8. Вычисления.

Точность вычислений должна быть согласована с точностью самих измерений. При относительной погрешности измерений порядка 1+10% расчеты можно производить, пользуясь тремя значащими цифрами, при относительной погрешности измерений порядка 0,1+1% можно пользоваться четырехзначными цифрами и т.д.

Следует различать понятия «значащие цифры» и верные знаки числа. Значащие цифры – это все цифры числа, кроме нулей, стоящих в начале. Число 0,0247 имеет три значащие цифры (2, 4, 7). Количество верных знаков числа отсчитывается от первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной ошибки: например, если для числа а=0,0247 абсолютная ошибка Δа=0,0032, то число а имеет один верный знак (2), остальные знаки сомнительные.

Чтобы уменьшить накопление ошибок округления при вычислениях, во всех данных для расчета следует сохранять не только верные знаки, но и несколько сомнительных. Количество сохраняемых сомнительных знаков зависит от объема расчетов: если количество выполняемых действий измеряется десятками, надо сохранять один-два сомнительных знака, если количество действий измеряется сотнями, надо сохранять два-три сомнительных знака [6].

Использование этих рекомендаций и правил приближенных действий приводит к тому, что погрешность вычислений как минимум на порядок (т.е. в 10 раз) меньше погрешности результата косвенных измерений. Поэтому арифметические операции не могут существенно исказить результаты измерений.

В лабораторном практикуме измерения одной и той же величины повторяют обычно не более 10 раз. Погрешность абсолютной погрешности при 10 и меньшем числе измерений более 30%. Поэтому случайную погрешность нет смысла определять с точностью более двух значащих цифр. Если у погрешности первая значащая цифра , и более, то в конечной записи можно оставить только одну значащую цифру. Таким образом, вычисление абсолютной и относительной погрешности прямых и косвенных измерений целесообразно производить не боле чем с двузначными цифрами. В записи окончательного результата косвенных измерений следует сохранять один сомнительный знак. Примеры записи окончательных результатов измерений:

;

.

9. Примеры обработки результатов измерений.

Пример 1. Определение объема цилиндра с помощью штангенциркуля.

Предваряющий измерения анализ систематических погрешностей проведен в разд. 5. Измерение диаметра D и высоты h цилиндра проведем в разных местах и различных положениях цилиндра. Результаты измерений и вычислений занесем в табл. 2 и 3, где ΔD_i=D_cp-D_i и Δh_i=h_cp-h_i – разности между средним и измеренным значением.

Таблица 2

№	Di, мм	ΔDi , мм	ΔDi2, мм2		Р и t
1	21,2	0,1	0,01	= =0,045	P=0,95 t=2,8
2	21,4	0,1	0,01
3	21,3	0,0	0,00
4	21,2	0,1	0,01
5	21,4	0,1	0,01
Dср=21,3		ΔDпр=0,1 мм		ΔDcл=0,13 мм

D=(21,3+0,16) мм

ε=0,7% (9.1)

Р=0,95

где абсолютная погрешность ΔD=0,16 мм определяется соотношением .

Таблица 3

№	hi, мм	Δhi , мм	(Δhi)2, мм2		Р и t
1	62,1	0,1	0,01	0,065	P=0,95 t=2,8
2	62,3	0,2	0,04
3	62,1	0,0	0,00
4	61,9	0,2	0,04
5	62,1	0,0	0,00
hср=62,1мм		Δhпр=0,1 мм		Δhсл=0,18 мм

h=(62.1+0,21) мм

ε=0,34% (9.2)

Р=0,95

Вычисляем среднее значение объема цилиндра:

(9.3)

и относительную погрешность (см. формулу 3.13):

; (9.4)

. (9.5)

Первые два слагаемых подкоренного выражения меньше последнего более чем в 5 раз. Ими при вычислении можно пренебречь. Вычисляем абсолютную погрешность объема:

→ ; (9.6)

. (9.7)

Записываем окончательный результат:

V=(221+3,3)*10² мм³;

ε=1,5%; (9.8)

Р=0,95.

Убедимся в достоверности полученного значения объема цилиндра. Для этого его погрузим в мензурку с водой. Увеличение «объема воды» составило 22 мл, что в пределах погрешности измерений соответствует рассчитанному значению объема цилиндра.

