Тейлора многочлен

ТЕЙЛОРА МНОГОЧЛЕН

степени пдля функции f. праз дифференцируемой при х=х₀ - многочлен вида

Значения Т. м. и его производных до порядка n включительно в точке х=х₀ совпадают со значениями функции и ее соответствующих производных в той же точке:

Т. м. является многочленом наилучшего приближения функции f при в том смысле, что

и если к.-л. многочлен Q_n,(x) степени, не превышающей п, обладает тем свойством, что

где то он совпадает с Т. м. Р _п (х). Иначе говоря, многочлен, обладающий свойством (*), единствен. Если хотя бы одна из производных f^(k) (х), k=0, 1, . . ., п, не равна нулю в точке х ₀. то Т. м. является главной частью Тейлора формулы.

Остаточный член формулы Тейлора

В форме Лагранжа:

В форме Пеано:

при

Основные разложения в ряд Тейлора

Правило Лопиталяпредставляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типаили. Пустьaявляется некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и, то;
Если и, то аналогично.

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенностиможно свести к типуилис помощью алгебраических преобразований. А неопределенностисводятся к типус помощью соотношения