22. Частная корреляция.

Как неоднократно подчеркивалось, экономические явления чаще всего приходится описывать многофакторными моделями. В связи с этим возникают две задачи:

1) определение тесноты связи одной из переменных с совокуп­ностью остальных переменных, включенных b анализ; это является задачей изучения множественной корреляции;

2) определение тесноты связи между двумя переменными при фиксировании или исключении влияния остальных. Интенсивность такой связи оценивается с помощью коэффициентов частной корреляции. Если переменные коррелируют друг с другом, то на величине ко­эффициента парной корреляции частично сказывается влияние других переменных. Если, например, между х₁ и х₂ существует тесная связь, и, кроме того, у зависит от х₁, то у будет также коррелировать с х₂. Вполне возможно, что корреляция между у и х₂ не прямая, а косвен­ная, возникающая вследствие воздействия х₁. Поэтому необходимо исследовать частную корреляцию между у и х₂ при исключении влия­ния х₁ на у. Исключаемые переменные могут закрепляться как на средних, так и на других уровнях, выбранных в соответствии с интере­сующими нас участками изменения переменных, между которыми определяется связь в «чистой» форме. Здесь следует учитывать профес­сионально-теоретические соображения об изучаемом явлении.

Измерение частного воздействия отдельных перемен­ных выполняется на основе частной регрессии и частной корреляции. Следуя форме записи коэффициента частной детерминации, обозначим через r_y1∙2 коэффициент частной корреляции, с помощью которого оце­нивается интенсивность связи между переменными у и х₁ при исклю­чении влияния х₂. В соответствии с данным определением, например, r₁₂._у также будет коэффициентом частной корреляции, измеряющим тесноту связи между переменными х₁ и х₂ при исключении влияния у.

В то время как при рассмотрении множественной кор­реляции используется мера зависимости одной из переменных с сово­купностью других, при изучении частной корреляции определяется частное воздействие каждой отдельной переменной при предполо­жении ее связи с остальными переменными.

Рассмотрим задачи исследования частной корреляции на при­мере взаимосвязи трех переменных. Проанализируем коэффициент частной корреляции между переменными у и х₁ при исключении влия­ния х₂. Основываясь на формуле (2.48)

b₁ (2.48)

построим коэффициент детерминации по аналогии с (2.49)

(2.49)

и потребуем в соответствии с (= - коэф. кореляции), чтобы этот коэффициент детерминации был равен квадрату коэффициента частной корреляции. Это требование вполне оправдано, так как ко­эффициент детерминации должен вычисляться по данным, из которых исключено влияние переменной х₂. Итак, получаем

(2.50)

Учитывая, что = 0, (2.50) можно привести к виду

(2.51)

Формула (2.51) мало пригодна для практических вычислений. Для получения более удобного выражения выполним некоторые преобра­зования. Подставим (2.48) в (2.51). Учитывая далее

а также то, что коэффициенты частной регрессии равны коэффи­циентам множественной регрессии, получим

(2.52)

Введем следующие обозначения. Пусть b_y1.2 — коэффициент ча­стной регрессии у на x₁; b₀₍₁₂₎ — постоянная, а b₁₂ — коэффи­циент регрессии x₁ на х₂; b_0(У2) — постоянная, а b_y2 — коэффициент регрессии у на х₂.

В соответствии c

получим выражение

(2.53)

которое будет необъясненной дисперсией для регрессии х₁ на х₂. Отсюда делаем заключение, что знаменатель в (2.52) представляет со­бой необъясненную дисперсию для регрессии у на х₂. Исходя из этих соображений (2.52) записываем в виде

(2.54)

Мы знаем, что общую дисперсию можно разло­жить на две составляющие — объясненную и необъясненную диспер­сии. Используем это обстоятельство в дальнейших наших рассужде­ниях. Разделим обе части тождества

на и, учитывая (2.6), после некоторых простых преобразований получим

(2.55)

По аналогии можно записать

(2.56)

Подставим (2.56) в (2.54)

(2.57)

Теперь подставим (2.24) в (2.57) и выполним некоторые преобразования:

(2.58)

Таким образом, мы получили формулу коэффициента частной корре­ляции, удобную для практических вычислений. По аналогии можно легко записать выражения для других коэффициентов частной корреляции.

Вычисление коэффициентов частной корреляции сводится к нахождению коэффициентов парной корреляции. Благодаря выведенным формулам легко установить соотношения между этими коэффициента­ми. Так, если r_у2 = r₁₂ = 0, то r_у1.2 = r_у1. Если r₁₂ = 0 (т.е. перемен­ные х₁ и х₂ не коррелированы), то |r_y1.₂| > |r_у1| и |r_у2.1| > |r_у2| . Итак, с уменьшением взаимодействия между х₁ и х₂ следует ожидать увели­чения коэффициента частной корреляции по сравнению с соответствующим коэффициентом парной корреляции. Это увеличение тем сильнее, чем больше |r_у1| или |r_у2|. Далее, |r_y1.₂| > |r_у1|, если r_у2 = 0 и |r_у2.1| > |r_у2|, если r_y1 = 0. В обоих случаях неравенства тем боль­ше, чем сильнее взаимодействие между х₁ и х₂, а следовательно, чем больше r₁₂. Если коэффициенты корреляции r_у2 и r₁₂ имеют противопо­ложные знаки, то всегда |r_y1.₂| > |r_у1|.

Обобщим теперь выражение коэффициента частной корреляции на любое число объясняющих переменных. Воспользуемся для этого фор­мулой (2.57). После извлечения корня квадратного из обеих частей ра­венства получим

(2.59)

По аналогии запишем

(2.60)

Так как r_1y.2 = r_y1.2, то, перемножая соответственно правые и левые части (2.59) и (2.60), получим

(2.61)

В соответствии с (2.28) и (2.29)

(2.62)

Обобщая, можно записать

(2.63)

Формула (2.63) позволяет нам вычислять коэффициент частной кор­реляции по коэффициентам частной регрессии.

По аналогии с (2.58), обобщая на любое число объясняющих пере­менных, получим

(2.64

Как видно из (2.64), вычисление коэффициента частной корреля­ции порядка m сводится к определению коэффициентов частной кор­реляции порядка m-1. При использовании (2.64) сначала необ­ходимо знать коэффициенты парной корреляции, а затем приступать к вычислению коэффициентов корреляции более высокого порядка. При более чем четырех переменных вычисление частных коэффициентов корреляции желательно производить на КВМ.