razdel3UMK
.pdf
|
3 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
8) lim (tg x − sec x); |
|
|
|
||||||||||||||
7) lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→1 1 − x3 |
|
|
−1 |
|
|
x→2 |
3 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2); |
|||||||||
9) lim |
|
|
|
x + |
|
x + |
x − |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x ; |
10) lim x |
|
x |
+ |
2 − |
x |
||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11) lim (sin |
|
|
|
|
|
|
|
x ); |
|
x→∞ |
|
|
|
x 2 +1 − x); |
|
|
||||||||||
|
x +1 −sin |
12) |
lim x( |
|
|
|||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
( (x + a)(x + b)− x); |
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13) lim |
14) lim x ctg(π x) ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
x |
−α |
|
|
|
|||
15) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) lim tg |
|
x |
sin |
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
−ctgx ; |
|
2α |
|
2 |
|
|
||||||||||||||
x→0 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17) lim |
|
π |
|
|
|
|
tgx ; |
|
18) |
lim |
x arcctgx ; |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
− x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
20) lim sin 2x ctgx ; |
|
|
|
||||||||||||||
x |
2 |
+ arctgx ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
1 + x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
21) lim |
|
|
|
|
|
|
|
22) lim x |
|
a x −1 ; |
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 x |
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23) lim x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 −cos |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.20. Найти следующие пределы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) lim |
|
arcsin 3x |
|
; |
|
|
2) lim |
|
sin 2(x −1) |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
arctg 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) lim |
sin x |
; |
|
|
|
|
|
4) lim |
ln x −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→π x − π |
|
|
|
|
x→e |
|
|
|
x − e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5) lim |
|
ex − e−x |
|
|
|
|
6) lim |
|
esin 2x − esin x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7) lim |
|
|
ex −cosx |
; |
8) lim |
|
|
|
3 8 +3x |
− 2 |
) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 4 16 +5x − |
|
|
|||||||||||||||||
9) lim |
|
|
|
e2x −1 |
|
|
; |
10) lim |
|
|
|
ln cos x |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 ln(1 − 4x) |
|
x→0 ln(1 + x 2 ) |
|
|
|
|
|
|
111
11) lim |
|
5 (1 + x)3 −1 |
; |
12) lim |
ln(2x |
2 +3x − |
26) |
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−7x +12 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→0 (1 + x)3 (1+ x)2 −1 |
|
x→3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13) lim |
|
4x 2 −1 |
; |
|
|
14) lim |
|
1 |
−cos 4x |
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→ |
1 |
|
|
arcsin(1 − 2x) |
|
|
|
x→0 2sin 2 x + x tg7x |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) lim |
ln cos x |
; |
|
|
|
16) lim |
arctg(2x 2 +3x −5). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→0 |
|
x 2 |
|
|
|
x→1 |
x 2 +5x −6 |
|
|
|
3.2.21. Доказать непрерывность следующих функций: 1) y = x
2) y = 3 |
|
|
|
|
|
3) y = cos x |
4) y = a x |
5) y = loga x |
6) y = arcsinx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) y = arccosx |
8) y = arctgx |
9) y = arcctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.2.22. |
|
|
|
Найти точки разрыва функций и построить схематично их |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) y = |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) y = x + |
|
|
x + 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x2 − 2x +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3) y = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4) y = |
2 |
x−2 |
−1 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − x3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x−2 +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5) y = |
sin x |
; |
|
|
|
|
6) y = arctg |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x − 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
7) y = lg(x2 + 3x); |
|
|
8) y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
sin πx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
при 0 ≤ x ≤ 1 |
||||||||||||||
|
9) y = |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
10) f(x) = 4 − 2x |
при 1 < x < 2,5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 7 |
