9.2. Дискретные двумерные случайные величины

Двумерная случайная величина {X,Y} называется дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной. Ясно, что если дискретная величина X может принимать только значения x₁,…,x_n, а случайная величина Y – значения y₁,…,y_n, то двумерный случайный вектор {X,Y} может принимать только пары значений (x_i,y_j). Обычно системы двух ДСВ описывается матрицей распределения, т.е. прямоугольной таблицей, в которой записаны все вероятности p_ij того, что двумерная ДСВ примет значение (x_i,y_j).

Y X	y1	…	ym	PX
x1	p11	…	p1m	p1
…	…	…	…	…
xn	pn1	…	pnm	pn
PY	q1	…	qm

Сумма всех вероятностей p_ij , стоящих в матрице, равна единице как сумма вероятностей полной группы несовместных событий:

.

Зная матрицу распределения системы двух ДСВ легко найти законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему:

.

Пример 9.1. Двумерная дискретная величина {X,Y} задана законом распределения:

Y X	2	3	4
2	0,3	0,15	0,05
3	0,15	0,10	0,05
4	0,05	0,05	0,05
5	0,05	0	0

Найти законы распределения составляющих X и Y.

Решение. Суммируя вероятности в i-й строке, находим

P(X=x_i)=p_i, (i=1,2,3,4):

P(X=2)=0,3+0,15+0,05=0,50, P(X=3)=0,15+0,10+0,05=0,30,

P(X=4)=0,05+0,05+0,05=0,15, P(X=5)=0,05.

Проверка: 0,5+0,3+0,15+0,05=1.

Суммируя вероятности в k-м столбце, находим

P(Y=y_j)=q_j, (j=1,2,3):

P(Y=2)=0,3+0,15+0,05+0,05=0,55,

P(Y=3)=0,15+0,10+0,05=0,30,

P(Y=4)=0,05+0,05+0,05=0,15.

Проверка: 0,55+0,3+0,15=1.

Таким образом, законы распределения X и Y имеют вид:

xi	2	3	4	5		yi	2	3	4
pi	0,50	0,30	0,15	0,05		qi	0,55	0,30	0,15

9.3. Непрерывные двумерные случайные величины

Двумерная случайная величина {X,Y} называется непрерывной, если каждая из случайных величин X и Y является непрерывной. Система двух НСВ обычно описывается плотностью распределения:

(9.3)

Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F(x,y) всюду непрерывна и имеет всюду непрерывную частную смешанную производную второго порядка. Отметим два свойства плотности распределения f(x,y):

1) 2)

Геометрически плотность распределения f(x,y) двумерной НСВ изображается поверхностью распределения, причем объем фигуры, ограниченной такой поверхностью и плоскостью xOy, равен единице.

Зная плотность распределения f(x,y) можно найти функцию распределения:

. (9.4)

Отметим, что здесь имеет место теорема Фубини, которая гласит, что этот двойной интеграл можно представить в виде повторного, причем в любом порядке.

Аналогично тому, как вероятность попадания одномерной НСВ в пределы участка (a,b) геометрически изображалось площадью, ограниченной сверху кривой распределения, опирающейся на этот участок, вероятность попадания двумерной НСВ в область D геометрически изображается объемом тела, ограниченного сверху поверхностью распределения f(x,y), опирающегося на эту область:

. (9.5)

И последнее, из свойства 5 двумерной функции распределения и формулы (9.4) получим

, ,

откуда, дифференцируя по x или y, получаем выражения для одномерных плотностей случайных величин X и Y:

. (9.6)

Пример 9.2. Система двух случайных величин {X,Y} задана плотностью распределения:

.

Найти функцию распределения F(x,y). Определить вероятность попадания случайной точки {X,Y} в квадрат D: 0x1, 0y1.

Решение. Функцию распределения F(x,y) находим по формуле (9.4):

.

Вероятность попадания в прямоугольник D находим по формуле (9.5):

.