16

Примеры решения задач

Задача 1 . Закон движения материальной точки имеет вид rr(t)= (At +Ct 2 )i + (Bt + Dt3 )j,

где А = 4 м/с; С = 1 м/с2; В = 5 м/с; D = 1 м/с3.

Найти абсолютное значение скорости в момент t = 2 с.

Решение

По условию задачи компоненты радиус-вектора

x = At +Ct 2 = 4t +t 2, y = Bt + Dt3 =5t +t3 , z = 0.

Абсолютное значение скорости

v = v2x + v2y ,

Задача 2 . Самолет летит из пункта А в В, расположенный южнее А на 150 км, и возвращается обратно. Определить продолжительность полета, если известно, что во время рейса ветер дул с запада на восток. Скорость самолета 360 км/ч, скорость ветра 30 м/с.

Относительно системы отсчета, связанной с Землей

17

vrотн – скорость самолета относительно ветра.

vc = vотн2 − vв2 = 1002 −302 ≈ 95,4 мс .

Время движения из пункта А в пункт В:

Самолет вернется в пункт А через t = 2t1 = 0,88 час.

Задача 3 . С крыши дома высотой Н = 10 м вертикально вверх брошено тело с начальной скоростью v0 = 5 м/с. Определить время полета тела и его скорость при соприкосновении с Землей. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Построить графики зависимостей y(t), s(t), vy(t), ay(t).

В момент падения тела скорость v = v0 − gt = −15 м/с (знак «–»

показывает, что вектор скорости v направлен против выбранного направления оси Y).

18

19

Задача 4 . Из брандспойта (шланг с металлическим наконечником), расположенного около поверхности Земли, вырывается струя воды со скоростью v0 = 10 м/с. Брандспойт медленно вращается вокруг вертикальной оси, одновременно с этим меняется угол его наклона к Земле. Определить максимальную площадь, которую можно полить этим брандспойтом? Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать g = 10 м/с2.

Дано: Решение

v0 = 10 м/с

S = ?

В выбранной системе координат

полета максимальна, если 2α = 90°, т. е. α = 45°. Тогда максимальная

щади круга S = π(xmax )2 = 3,14 102 = 314 м2 .

Задача 5 . Тело бросили со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения и радиус кривизны траектории тела через 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

20

Дано: Решение

vо = 10 м/с α= 45°

t = 1 с

Направим оси ОХ и ОУ вдоль горизонтального и вертикального перемещений тела. Тело считаем материальной точкой. vох и vоу – проекции начальной скорости v0 на координатные оси. При движении тела vох не изменяется,

vox = v0 cosα = 7 м/с, v у = v0sinα− gt = v0 sin45o − gt .

Через t = 1 с после начала движения

v y =10 sin 45o −10 1 = −3 м/с,

т. е. направлена вертикально вниз. Результирующая скорость в момент времени t = 1 с равна

v = vox2 + v2y =7,6 (м/с)

и направлена по касательной к траектории в точке В.

Обозначим угол между вектором v и осью ОХ через β. С течением времени угол β меняется. Разложив вектор g на составляющие по касательному и нормальному направлениям к траектории в точке В, получим:

Радиус кривизны траектории в точке В вычислим по формуле

21

Тангенциальное ускорение

1 . 3 . ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Первый закон Ньютона

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение тел в связи с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения.

Основу динамики составляют законы Ньютона, которые выведены опытным путем.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит изменить ее это состояние.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называется также

законом инерции.

Система отсчета, в которой отсутствуют внешние силы, называется инерциальной системой отсчета. С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему

24

отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), пренебрежимо малы, поэтому при решении многих задач ее можно считать инерциальной. Кратко можно сказать, что инерциальными называются такие системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона.

Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства.

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело получает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Следует различать силу тяжести и вес тела. Вес тела – это сила, с которой тело, находящееся в поле сил тяжести, действует на опору или подвес, удерживающая тело от свободного падения.

Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы.

Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Механический принцип относительности

Рассмотрим две системы отсчета: XYZ, которая является инерциальной (неподвижной), и X'Y'Z', движущаяся относительно первой равномерно и прямолинейно вдоль оси Х со скоростью u.

25

Импульсом тела называют вектор, равный геометрической сумме импульсов точек системы (тела). Импульсы можно использовать для описания состояния частиц.

Второй закон Ньютона, выраженный уравнением

ar = mF ,

справедлив только в том случае, если масса тела остается неизменной в процессе движения.

Закон гласит: Ускорение тела прямо пропорционально равно-

действующей приложенных к нему сил и обратно пропорционально его массе. Тело ускоряется в направлении, совпадающем с направлением равнодействующей приложенных сил.

Производная импульса частицы по времени называется силой, действующей на частицу со стороны ее окружения.

Соотношение (1.5) выражает один из фундаментальных законов классической физики, названный вторым законом Ньютона.

Из (1.5) следует очень важный вывод: сила является функцией

состояния системы.

В неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона оказывается справедливым только в том случае, если к сумме всех сил, действующих на тело, добавить силу инерции:

Fин = −marин,

где aин – ускорение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.

Закон сохранения импульса. Третий закон Ньютона

Система частиц называется изолированной, если каждая из частиц системы не взаимодействует ни с какими внешними телами.

Когда результирующая внешняя сила, действующая на систему частиц, равна нулю, то

что составляет суть закона сохранения импульса.

Полный импульс изолированной системы тел сохраняется постоянным.

Постоянство полного импульса изолированной системы является фундаментальным свойством природы.

Рассмотрим изолированную систему двух частиц. Полный импульс системы

p = p1 + p2 .

Дифференцируя по времени полный импульс и учитывая закон сохранения импульса, получим:

По второму закону Ньютона

ddtp1 = Fr12 ; ddtp2 = Fr21,

где F12 – сила, с которой вторая частица действует на первую, а F21 –

сила действия первой частицы на вторую. Силы F12 и F21 называют сила-

ми действия и противодействия. Таким образом, из равенства (1.6) следует третий закон Ньютона:

F12 = −F21.

Отметим еще одно важное свойство сил.

Сила, с которой одна частица действует на другую, зависит только от радиус-векторов и скоростей только этих двух частиц. Присутствие других частиц на эту силу не влияет. Это свойство называется законом независимости действия сил или законом парности взаимодействия. Область применимости этого закона охватывает всю классическую механику.

Во многих случаях взаимодействие частиц носит характер столк-

новений.

Столкновением частиц называется процесс, в котором в начальный момент частицы настолько удалены друг от друга, что каждая из них является свободной. При этом импульсы частиц ориентированы так, что со временем частицы начинают взаимодействовать друг с другом. Например, столкновением двух заряженных шаров мы называем не только процесс их удара друг о друга, но и процесс при котором шары, не касаясь,

28