при 2,5 ≤ x < +∞ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
||||||||||||||||||||||||
|
11) f (x)= [x] |
|
|
f (x)= |
|
|
sin x |
|
|
, еслиx ≠ 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
f (0) |
=1 |
|||||||||||||||||
|
13) f (x)= |
x −[ x ] |
|
f (x)= |
sin x |
, еслиx ≠ 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
14) |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
f (0)=1 |
112
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f (x)= |
1 |
|
|
, еслиx ≠1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
15) f (x)= sin x , еслиx ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 + e x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
и f (0)= произвольное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
и |
f (1)= произвольные |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
17) f (x)= x sin |
|
, еслиx ≠ 0 |
18) f (x)= e− |
|
|
, еслиx ≠ 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
и f (0)= 0 |
и f (0)= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
f (x)= x ln x 2 , еслиx ≠ 0 |
|
|
2x + 5 |
при − ∞ < x < −1 |
|||||||||||||||||||||
|
19) |
20) f(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
и |
|
f |
(0)= a |
1 |
|
|
при |
−1 ≤ x < +∞ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1)[4; + ∞) |
|
2) (0;1] 3)[−9; −5] |
4) (− ∞; 4)U(4; ∞) |
|
1 |
|
1 |
|
|
[2; ∞) |
|||||||||||||||
3.2.1. |
|
5) − |
|
|
; |
|
|
6) |
|||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7)[2; ∞) 8) − |
1 |
; |
1 |
9)[e−4 ; ∞)10){−1;1} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.2.2. |
1)четная |
|
|
2)нечетная 3)общего вида |
|
4)нечетная |
|
5)общего |
вида |
||||||||||||||||||
6)четная 7)четная 8)общего вида 9)нечетная10)общего вида |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.2.3. |
1) = −8 π |
|
|
2)не явл. периодической |
3) T = π |
4) T = 4 π |
|
|
5) T = π 3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6) T = π 7) T = π 8)периодическая, наименьшего положительного периода нет |
|||||||||||||||||||||||||||
9) T = 2 π10)непериодическая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.4. 1) f (g (x))= x, |
x > 0; g (f (x))= x, |
|
||||
2) f (g (x))= 6x −14, |
g (f (x))= 6x −3; |
|
||||
4) f (g (x))= (x + 2)2 , g (f (x))= x 2 + 2; |
|
|||||
5) f (g (x))= |
x −3 |
, g (f (x))= − |
x |
|
, |
|
|
2x +1 |
|||||
10 −3x |
|
|
x R ;
3) f (g (x))= cos x , g (f (x))= cos x;
g (f (x))= 4 − x
3.2.5. 1) y = |
x −5 |
2) y = 3 |
|
3)нет обратной 4) y = |
2 |
5) y = |
x |
|
x + 2 |
||||||||
|
1 − x |
x +1 |
||||||
3 |
|
|
|
|
6) y = 3 + log2 x
113
3.2.10. |
1) xn = |
1 |
|
; 2) xn = 2(−1)n |
; 3) xn |
= |
n −1 |
|
; 4) xn = n2 +1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
8) xn = n cos π(n −1); |
||||||||||||||||||||||||
5) xn = (−1)n n ; |
|
6) xn = |
|
|
|
|
|
; |
7) xn =1+(−1)n ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2n −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π(n −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|||||||||||||||||||||||
9) xn = (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;10) xn = sin |
|
|
|
|
|
|
|
;11) xn |
= (−1) |
|
|
|
|
;12) xn = n |
|
;1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n −1 |
|
4 |
|
|
2n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3) x |
|
= |
2n − |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
= |
n |
+ |
|
( |
−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;14) x |
n |
3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.2.11. |
|
1)0; |
2) |
1 |
; |
|
3) |
|
9 |
; |
|
4) − |
|
3 |
; |
5) |
3 |
; |
|
6) − 2; |
|
7)10; |
8) |
m |
; |
|
9)3x 2 ;10) 6;11) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
16 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
3 6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
;12) |
|
2 |
;13) |
|
;14) |
|
;15) |
|
|
|
|
|
;16) 3;17) − |
;18) |
;19) |
;20) |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2a |
4 |
2 |
5 |
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) 1 , если x → +∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.2.161) |
|
|
; |
2) |
|
|
3) 0; |
4) –1; |
|
|
|
|
|
5) |
|
; |
6) |
|
|
|
; |
7) |
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; |
|
-1 |
|
, |
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
x → −∞; |
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
1;10) |
|
|
1 |
|
|
;11) |
|
ln 5;12) |
|
ln |
8 |
|
÷ln |
6 |
;13) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
∞;14) 2 ;15)0;16) x + a2 .
