Методы вычисления. Лекции 1-2
.pdf
Виды погрешности Абсолютная и относительная погрешности
Относительная погрешность
Абсолютная погрешность позволяет судить о точности числа, только если известно само это число (точное или приближенное).
Для "безмасштабной\ оценки точности используется безразмерная величина – относительная погрешность:
(x ) = A(x ) x
x=3.14 – приближенное значение числа с погрешностью 0.00159.... Предельная относительная погрешность:
0.0016/3.14=0.00051=0.051%.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
21 / 50 |
Виды погрешности Абсолютная и относительная погрешности
Способы записи приближенных чисел
3:1400 0:0016, 3:1415 0:01;
от 3:1384 до 3:1416;
3:14 – использование в записи только верных значащих цифр.
Значащими цифрами в десятичной записи числа называются все цифры, начиная с первой ненулевой слева.
Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400 равна 50, то это число должно быть записано в виде 524 102 или 0:524 105.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
22 / 50 |
Виды погрешности Абсолютная и относительная погрешности
Округление чисел
При округлении числа x, записанного в системе с основанием
|
|
x = [a1 n + a2 n 1 + a3 n 2 + : : : + am n m+1 + : : :] |
|
|
|
|||||
|
|
|
до m разрядов, |
|
|
|
||||
|
|
если |
|
|
|
если |
|
|
|
|
am+1 |
+ am+2 1 + ::: < |
1 |
; |
|
am+1 + am+2 1 + ::: > |
1 |
; |
|||
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
x = [a1 n + : : : + am n m+1] |
|
x = [a1 n + : : : + (am + 1) n m+1] |
||||||||
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
23 / 50 |
Виды погрешности Абсолютная и относительная погрешности
Округление чисел
При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа.
Чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
24 / 50 |
Виды погрешности Погрешность функции
Абсолютная погрешность функции
Пусть известны абсолютные и относительные погрешности аргументов функции f (x1; x2; : : : ; xn).
Абсолютная погрешность функции (при малых абсолютных погрешностях)
af = f (x1; : : : ; xn) f (x1 ; : : : ; xn |
n |
|
|
|
|
|
x= axi |
|||||||||||
) = i=1 @xi |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
@f (x) |
|
|
|
||||
полагая, что @xi |
x= |
|
@xi |
x=x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
@f (x) |
|
|
@f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@xi |
x=x Axi или |
Af |
n |
|
@xi |
x=x Axi |
||||||||||
Af i=1 |
|
= i=1 |
||||||||||||||||
X |
|
@f (x) |
|
|
|
|
|
|
X |
|
@f (x) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
25 / 50 |
Виды погрешности Погрешность функции
Относительная погрешность функции
|
|
f = Af |
|
= |
n |
|
@xi |
|
x=x |
|
Axi = |
|
n |
(ln f (x ))0 x Axi |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f (x ) |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
||
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
f (x ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
известна относительная |
погрешность |
аргументов, то |
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = |
Xi |
xi (ln f (x ))0 x x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
26 / 50 |
Виды погрешности Погрешность функции
Погрешность суммы x = x1 + x2 + : : : + xn
при сложении приближенных величин их абсолютные погрешности складываются Af = Pni=1 Axi .
относительная погрешность суммы будет заключена между наибольшей и наименьшей относительной погрешности слагаемых:
|
|
|
|
Af |
|
|
|
n xi |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
xi |
|
|
|
|
j |
f (x ) |
j |
x |
|
||||||
f = |
|
|
= |
=1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f M |
x |
1 + x |
2 + x 3 |
+ : : : + x n |
= M |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
f m |
x |
1 + x |
2 + x 3 |
+ : : : + x n |
= m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
27 / 50 |
Виды погрешности Погрешность функции
Погрешность разности x = x1 x2
При вычитании абсолютная погрешность будет равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
Af = Ax1 + Ax2 .
относительная погрешность будет больше чем относительная погрешность каждого операнда:
|
|
A |
|
|
n x |
|
x1 |
|
+ x |
|
x2 |
|
|
|
|
f |
|
|
1 |
|
2 |
|
|||||
x = |
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
f (x ) |
j |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
= |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если уменьшаемое и вычитаемое близки друг к другу, то дробь будет очень велика. ) Следует избегать непосредственного вычитания двух близких величин.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
28 / 50 |
Виды погрешности Погрешность функции
Объем сферического слоя
Пример ошибки, возникающей при вычитании близких величин
Необходимо найти объем сферического слоя с внутренним радиусом r
ивнешним радиусом r + a.
Формула 1:
|
V = |
|
4 |
(r + a)3 r3 |
(1) |
|
Формула 2: |
3 |
|||||
|
4 |
9 3r2a + 3ra2 + a3 |
|
|||
|
V = |
|
(2) |
|||
8 |
3 |
|||||
При r = 1:0 10 , a = 1:0 10 |
формула (1) при вычислении в |
|
||||
системе MATLAB дает неверный результат V = 0. Вычисляя объем по формуле (2), получим V = 1:25664 108.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
29 / 50 |
Виды погрешности Погрешность функции
Погрешность произведения x = x1 x2
Абсолютная погрешность:
Af = |
x |
Ax + |
x |
Ax |
|
x |
|
||||
|
1 |
x |
2 |
||
1 |
|
2 |
|
||
При произведении приближенных чисел относительные погрешности складываются:
f = x1 + x2
.
Кафедра ТМ (СГАУ) |
Методы вычислений |
19 февраля 2012 г. |
30 / 50 |