Производная параметрически и неявно заданных функций

Пусть x =  (t),y =  (t), t [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t,y = asin t, t [0,2]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x.

В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала следует, что y' = dy/dx, dy = '(t)dt, dx = '(t)dt. Поэтому

y'(x) = '(t)/'(t).

Используя формулу для второго дифференциала, получим

y(2)(x) = d(y'(x))/dx = ( '(t)/ '(t))'dt/ '(t)dt =

= ( ''(t)  '(t)- ''(t) '(t))/( '(t))³.

Чтобы вычислить третью производную, запишем y'''(x) в следующем виде

y'''(x) = d(y''(x))/dx.

Пример 10. Функция задана параметрически

x = a(t-sin t), y = a(1-cos t).

Наити y''(x).

y'_t = asin t, x'_t = a(1-cos t).

Отсюда

y'(x) = (asin t)/(a(1-cos t)) = ctg (t/2), t 2 k.

y''(x) = d(ctg (t/2))/(a(1-cos t)) = -1/4sin⁴t/2.

Пусть функция задана неявно уравнением F(x,y) = 0. Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, считая y = y(x) функцией от x, а затем из полученного уравнения найти производную y'. Чтобы найти производные высших порядков, нужно дифференцировать необходимое число раз уравнение F(x,y) = 0, и затем выразить нужную производную.

Пример 11. Найти y''(x), если :

x+y = e^x-y.

Дифференцируем данное уравнение по x, считая y функцией от x.

1+y'_x(x) = e^x-y(1-y'_x(x)),откуда y'_x = (e^x-y-1)/(1+e^x-y).

Дифференцируя уравнение еще раз, получим

y''_x(x) = e^x-y(1-y'_x(x))²-e^x-yy''_x(x),

следовательно,

y''_x(x) = (1-y'_x)²e^x-y/(1+e^x-y) = 4e^x-y/(1+e^x-y)³.

43

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть даны два уравнения

x=x(t),y=y(t), где t  [T1, T2].

(1)

Каждому значению t из [T₁, T₂] соответствуют определенные значения x и y. Если рассматривать значения x и y как координаты точки на плоскости xOy, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда tизменяется от T₁ до T₂, эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (1) называютсяпараметрическими уравнениями этой кривой, t называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (1) называется параметрическим.

Предположим, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x). Тогда, очевидно, у является функцией от x: y=y[t(x)]. Следовательно, уравнения (1) определяют y как функцию от x, и говорят, что функция y от x задается параметрически.

При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не всегда возможно. Во многих случаях удобнее задавать различные значения t и затем вычислять соответствующие значения аргумента x и функции y.

Пример. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

Построим эту кривую на плоскости, придавая различные значения параметру t и находя соответствующие значения х и у.

При t =0 M(R, 0). 

Таким образом, получаем окружность с центром в начале координат, радиуса R. Здесь t обозначает угол, образованный радиусом, проведенным в некоторую точку окружности М(x, y), и осью Ox.

Если исключим из этих уравнений параметр t, то получим уравнение окружности, содержащее только x и y. Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая их, находим:

x²+ y²=R²(cos²t + sin²t) или x²+ y²=R².

Выведем правило нахождения производных функций, заданных параметрически. Пусть x=x(t), y=y(t), причем на некотором отрезке [T₁, T₂] функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x' ≠ 0.

Т.к. у – функция, зависящая от переменной x, то будем считать, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x).

Будем обозначать: y_x' – производная функции по переменной x, y_t', x_t', t_x' – соответственно производные по t и х.

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим . Производную t_x' найдем по правилу дифференцирования обратной функции .

Окончательно, .

Итак,

Полученную функцию  можно рассматривать как функцию, заданную параметрически: .

Используя эту формулу, можно находить и производные высших порядков функций, заданных параметрически. Найдем . По определению второй производной . Учитывая, что y_x' есть функция параметра t, y_x'=f(t),получаем:

Примеры.

1. , y = arcsin (t–1). Найдем .

Следовательно, .

2. Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде x = a·(t – sin t), y = a·(1 – cost)

в произвольной точке (0 ≤t≤ 2·π).

Угловой коэффициент касательной .

x' = a·(1 – cost) ,y' = a·sin t. Поэтому .

3. 

Найти .

44

Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называетсяточкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализевыделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).