3.2.17. 1) |
3 |
; |
2) |
|
1 |
; 3) |
25 |
; |
4) |
m |
; |
5) − |
|
2 |
|
; |
6) |
1 |
|
; 7) |
25 |
; 8) |
|
1 |
|
; 9) |
|||||||||||||||||||||
|
8 |
2 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2;10) |
|
1 |
;11) cos a ;12) |
|
|
− 24;13) |
− |
cos 2a |
(a ≠ (2k +1) |
π |
, k Z);14) |
|
1 |
|
;15) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
− |
sisa |
(a ≠ (2k +1) |
π |
, k Z);16) |
− |
1 |
;17) |
|
|
0;18) |
|
|
|
2 |
|
;19) |
|
|
|
|
1 |
|
;20) |
||||||||||||||||||||||||
cos2 a |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos3 a ;21) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.18. |
1) e; 2) e−3 ; 3) emk ; |
4) 0 , если x → +∞ ; ∞, если |
|
x → −∞; |
|
5) ∞ , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) e2 ; |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
если |
x → +∞; |
0 |
, |
если |
|
|
x → −∞; |
|
|
|
|
|
|
|
7) e 2 ; |
|
8) |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
114
9)1;10) ectga |
(a ≠ kπ, k Z);11) e−2 ;12) e;13) a ln a ;14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
loga e ;15) |
|
|
;16) e2 ;17) |
|
|
|
;18)1;19) e;20) |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.2.19. |
1)1; |
2)1; |
|
|
3) |
|
1 |
; |
4)2; |
5) |
− |
|
5 |
; |
6) + ∞; |
|
7)1; |
8)0; |
9) |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + b |
|
|
|
|||||||||
|
;10)2;11)0;12) |
, если |
x → +∞; |
−∞, |
если |
x → −∞13) |
, |
|
если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
α |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x → +∞; |
+ ∞, |
если |
|
|
|
x → −∞14) |
|
;15)0;16) |
− |
;17)1;18)1;19)– |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1;20)2;21)1;22) ln a ;23) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2.20. 1) |
1 |
; |
2)0; |
3)–1; |
4) |
1 |
|
; |
5)2; |
6)1; 7) |
3 |
; |
|
8)1,6; |
9) − |
1 |
;10) |
− |
1 |
;11) |
|
9 |
;12)– |
|||||||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
25 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
15;13) –2;14) |
;15) − |
;16)1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115
3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание №1
Вычислить предел функции натурального аргумента
1) |
lim |
(2 − n)2 + (2 + n)2 |
; |
|
|
||||
2n 2 + 2n +1 |
