Электричество1_(семестр_зад)_дневн

где h – расстояние от точки, где ищется индукция, до плоскости кон- тура.

7. Закон полного тока. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром,

lk =1

8.Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в сред- ней его части (или тороида на его оси),

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

r

9. Закон Ампера. Сила F , действующая на проводник с то- ком, помещенный в однородное магнитное поле, пропорциональна магнитной индукции B , силе тока J, протекающего по проводнику, длине проводника l и синусу угла a между направлением тока в про- воднике и направлением вектора магнитной индукции:

или для неоднородного магнитного поля

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки или по правилу тройки векторов.

10. Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников в токами J1 и J2, находящихся на рас- стоянии a друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l, выражается формулой

12. Индукция Bq магнитного поля, соз-

даваемого отдельным движущимся зарядом,

где рm – магнитный момент контура с током, равный произведению силы тока в контуре на площадь S, охватываемую этим контуром:

где a – угол между вектором нормали n к плоскости контура и век- r

тором индукции B.

В случае неоднородного поля поток вектора индукции выража-

где интегрирование ведется по всей площади S.

В системе СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб).

15. Работа перемещения замкнутого контура с током в магнит- ном поле

где DFm – изменение магнитного потока, пронизывающего поверх-

r

ром B индукции магнитного поля.

22

17. Эффект Холла. При протекании тока вдоль проводящей пластины, помещенной перпендикулярно магнитному полю, возни- кает поперечная разность потенциалов

движущая сила εi индукции, возникающая в замкнутом контуре, про- порциональна скорости изменения магнитного потока со временем:

где N × Fm = Ym – потокосцепление.

19. Разность потенциалов Dj на концах проводника длиной l, движущегося в однородном магнитном поле со скоростью V, выра-

22. Ток, протекающий по любому замкнутому проводнику, соз- дает магнитный поток Фm, который пронизывает поверхность, огра- ниченную этим проводником:

23

где L – коэффициент самоиндукции, или индуктивность контура. Единицей измерения индуктивности в системе СИ является

генри (Гн).

23. ЭДС самоиндукции εсi , возникающая в замкнутом контуре

при изменении силы тока в нем, пропорциональна скорости измене- ния силы тока dJ/dt:

ci dt

где L – индуктивность контура.

где V = l × S – объем соленоида; n – число витков на единицу длины

(N/l).

25. Энергия магнитного поля, создаваемого соленоидом с ин- дуктивностью L, определяется формулой

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Тонкий стержень длиной 30 см несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью 1 мкКл/м. На расстоянии 20 см от стержня находится заряд 10 нКл, равноудален- ный от концов стержня. Определить силу взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Дано: Решение:

l = 0,3 м

t = 10–6 Кл/м

r0 = 0,2 м

q = 10 · 10–9 Кл

F = ?

Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия то- чечных зарядов. Разобьем стержень на множество дифференциально малых участков длиной dl с зарядом dq = t × dl, каждый из которых

можно рассматривать как точечный. По закону Кулона сила взаимо- действия между зарядами q и dq

где r – расстояние от выделенного элемента до заряда q. r

Разложим вектор dF на две составляющие: dFx , перпендику-

r

лярную стержню, и dFy , параллельную ему. Для каждой пары заря-

дов dq, расположенных симметрично относительно центра стержня,

векторы dF1y и dF2 y в точке А равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому

27

Задача 2. Два маленьких шарика весом 5 · 10–5 Н каждый висят на шелковых нитях длиной 6 см, закрепленных в одной точке. Когда шарикам сообщили одинаковые по величине и знаку электрические заряды q, нити разошлись на угол 60º. Определить величину каждого заряда.

28

Заряженные шарики А и В находятся в равновесии, если для них выполняется условие

Fк + P + Fн = 0,

где Fк – сила кулоновского отталкивания; Fн – сила натяжения нити.

