- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •1. Цели и задачи дисциплины
- •2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •3.Трудоемкость дисциплины по видам занятий
- •4. Содержание дисциплины
- •4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах)
- •4.2. Содержание разделов
- •I семестр
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Введение в математический анализ: функция, теория пределов,
- •Раздел3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Раздел 4. Функции нескольких переменных
- •II семестр Раздел 5 Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
- •Раздел6. Неопределенный интеграл
- •Раздел7. Определенный интеграл
- •Раздел8. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
- •III семестр
- •Раздел 9. Элементы теории поля
- •Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5. Перечень практических занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •5 Самостоятельная работа студентов (срс)
- •5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ).
- •5.4 Примерный перечень тем рефератов.
- •5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоятельной работы студентов:умк дисциплины «Математика»).
- •6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.
- •6.1.Векторный анализ
- •6.2.Числовые ряды Основные понятия
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Остаток ряда
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Положительные ряды
- •I. Признаки сравнения рядов
- •II. Признак Даламбера (в предельной форме)
- •III. Признак Коши (в предельной форме)
- •IV. Интегральный признак Коши
- •Знакопеременные ряды
- •Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •Мажорируемость функционального ряда
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Нахождение интервала и радиуса сходимости ряда
- •Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение в ряд маклорена некоторых элементарных функций
- •I Разложение функции
- •II Разложение функции
- •III Разложение функции
- •IV Разложение функции
- •V Разложение функции
- •6.3.Комплексные числа
- •Используя правило возведения в степень, получим
- •6.4.Дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Уравнения Лагранжа и Клеро
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Системы дифференциальных уравнений
- •6.5.Теория вероятности
- •Оценим значение
- •6.6. Математическая статистика Вариационные ряды
- •Основные формулы
- •Выборочный метод. Общие вопросы.
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Оценка генеральной доли признака
- •Элементы проверки статических гипотез
- •Элементы корреляционного анализа Линейная корреляция
- •Основные формулы
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Статистическая гипотеза. Понятие о критериях согласия. Критерий 2 Пирсона.
- •7.Контрольные работы
- •7.1 Контрольная работа №5 Векторный анализ
- •Числовые ряды
- •Комплексные переменные
- •Дифференциальные уравнения
- •7.2Котрольная работа №6
- •7.3 Контрольная работа №7
- •7.4 Контрольная работа №8
- •Математическая статистика
- •8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •9.Карта обеспеченности студентов учебниками, учебными пособиями, учебно-методическими материалами по дисциплине "Математика".
- •10. Перечень контрольных вопросов
- •Семестр II
- •Семестр III
- •Семестр IV
IV. Интегральный признак Коши
Признаки Даламбера и Коши не всегда являются эффективными при исследовании характера данного ряда.
Рассмотрим еще один признак, который позволяет иногда решать вопрос о сходимости ряда с положительными членами в тех случаях, когда рассмотренные выше признаки оказываются неприодными.
Этот признак основан на сравнении данного ряда с некоторым несобственным интегралом I рода от функции, значения которой при последовательныхцелых значениях аргумента дают все члены этого ряда.
Теорема 6.2.10.. Дан положительный ряд (6.2.1); еслисуществует не возрастающая непрерывная ф-ия , где, такая, что, то
1)ряд (6.2.1) сходится, если сходится несобственный интеграл ; и
2)расходится, если этот интеграл расходится.
Пример 6.2.16.
Предположим - непрерывная, прифункция, убывает с возрастанием х.
Несобственный интеграл сходится, следовательно, данный ряд сходится.
Пример 6.2.17. Исследовать на сходимость ряд , где - любое действительное число, т. е.
1) непосредственно видно, что при член рядастремится к нулю при неограниченном возрастанииn, т. е. не выполняется даже необходимый признак сходимости ряда, и , следовательно, ряд расходится.
2)пусть теперь
Как легко проверить, признак Даламбера и Коши вопроса о сходимости этого ряда не решают. С помощью же интегрального признака вопрос о сходимости этого ряда решается легко.
- эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы, рассмотренной выше.
(- непрерывна, положительна и убывает при)
Вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости несобственного интеграла
(*).
При каких существует интеграл (*)
Вычислим
а) пусть
Тогда прии интеграл
Ряд расходится.
б) пусть
- ряд расходится
в) пусть
Тогда приСледовательно ряд сходится , т. к.
Вывод. Ряды вида 1)сходятся прии 2) расходятся при, где
Замечание 6.2.3.При ряд обращается в гармонический:
Выше мы рассмотрели теоремы сравнения, основанные на сравнении друг с другом двух рядов.
Какие же ряды используются для сравнения
При непосредственном применении теоремы сравнения в основном пользуются рядами:
1)геометрическим рядом (сходящимся при);
2)рядами (сходящимися при)
Пример 6.2.18.
Оценим общий член ряда:, но ряд с общим членом =сходится (=3).
Поэтому по теореме 1 признаков сравнения данный ряд также сходится.
Пример 6.2.19.
, ,
ряды сходятся или расходятся одновременно, т. к.. Но ряд с- сходится. Поэтому данный ряд также сходится.
Знакопеременные ряды
Ряды, содержащие бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.
Прежде всего остановимся на частном случае – на так называемых знакочередующихся рядах.
Знакочередующиеся ряды
Ряды, у которых каждые два соседних члена имеют противоположные знаки.
Обычно знакочередующийся ряд записывают в виде:
где - модули членов этого ряда
Теорема Лейбница (признак Лейбница) 6.2.11.
Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:
;
, такой ряд сходится.
Пример 6.2.20. Найти с точностью до 10-3 сумму ряда
Ряд сходится, т. к. удовлетворяет всем условиям признака Лейбница.
Прежде всего надо знать, сколько слагаемых придется вычислять.
По правилу оценки погрешности вычисления надо взять столько членов, чтобы выполнялось неравенство
Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет также меньше 10-3.
Следовательно, решаем неравенство:
Это неравенство удовлетворяется уже при n=4.
Д-но,
Следовательно, начиная с члена , можно отбросить все члены ряда и вычислить толькопервые пять членов ряда.
Замечание 6.2.4. Практически удобнее находить число слагаемых так: записывают несколько первых членов ряда, а именно:
Видно, что модуль 6-го члена (по сету) меньше 10-3.
Чтобы гарантировать требуемую точность, вычисляют каждое слагаемое с 4-мя знаками после запятой, делая при необходимости округление на 4-ом знаке.
(Все 3 цифры после запятой верные).
Замечание 6.2.5.Признак Лейбница для знакочередующихся рядов является лишь достаточным признаком сходимости, но не необходимым ( т. е. ряд может сходится, хотя по признаку Лейбница не выполняется).