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||
2) |
lim |
(1 + n)3 + (n +3)3 |
|
; |
|
|
|
||
(1 + n)4 −(n +3)4 |
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||
3) |
lim |
(2n +1)3 −(2n +3)3 |
; |
||||||
(2n +1)2 + (2n +3)2 |
|||||||||
|
n→∞ |
|
|||||||
4) |
lim |
(n + 7)3 −(n + 2)2 |
; |
|
|
||||
|
n→∞ |
n3 + n +1 |
|
|
|
|
|||
5) |
lim |
(n +1)2 + (n −1)2 |
|
|
|
|
|||
; |
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
n 2 + n |
|
|
|
|
|||
6) |
lim |
(n + 6)3 −(n +1)3 |
|
|
; |
|
|||
(2n +1)2 + (n − 4)2 |
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
||||||
7) |
lim |
(n +1)3 −(n +1)2 ; |
|
|
|||||
|
n→∞ |
(n −1)3 + (n +1)3 |
|
|
|
|
|||
8) |
lim |
(1 + 2n)3 −8n3 |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
(1 + 2n)2 + 4n 2 |
|
|
|
|
|||
9) |
lim |
(n + 2)3 −(n − 2)3 |
; |
|
|
|
|||
|
n→∞ |
(n +5)2 + (n −5)2 |
|
|
|
|
10) |
lim |
(2n +1)3 + (3n + 2)3 |
; |
|
|
n→∞ |
(2n +3)3 −(n −3)3 |
|
|
11) |
lim |
(n +1)3 −(n −3)3 |
; |
|
|
n→∞ |
(n + 4)2 |
|
|
12) |
lim |
(2 + n)3 + (n − 4)3 |
; |
|
|
n→∞ |
n3 +1 |
|
|
|
lim |
n3 −(n +1)3 |
|
|||
16) |
|
; |
|
|
||
|
|
|||||
|
n→∞ |
n 2 +3n +1 |
|
|||
17) |
lim |
(1 − 4n)2 |
|
; |
||
(n −1)3 −(n + 2)3 |
||||||
|
n→∞ |
|
||||
18) |
lim |
(n + 4)3 −(n − 2)3 |
; |
|||
|
n→∞ |
3n 2 + 2n +3 |
|
19)lim (2n +3)3 −(2n −1)3 ; n→∞ (2n +1)2 + (2n +3)2
20) |
lim |
2(n +1)3 −(n + 2)3 |
; |
|
||
(n −6)3 + n3 |
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
21) |
lim |
(n +1)2 + (n + 2)2 −(n +3)3 |
; |
|||
|
n→∞ |
(3 − n)3 |
|
|
|
|
22) |
lim |
(n +3)2 + (n + 4)2 |
; |
|
|
|
(3 − n)3 + (3 + n)3 |
|
|
||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
23) |
lim |
(2n +3)2 + (3n +1)2 |
|
|||
n 2 + n +1 |
|
|
; |
|
||
|
n→∞ |
|
|
|
|
24)lim (n + 2)4 −(n − 2)4 ;
n→∞ (n + 2)3 + (n − 2)3
25)lim (n +3)3 + (n +5)3 ;
n→∞ (n +3)4 −(n +5)4
26)lim (n +10)3 −(n −5)3 ; n→∞ (n +10)2 + (n −5)2
27)lim (2n +5)3 −(2n −3)3 ; n→∞ (2n +5)2 + (2n −3)2
116
13)lim (2n +1)3 + (3n +1)3 ; n→∞ (2n + 4)3 −(n −3)3
14) |
lim |
4n3 − n |
|
; |
|
(n +1)4 −(n + 4)4 |
|||||
|
n→∞ |
|
|||
15) |
lim |
(1 +3n)3 − 27n3 |
; |
|
|
|
n→∞ |
(1 +3n)2 + n 2 |
|
|
28) lim |
(n +1)3 −(n −1)3 |
; |
n→∞ |
n 2 +1 |
|
29)lim (n −15)3 + (n − 20)3 ; n→∞ (n −15)4 −(n − 20)4
30)lim (2 − n)3 + (2 + n)3 .
