на рис.6, CN	2	N′	E на
1	1		2	2

рис.7) линии границы, y = c и y = d − уравнения прямых, параллельных оси 0x и касающихся границы в точках C и E .

			29
		=	b	ϕ2 (x )		)
		=		∫ f	(	)
Рассмотрим выражение	ID		∫	∫ f		x, y dy dx ;	будем называть его
			a	ϕ1 (x )

двукратным или повторным интегралом от функции f (x, y)по области D . Сначала вычисляется интеграл в скобках: интегрирование ведется по y , а x считается постоянным; в результате такого интегрирования получается некоторая функция от x

ϕ2 (x )

Φ(x) = ∫f (x, y)dy .

ϕ1 (x )

Затем эта функция интегрируется по x в пределах от a до b :

ID = ∫Φ(x)dx .

В результате получается число. Двукратный интеграл обычно записыва-

ϕ2 (x )

ется в виде ID = ∫ dx

∫f (x, y)dy .

ϕ1 (x )

2 x 2

ПРИМЕР 1. Вычислить двукратный интеграл I D = ∫

∫(x − y)dy dx .

0 0

y 2

x 2

x 4

x 5

dx = ∫

−

= 0,8 .

Решение. I D = ∫ xy −

4 10

Таким образом, вычисление двукратного интеграла сводится к последо-

вательному вычислению двух определенных интегралов.

Если область D правильная, то вычисление двойного интеграла по этой

области функции

f (x, y) сводится к вычислению двукратного интеграла, то

ϕ2 (x )

есть ∫∫f (x, y)dx dy = ∫

∫f (x, y)dy dx .

ϕ1 (x )

ПРИМЕР 2. Вычислить двойной интеграл ∫∫

dx dy , где область D ог-

D y

раничена линиями x = 2, y = x и x y = 1.

Решение. Прежде изобразим область

D (см. рис.8).

	2
	∫ x 2
	∫ x 2	x −
	1
	1

x = 2

Область

является

правильной

направлении

оси

0y : произвольная прямая,

y = x

проведенная параллельно этой оси, через

внутреннюю точку области пересекает ее границу в

y =

двух точках.

Область

снизу ограничена

линией

y = ϕ1 (x) =

, сверху – линией y = ϕ2 (x) = x , слева

Рис.8

и справа – прямыми x = a = 1, x = b = 2 , поэтому

2 x

∫∫

dx dy =

∫

dy dx =

∫

x 2

∫

dx =

∫

x 2 −

dx =

25. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

При вычислении двойных интегралов бывает полезно сделать замену переменных: перейти к новым переменным u и v , связанным с x и y формулами

x = x(u, v), y = y(u, v).

Формула замены переменных в двойном интеграле значительно сложнее. Опуская вывод этой формулы, приведем окончательную формулу и разъясним ее на примере преобразования двойного интеграла в декартовых координатах к полярным координатам.

Если	z = f (x, y) − непрерывная в замкнутой ограниченной области D
функция и	если формулы x = x(u, v), y = y(u, v) устанавливают взаимно

однозначное соответствие между точками области D и точками некоторой области D′ в плоскости (u, v), удовлетворяющее условиям:

1) функции x = x(u, v), y = y(u, v), непрерывны и имеют непрерывные

частные производные первого порядка в областях D и D′ ;

2) функциональный определитель Якоби (якобиан преобразования)

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015282.07 Кб23Metodichka_po_SRS_OI.pdf
#
17.03.2015305.15 Кб6metodichka_po_stranovedeniyu.doc
#
17.03.20152.55 Mб8Metodichka_Razvyortki_A4_dlya_BMA.doc
#
21.04.2015268.29 Кб20Metodichka_Sharifullinoy_N_B_2007_g.doc
#
17.12.20181.73 Mб30metodich_ukaz_neft_izm.doc
#
17.03.20151.38 Mб12metodII.pdf матека.pdf
#
17.03.2015251.9 Кб9MetodKult.doc
#
12.11.2019991.23 Кб3metod_KGR_1_PTV.doc
#
17.03.2015550.91 Кб38metod_raschet.doc
#
17.03.2015570.88 Кб6Metod_ukaz_po_Gostam_30_11_2011.doc
#
06.03.2016103.27 Кб9metrologia (2).docx