Методы вычисления. Лекции 1-2

Математическое моделирование

Применение вычислительных методов

Открытие планеты Нептун

К 40-м годам XIX в. точные наблюдения показали, что Уран едва заметно уклоняется от того пути, по которому он должен следовать с учетом возмущений со стороны всех известных планет.

Леверье (во Франции) и Адамс (в Англии) высказали предположение, что на Уран него действует притяжение еще не известного тела. Они почти одновременно рассчитали, где за Ураном должно быть неизвестное тело, производящее своим притяжением эти отклонения.

Планета была найдена в телескоп на указанном ими месте в 1846 г. Её назвали Нептуном.

Математическое моделирование

Компьютерное моделирование

Новые возможности

Возможность решения задач, решение которых ранее было практически невозможным.

Развились целые области математики, которые не могли бы существовать без компьютеров (нелинейная динамика, хаотическая динамика).

Новые сложности

Пересмотр традиционных докомпьютерных методов вычислений. Формальный перенос привычных алгоритмов для вычислений вручную на машинный язык приводит к ошибкам и неэффективным программам;

Усложнение алгоритмов. Математическая библиотека/программа как “черный ящик”;

Математическое моделирование

Этапы компьютерного моделирования

Модель

Алгоритм

Программа

Программное обеспечение

Коммерческое ПО

Mathematica (Wolfram Research)

Универсальная система, ориентированная как на аналитическое так и на численное решение задач. Функциональный язык программирования.

MATLAB – MATrix LABoratory (MathWorks) Ориентирована на использование численных методов для

решения задач. Базовым элементом системы является матрица.

Maple.

MathCad.

Программное обеспечение

Свободное ПО

OCTAVE

аналог MATLAB: многие программы, написанные для MATLAB работают в OCTAVE с небольшими модификациями;

R

система для проведения статистических расчётов;

sagemath

Разрабатывается как свободная замена MATLAB/Mathematica/Maple. Позволяет решать задачи алгебры, комбинаторики, вычислительной математики и матанализа.

Программное обеспечение

Свободное ПО

SciLab

Maxima имеет широкий набор средств для проведения аналитических, численных вычислений и построения графиков. По набору возможностей система близка к таким коммерческим системам как Maple и Mathematica.

Python

с "научными\ библиотеками NumPy, SciPy, Matplotlib по возможностям не уступает MATLAB при потенциально более высокой вычислительной эффективности.

Программное обеспечение

Математические библиотеки

GNU Scientific Library – обширная библиотека математических функций.

NAG – библиотека математических функция для различных языков программирования : C, C++, Fortran, Java, Python, .NET, пакетов: MATLAB, Maple, Excel).

BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) – библиотека базовых функций для работы с векторами и матрицами.

LAPACK++ – C++ интерфейс для работы с LAPACK и BLAS.

ODEPACK – библиотека для решения различных типов дифференциальных уравнений.

Виды погрешности

Z x1

f (x) ) y = f (x)dx ) y

x0

Варианты решения задачи:

1замена f (x) на более простую легко интегрируемую функцию f (x), близкую к f (x).

Z x1

f (x) ) y = f (x)dx ) y

x0

R

P

2 замена интеграла суммой : : : dx ! : : :

f (x) ) y = Xf (x) ) y

Виды погрешности

Устранимая и неустранимая погрешность

При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе погрешностей.

Погрешность – это отклонение приближенного решения от истинного решения.