n→∞ (n +1)2 + (n −1)2
Задание №2
Вычислить пределы функций натурального аргумента
1) |
lim n ( |
n 2 +1 − |
n 2 +1); |
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
(n −3)2 ); |
||
2) |
lim (3 |
(n + 2)2 − 3 |
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
n 2 − 4); |
|
3) |
lim ( |
n 2 + 4n −1 − |
|||||
|
n→∞ |
4 + n3 −3 2 + n3 ) n 2 ; |
|||||
4) |
lim(3 |
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n 2 +3); |
||
5) |
lim n ( |
n 2 + 4 − |
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
n 2 − 4n +3); |
||
6) |
lim ( |
n 2 +3n − |
|||||
|
n→∞ |
n ( n +5 − |
n + 4); |
||||
7) |
lim |
||||||
|
n→∞ |
n(n +8)− n); |
|
|
|||
8) |
lim ( |
|
|
||||
|
n→∞ |
n +3 ( n + 4 − |
n − 2); |
||||
9) |
lim |
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
n 4 +1); |
|
10) lim n 2 ( |
n 4 + 4 − |
||||||
|
n→∞ |
|
n (3 |
|
−3 n(n + 2)); |
||
11) lim 3 |
(n +1)2 |
||||||
|
n→∞ |
|
n3 + 2 ( n3 +1 − |
n3 −1); |
|||
12) lim |
|
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
(n 2 −1)(n 2 − 2)); |
13) lim ( |
(n 2 +1)(n 2 + 2)− |
||||||
|
n→∞ |
|
|
(n 2 +1)(n 2 − 2)); |
|||
14) lim (n 2 − |
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
117
15) |
lim n (3 5 +8n3 − 2n); |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
(n −1)(n +3)) n ; |
|||||
16) |
lim ( |
(n + 2)(n +1)− |
||||||||
|
n→∞ |
|
n(n + 2)); |
|
|
|
|
|
|
|
17) |
lim (n − |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
−3n) n ; |
|
|
|
|
|
|
18) |
lim (3 |
4 + 27n3 |
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
|
n 2 +5); |
|
|
|
|
|
19) |
lim( |
(n +1)(n + 2)− |
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
n 2 −3n + 6 − n); |
|
|
|
|
|
|
||
20) |
lim ( |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
n3 −5) n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
21) |
lim (n − 3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n→∞ |
|
|
n −3) (3 |
n 2 + 4); |
|
|
|
|
|
22) |
lim (3 |
n + 2 −3 |
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
|
(n +1) (n + 2)); |
|
|
|
|
|||
23) |
lim (n − |
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
(n + 2)(n + 4)); |
|||||
24) |
lim ( |
(n +3)(n +1)− |
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
n 4 −6); |
|
|
|
|
25) |
lim ( |
(n 2 + 2)(n 2 − 4)− |
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
|
n3 −9) (n 2 +1); |
|
|
|
|
|||
26) |
lim (n − 3 |
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
− 4n) (n 2 + 4); |
|
|
|
|
||
27) |
lim (3 |
7 + 64n3 |
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
4n 2 −3n + 2 − 2n); |
|
|
|
|
||||
28) |
lim ( |
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29) |
lim ( |
n3 + 4 − |
n3 −3) (n +1) |
|
|
; |
|
|||
n |
||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30) |
lim (n |
n +3 − |
n(n +1)(n + 2)) |
|
|
. |
||||
|
n + 4 |
|||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание №3
Вычислить предел функции натурального аргумента
|
n +1 − n 2 |
+ 2 |
|
3 |
n3 + 7 + 3 |
n 2 +1 |
|
||||
1) lim |
|
|
|
; |
16) lim |
|
|
|
|
|
; |
|
− 5 n5 |
+ 4 |
|
|
n 2 |
+1 |
|
||||
n→∞ 4 n +1 |
|
n→∞ 4 n3 +5 + |
|
|
118
2) |
lim |
|
|
n8 |
+ 4 − |
n +10 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
8 n8 |
+ 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n→∞ |
n8 −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
lim |
n 2 − |
|
n3 + 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
n |
6 |
+ 4 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) |
lim |
|
|
|
n + 6 − |
n 2 −5 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
3 n3 + 6 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n→∞ |
n3 + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
|
n + 4 − 3 n |
3 + 4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n→∞ 7 n + 2 − 5 n5 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6) |