По рисунку видно, что

Задача 3. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального кабеля имеет радиус 2 мм и заряжен с линейной плотностью t1 = 3,14 · 10–12 Кл/см. Внешний цилиндриче- ский проводник имеет радиус 4 мм и заряжен с линейной плотностью t2 = –3,14 · 10–12 Кл/см. Изоляцией между цилиндрами служит резина (e = 3). Найти: 1) напряженность электрического поля в точке А, лежа- щей на расстоянии r1 = 3,14 · 10–3 м от оси кабеля; 2) напряженность электрического поля в точке В вне кабеля, лежащей на расстоянии r2 = 6 · 10–3 м от его оси; 3) разность потенциалов между цилиндрами.

29

1. Электрическое поле между цилиндрами создается лишь за- рядом внутреннего цилиндра кабеля. Напряженность этого поля в любой точке А, лежащей между цилиндрами, численно равна

t

EA = 2pe0er1

инаправлена радиально относительно оси кабеля. Подставив значе-1

ния t1, p, e0, e, r1, получим ЕА = 1 880 В/м.

2. Электрическое поле в любой точке вне кабеля создается за- рядами как внутреннего, так и внешнего цилиндров. Поэтому напря- женность поля в точке В равна

так как t1 + t2 = 0.

3. Разность потенциалов между цилиндрами кабеля

Ответ: ЕА = 1 880 В/м; ЕВ = 0; j1 - j2 = 1,3 В.

30

Задача 4. Тонкое кольцо радиусом R заряжено равномерно с линейной плотностью t. Определить напряженность электрического поля в вакууме: 1) на высоте h над кольцом по оси симметрии; 2) в центре кольца.

Дано: Решение:

R t

h

Е0 = ? ЕА= ?

Разобьем кольцо на бесконечно малые элементы dl. Заряд тако- го элемента dq = t× dl, и он создает в точке А поле напряженностью

31

Задача 5. В вакууме имеется скопление зарядов в форме длин- ного цилиндра радиуса R = 2 см. Объемная плотность зарядов r по- стоянна и равна 2 мкКл/м3. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r1 = 1 см, r2 = 3 см от оси цилиндра, и разность потенциалов между этими точками. Построить графики

E(r) и ϕ(r).

Дано: Решение:

r = 2 · 10–6 Кл/м3 r1 = 0,01 м

r2 = 0,03 м R = 0,02 м

Е1 = ? Е2 = ?

Характер функциональной зависимости E(r) для точек, лежа-

щих внутри и вне объемного заряда, различен. Поэтому следует про- вести две вспомогательные цилиндрические поверхности S1 и S2 с радиусами r1 < R и r2 > R. Для каждой поверхности теорема Остро- градского– Гаусса может быть записана в виде

На боковых поверхностях нормаль совпадает с направлением

r

E, поэтому

32

где r и h – радиус и высота вспомогательной поверхности. При r < R

Очевидно, что разность потенциалов двух заданных точек не зависит от выбора начала отсчета потенциала. Однако по условию задачи требуется еще построить график зависимости j(r). Для этого надо предварительно выбрать начало отсчета потенциала. По приве- денным выше соображениям о симметрии поля ясно, что оно не мо- жет находиться в бесконечности.

33

Для определения разности потенциалов между точками 1 и 2 по равенству (6) интеграл следует разбить на два: в пределах от точки 1 до поверхности, ограничивающей объемный заряд, и от этой поверх- ности до точки 2:

строить по анализу графика Er (r) , учитывая, что

Er = -dj / dr.

(d 2j / dr 2 ) > 0, и график ϕ(r) обращен вогнутостью вверх. При r = R кривая ϕ(r) имеет точку перегиба (вторая производная изменяет знак).

34

Задача 6. Пространство между пластинами плоского конденса- тора заполнено стеклом. Расстояние между пластинами равно 4 мм. На пластины подано напряжение 1 200 В. Найти: 1) напряжен- ность электрического поля в стекле; 2) поверхностную плотность за- рядов на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность свя- занных зарядов на стекле.

где s – поверхностная плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора; e – диэлектрическая проницаемость стекла.

Таким образом,

s= 6 ×8,85 ×10−12 ×3×105 =1,6 ×10−5 Кл/м2.

3.Вектор поляризации Ре, численно равный поверхностной плотности связанных зарядов sр, пропорционален напряженности поля в диэлектрике:

Ре = sр = ce0Е = (e – 1) e0Е.

