т. е. численное значение мгновенной скорости равно первой произвольной пути по времени.

В случае неравномерного движения, когда численное значение мгновенной скорости изменяется, можно пользоваться скалярной величиной – средней скоростью ( v ):

v = ∆∆St .

Если выражение dS = v dt проинтегрировать по времени, то найдем путь, пройденный точкой за время ∆t =t2 −t1 :

S = t∫2 v(t) dt.

t1

Ускорение

Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Средним ускорением неравномерного движения называется отношение изменения скорости ∆v к промежутку времени ∆t, за который произошло это изменение:

Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

10

∆vτ = v2 −v1.

определяет быстроту изменения величины скорости, оно направлено по касательной к траектории.

Если промежуток времени ∆t → 0, то точка М2 стремится к М1,

поэтому ∆S можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды М1М2. Тогда из подобия треугольников М1ВС и М1М2О следует

так как M1M 2 = ∆rr . Тогда

Если отбросить индекс при обозначении скорости, то

an = vr2 .

Нормальное (центростремительное) ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено перпендикулярно к вектору скорости.

Итак, полное ускорение точки есть геометрическая сумма нормального и тангенциального ускорений:

a = an +aτ или a = an2 +aτ2 .

12

Рассмотрим виды движения материальной точки:

1) an = 0, aτ = 0 – прямолинейное равномерное движение. 2) aτ = a = const, an = 0 – прямоли-

нейноеравнопеременное движение. Проинтегрируем выражение

dv = aτ dt = a dt :

v = v0 +at,

корением.

1 . 2 . КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного движений.

Движение твердого тела называют поступательным, если любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной ее первоначальному направлению.

13

При вращении точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны к ней.

Для описания вращательного движения вводят понятие угловой скорости и углового ускорения.

[ω ]= радс .

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, так что его положительное направление составляет с направлением вращения правовинтовую систему, т. е. подчиняется правилу буравчика.

За время dt точка M тела, вращающегося с угловой скоростью ω, проходит по дуге окружности радиуса R путь dS = v dt = R dϕ,

так что

Частота вращения показывает число оборотов тела в единицу вре-

мени:

н= T1 = 2ωπ,

откуда

ω= 2πн.

14

Угловое ускорение

Угловое ускорение вводят при неравномерном вращении. Если за время ∆t угловая скорость изменится на ∆ω, то отношение ∆ω к ∆t называют средним угловым ускорением:

Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения.

Тангенциальное ускорение:

aτ = ddtv = d(dtωR)= R ddtω = R ε.

Нормальное ускорение:

an = v2 = ω2 R2 = ω2 R.

R R

Сопоставим основные уравнения и величины кинематики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси и его поступательным движением, подчеркнув их аналогию.

15