Пример 2. Определение индуктивности катушки.

Индуктивность катушки определим из соотношения

, (9.9)

где Z – полное сопротивление катушки;

R – ее омическое сопротивление;

ω – циклическая частота переменного тока.

Полное сопротивление Z определим из закона Ома I_эф=U_эф/Z. (9.10)

П роведем измерения силы тока I_эф в электрической цепи (рис. 6) при различных напряжениях.

Результаты измерений и вычислений внесем в таблицу. Отметим полное сопротивление Z – косвенное измерение II класса

Рис. 6 Таблица 4

№	Uэф, В	Iэф, А	Zi, Ом	ΔZi	ΔZi2	Р и t
1	59	0,58	102	1	1	0,95 4,3
2	72	0,70	103	2	4
3	94	0,95	99,0	2	4
Zср=101				ΔZсл=5,2

Чтобы найти абсолютную погрешность ΔZ, необходимо рассчитать и ΔZ_пр, т.е. вклад приборных погрешностей и ΔZ. Из (9.10) на основании правила I имеем, что

. (9.11)

Для вольтметра на 150 В класса точности 0,5 ΔU_np=0.005*150В=0,75В, для амперметра на 1 А класса точности 1,5 ΔI_np=0,015*1А=0,015А. Учтя это, можно записать:

. (9.12)

Отсюда

. (9.13)

Так как , (9.14)

то в нашем случае

. (9.15)

Таким образом, имеем

Z=(101+5,5) Ом;

ε=5%; (9.16)

Р=0,95.

R – определяем с помощью моста постоянного тока. Учитывая, что погрешность моста 0,1%, окончательный результат можно записать в виде

R=(41,4+0,4) Ом;

ε=0,10%; (9.17)

Р=0,95.

Для сетевого переменного тока

ω=2πν, (9.18)

где ν=(50+0,1) Гц.

Зная R, Z, ω, легко рассчитать из уравнения (9.9) индуктивность L:

. (9.19)

Для определения точности L выведем формулу относительной погрешности. В соответствии с правилом определения относительной погрешности (правило 1) из формулы (9.9) имеем:

, (9.20)

, (9.21)

. (9.22)

Подставив значения, получим:

. (9.23)

Легко заметить, что последними тремя членами подкоренного выражения можно пренебречь. Вычисление ε и ΔL производится устно. В результате наших измерений и вычислений мы получим, что

L=(0,29+0,018) Гн;

ε=6%; (9.24)

Р=0,95.

Более детальный анализ методики измерений показывает, что мы допускаем систематическую погрешность при определении Z. В самом деле, мы определили Z как отношение показаний вольтметра U_эф к показаниям амперметра I_эф. Но из закона Ома

Z=U_эф/I_эф’, (9.25)

где I_эф’ – сила тока, идущего через катушку. Очевидно, что I_эф’I_эф. Нетрудно показать, что если пренебречь индуктивным сопротивлением вольтметра в схеме (рис. 6), то

, (9.26)

где I_эф – показания амперметра;

U_эф – показания вольтметра;

R_V – сопротивление вольтметра.

При R_V → Z=U_эф/I_эф. В нашем примере для U_эф=94В, I_эф=0,95А, Z=99,2Ом. Сравнивая с данными табл. 4, видим, что систематическая погрешность ΔZ_сист=0,2 Ом. Эта систематическая погрешность значительно меньше случайной и ей можно пренебречь. Более того, взяв различные напряжения, мы эту систематическую погрешность частично обратили в случайную, частично учли.

Вставив в катушку сердечник, мы получили I_эф=0,4А, U_эф=240В. Вольтметр стоял на пределе 300В, R_V=40кОм. Если вычислить по формуле (9.9), получим Z=609Ом, т.е. погрешность первоначальной методики 9Ом или 1,5%, что сравнимо с ошибкой величины Z (9.16). Следует помнить слова Менделеева Д. И. о том, что достойны внимания и обработки только те данные, где все влияния описаны, или, несомненно, приняты во внимание, т.е. вот почему, прежде чем измерять, необходимо тщательно проанализировать методику измерений, выявить и учесть систематические погрешности.

Для доказательства достоверности значений индуктивности катушки определите ее другим методом, например, с помощью моста Максвелла.