lim |
|
|
|
n + 2 − |
n 2 + 2 |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||
3 3n3 + 4 + |
4 |
|
n 4 + |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
3 |
n 2 +1 + 2n3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 n12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
+ n + 2 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8) |
lim |
|
|
|
n 5 |
n − 3 |
27n 6 + n 2 |
|
; |
|||||||||||||||
(n + 4 n +1) |
|
n 2 + 2n + |
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
9 |
|||||||||||||||||||||
9) |
lim |
|
|
n3 |
+ 4 − |
n +1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n3 +5 − |
n − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10) lim |
|
|
3n +1 −3 |
27n3 + n |
|
; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
n |
− n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11) lim |
|
|
|
n +10 − |
|
n 2 + 4 |
; |
|
|
|||||||||||||||
|
4 16n 4 +1 |
− 4 n 4 |
|
+1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12) lim |
|
6n3 |
− |
|
n5 |
+ 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
9n |
6 |
+3 |
− n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13) lim |
|
n4 3n +1 + |
|
81n 4 − n 2 +1 |
||||||||||||||||||||
|
|
(n + 3 n ) 6 − n + 4n 2 |
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||
14) lim |
|
|
4n5 + 4 − |
|
n −3 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
6 n15 +3 + |
|
n + |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
17) |
lim |
|
4n 2 − 4 n |
3 +1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
3 n |
6 |
+ n3 + n −5n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
18) |
lim |
|
n 4 |
11n + |
|
25n |
4 +9 |
; |
||||||||||||
(n −7 n ) |
|
n 2 + n + |
||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
2 |
|||||||||||||||||
19) |
lim |
|
|
|
4n 2 − 4 |
n3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
3 n |
6 |
+ n3 + |
1 − |
6n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20) |
lim |
|
n 7 +5 − |
|
n −5 |
|
|
; |
|
|||||||||||
7 n |
7 +5 + 4 |
n14 + |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
21) |
lim |
3 n 2 |
|
+ 2 −5n 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ n − |
|
|
|
n 4 − n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22) |
lim |
|
n 6 |
+ 4 + |
|
n − 4 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||
5 n |
6 +1 − |
n 6 |
− |
6 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
−9n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23) |
lim |
|
|
|
n |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− 4 9n8 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24) |
lim |
|
4n +3 − |
n 2 +9 |
; |
|
|
|
||||||||||||
3 n 2 |
+ 4 − 4 |
|
n 4 + |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
25) |
lim |
|
n 4 + 2 + |
|
n |
− 2 |
|
; |
|
|
||||||||||
4 n |
4 |
+ 2 + |
|
n 4 + |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
26) |
lim |
|
5n + 2 −3 |
8n |
3 +5 |
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 n + 7 |
− n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
27) |
lim |
|
4 + n 2 −3 |
27n |
3 +9 |
; |
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
+ 4 − 2 |
5 |
n |
|
|
−1 |
||||||||||
|
n→∞ 4 |
4 |
|
5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
28) |
lim |
4 n8 |
+ 4 − 2 n 4 +1 |
; |
|
|||||||||||||||
|
8 n |
8 +1 + |
5 n −6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
29) |
lim |
|
3 |
|
|
n3 +1 − |
3n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n→∞ 2n |
− |
4 n 4 − n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
119
15) lim |
4n +1 −3 |
27n3 |
+ 4 |
; |
30) lim |
4n 2 |
−1 − n |
. |
|
|
|
5 n |
− 2n |
||||
n→∞ 4 n − 3 n3 + n |
|
|
n→∞ |
|
Задание №4
Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)
1) |
lim |
3x |
3 −5x 2 + 2 |
; |
|
|||||||||
2x3 |
−5x 2 − |
1 |
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||||
