Министерство образования и науки Российской Федерации

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет» в г. Салавате

Кафедра «Электрооборудование и автоматика промышленных предприятий»

СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой ЭАПП, профессор Зам. директора по учебной работе, доцент

_______________М.Г. Баширов ______________________Н.Н. Лунева

_______________2014 __________________2014

Методические указания к лабораторной работе характеристики детерминированныхсигналов Дисциплина «Элементы общей теории сигналов»

СОГЛАСОВАНО РАЗРАБОТАЛИ

Инженер по охране труда Доцент кафедры ЭАПП

___________ Г.В. Мангуткина ________ А.С. Хисматуллин

____________2014 _____________2014

студент гр. БАТ-11-21

_________Е.И.Буланкин

_____________2014

Салават

2014

Методические указания предназначены для студентов направления подготовки 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств», профиль «Автоматизация технологических процессов и производств в нефтехимии и нефтепереработке»

Обсуждено на заседании кафедры ЭАПП

Протокол № ______ от ___________________2014

 Филиал ФГБОУ ВПО УГНТУ в г.Салавате, 2014

Характеристики детерминированныхсигналов

Цель работы: изучение характеристик детерминированных сигналов в программе «Mathcad».

1 Краткие теоретические сведения

1. Спектральные характеристики периодических сигналов

Условие периодичности – x(t) = x(t+mT), где T – период, m – натуральное число, m = 1, 2, .... Любой периодический сигнал x(t) может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье.

x(t) = a₀ + ∑ (a_k coskw₁t + b_k sinkw₁t) = a₀ + ∑ A_k cos(kw₁t + φ_k), (1.1)

где ω₁ = 2π/T – угловая частота 1-й или основной гармоники; a₀, а_k , и b_к коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:

a₀ = a_k = b_k =

где A_k – амплитуда k-й гармоники;φ_k – фаза k-й гармоники;a₀ – среднее значение сигнала (постоянная составляющая);kω₁= ω_k – угловая частотаk-й гармоники;t_н– момент времени, соответствующий началу периода.

Зависимости A_kиφ_kот частоты ω_k – это спектры амплитуд и фаз соответственно.

В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье

(1.2)

Коэффициенты ряда (1.2) вычисляются по формуле

(1.3)

Формулы (1.2) и (1.3) – пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов комплексный спектр периодического сигнала x(t).Совокупность действительных величин в зависимости от частоты – спектр амплитуд. Совокупность величин φ_k в зависимости от частоты – спектр фаз.

Ряд (1.2) удобно представлять в форме

(1.4)

(1.5)

Пример 1.1

Построить спектры амплитуд и фаз сигнала x(t), аналитическое выражение которого при исходных данных V_m:= 4volt∙sec^-1,T:= 2secиt₀:= 2secимеет вид

.

График сигнала при диапазоне изменения времени t:=-1.5∙T,представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 – График сигнала

Решение

Так как данный сигнал – периодическая функция времени, то для его спектрального представления нужно использовать или тригонометрический или комплексный ряд Фурье. Найдем спектры амплитуд и фаз на основе тригонометрического ряда Фурье.

Определим коэффициенты разложения сигнала на интервале t:= 0..Tпри угловой частоте основной гармоники ω₁:=и числе гармоникk:= 1..5.

1. Постоянная составляющая

2. Косинусоидальный коэффициент

Подстановка численных значений V_m, T и ω₁дает

В результате интегрирования получим

Например, a₁ = 0 volt; a₂ = 0 volt; a₃ = 0 volt; a₄ = 0 volt.

Более удобна другая форма определения коэффициентов разложения.

Так как

то выражая t₀ и ω₁ через T, имеем

Отсюда следует, что при k>0 коэффициенты a_k равны нулю.

3. Cинусоидальный коэффициент

Выражая t₀ и ω₁ через T, можно получить

Отсюда после упрощений следует

Амплитуда k-й гармоники

при k>1 будет

Таким образом, с учетом постоянной составляющей амплитудный спектр

Фазовый спектр

Так как коэффициенты a_k=0 и b_k<0, и составит, например для k=1, φ = 1.571.

Графики данных спектров в виде столбчатых диаграмм приведены на рисунке 2.