Таким образом, поверхностная плотность связанных (поляри- зационных) зарядов на стекле

s p = (e -1)e0 E = 5 ×8,85 ×10−12 ×3 ×105 = 1,33 ×10−5 Кл/м2.

Ответ: Е = 3×105 В/м; s =1,6 ×10−5 Кл/м2; s p = 1,33 ×10−5 Кл/м2.

Задача 7. Определить электрическую емкость плоского конден- сатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора толщиной d1 = 2 мм и эбонита толщиной d2 = 1,5 мм, если площадь пластин S = 100 см2.

35

U = U1 +U2 = E1d1 + E2d2 ,

где E1 и E2 – напряженности электрических полей в фарфоре и эбони- те.

ная плотность зарядов на пластинах конденсатора, равенство (1) мож- но переписать в виде

Ответ: C = 98,3 пФ.

Задача 8. Если вольтметр соединить последовательно с рези- стором сопротивлением R1 = 10 кОм, то при напряжении U0 = 120 В он покажет U1 = 50 В. Если соединить его последовательно с рези- стором неизвестного сопротивления Rx, то при том же напряжении вольтметр покажет U2 = 10 В. Определить это сопротивление.

Дано: Решение:

R1 = 104 Ом

U0 = 120 В

U1 = 50 В

U2 = 10 В

Rx = ?

36

При последовательном соединении сила тока одинакова на всех участках цепи. Поэтому для двух элементов цепи: вольтметра и рези- стора – можно составить пропорции:

ε1 = 1,5 В и ε2 = 1,6 В и внутренние сопротивления r1 = 0,6 Ом и r2 = 0,4 Ом, соединены разноименными полюсами. Пренебрегая со- противлением соединительных проводов, определить разность по- тенциалов на зажимах элементов (между точками a и b).

Дано: Решение:

ε1 = 1,5 В ε2 = 1,6 В r1 = 0,6 Ом r2 = 0,4 Ом

ϕa – ϕb = ?

Точки a и b являются концами двух участков цепи: aε1b и aε2b. Оба участка являются участками неоднородной цепи. Для участка aε1b закон Ома для неоднородной цепи

r1

Для участка aε2b

37

Исключив из уравнений (1) и (2) силу тока J, получим

Ответ: ϕa − ϕb = 0,36 В.

Задача 10. В схеме, показанной на рисунке, ε1 – элемент с ЭДС,

равной 2,1 В, ε2 = 1,9 В, R1 = 45 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 10 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением эле- ментов пренебречь.

Дано: Решение:

ε1 = 2,1 В ε2 = 1,9 В R1 = 45 Ом R2 = 10 Ом R3 = 10 Ом

J1 = ? J2 = ? J3 = ?

Применим законы Кирхгофа для данной разветвленной цепи. Расставим направления токов на отдельных участках цепи. По пер- вому закону Кирхгофа для узла С

Получим три уравнения с тремя неизвестными J1, J2 и J3. Подставив численные данные в уравнения (1), (2) и (3),

получим

38

J3 = J1 + J2 ,

+ =

10J3 45J1 2,1,45J1 -10J2 =1,9.

Решая эти уравнения, получим

J1 = 0,04 А, J2 = –0,01 А, J3 = 0,03 А.

Отрицательный знак у тока J2 указывает на то, что направление тока было взято неверно. Направление тока J2 в действительности будет от D к С.

Ответ: J1 = 0,04 А; J2 = 0,01 А; J3 = 0,03 А.

Задача 11. Два бесконечно длинных параллельных провода, по которым текут в одном направлении токи с силой 60 А, расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии 5 см и от другого – на расстоянии 12 см.

Дано: Решение:

J1 = J2 = 60 A d = 0,1 м

r1 = 5 · 10–2 м r2 = 12 · 10–2 м

В = ?

C

D

Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А оп- ределим направления векторов индукций B1 и B2 полей, создавае-

мых каждым проводником в отдельности, и по принципу суперпози- ции полей:

B = B1 + B2.

Абсолютное значение индукций найдем по теореме косинусов:

39