2) |
lim |
|
3x |
2 |
− 2x +1 |
; |
|
|
|
|
||||
|
5x 2 |
− x + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
lim |
|
2x 4 |
+5x 2 − 2 |
; |
|||||||||
|
5x |
4 |
− 2x3 − |
4x |
||||||||||
|
x→∞ |
|
||||||||||||
4) |
lim |
|
5x |
2 |
−3x +1 |
; |
|
|
|
|
||||
|
3x 2 |
+ x −5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
lim |
|
4x3 − 2x +1 |
; |
|
|||||||||
|
2x3 |
+3x 2 − |
2 |
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||||
6) |
lim |
3 −7x 2 +5x |
3 |
|
; |
|
||||||||
2 |
+ |
2x − x3 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
7) |
lim |
4 +5x 2 −3x |
5 |
|
; |
|
||||||||
8 |
− |
6x − x5 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
8) |
lim |
|
3x |
4 |
− 2x 2 −7 |
|
; |
|
||||||
|
9x 4 |
+3x +5 |
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
||||||||||
9) |
lim |
8 − 2x +5x 4 |
|
; |
|
|
|
|||||||
2 +3x 2 + x 4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
10) lim |
|
3x +14x 2 |
|
|
|
; |
|
|||||||
|
+ 2x + 7x 2 |
|
||||||||||||
|
x→∞1 |
|
|
|
11) |
lim |
2x3 − |
5x 2 −1 |
; |
|
|||||||||||
|
|
5x 2 |
+ |
2 |
|
|||||||||||
|
x→∞ 3x3 − |
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
|
5x 2 − |
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
8x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ 3x 2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13) |
lim |
|
5x 4 − |
2x3 − 4x |
; |
|||||||||||
|
|
|
+5x 2 |
|
− |
3 |
||||||||||
|
x→∞ − 2x 4 |
|
|
|||||||||||||
14) |
lim |
|
3x 2 + x −1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ 5x 2 − x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15) |
lim |
|
x3 +3x + 2 |
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
2x 2 |
+1 |
|
|
||||||||||
|
x→∞ 8x3 − |
|
|
|
|
|||||||||||
16) |
lim |
|
2 +5x 2 −3x |
|
4 |
|
; |
|
||||||||
|
|
−7x |
2 + |
5x 4 |
|
|
||||||||||
|
x→∞ 3 |
|
|
|
|
|||||||||||
17) |
lim |
|
8 −6x − x5 |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
+ x 2 |
+3x5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
18) |
lim |
|
9x 4 + |
3x +5 |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2x +8 |
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ 3x 4 − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19) |
lim |
|
3 − x |
−5x3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
+3x 2 + x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
20) |
lim |
|
2x −8x 2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
+ 2x |
+ 7x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞1 |
|
|
|
|
|
|
|
21) |
lim |
3x5 |
− x 2 + x |
; |
|
|
||
x5 − 2 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||
22) |
lim |
6x3 |
− 2x + 7 |
; |
|
|
|
|
3x3 |
−5x + 2 |
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||
23) |
lim |
7x 4 |
− 2x3 + 2 |
|||||
|
x 4 +3 |
|
|
|
|
|||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||
24) |
lim |
x5 + 2x 2 −3 |
; |
|
|
|
||
3x5 |
+ 6x +5 |
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||
25) |
lim |
3x 2 |
+ x 2 − 2 |
; |
|
|
|
|
3x 2 |
+ 4x +1 |
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|||
26) |
lim |
x 2 |
+ 2x −15 |
|
|
|||
2x 2 + 7x −15 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|||||
27) |
lim |
8x3 |
−3x 2 +9 |
|
|
|||
2x5 + 2x +5 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|||||
28) |
lim |
x 4 |
−5x + 2 |
|
|
|
|
|
2x 4 +3x 2 −1 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|||||
29) |
lim |
6x5 |
− 4x3 +8 |
|
|
|||
2x5 −3x 2 −1 |
|
|
||||||
|
x→∞ |
|
|
|||||
30) |
lim |
x 2 |
− 4x +3 |
|
|
. |
||
3x 2 |
−5x +12 |
|||||||
|
x→∞ |
|
|
Задание №5
Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)
1) lim |
3x 2 |
+8x +1 |
; |
11) lim |
|
3x +14x 2 |
; 21) lim |
3x 2 |
+3x +1 |
; |
||
|
3 −8x 2 +5 |
|
+ 2x 2 + 7x3 |
|
−8x + 2 |
|
||||||
x→∞ 2x |
|
x→∞1 |
x→∞ x3 |
|
120