Optics print-ver

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет

Оптика

Лектор: Мартыненко Алексей Петрович

Верстка: Козлов Дмитрий Андреевич

Самара, 2012 год

Оптика

Содержание

IГеометрическая оптика.

1

Оптика

2

Оптика

Часть I

Геометрическая оптика.

Предельный переход от волновой оптики к геометрической.

Геометрическая оптика построена на четырех законах, полученных из опыта: закон прямолинейного распространения света, закон независимости световых лучей, закон отражения и закон преломления света. Нет необходимости строить формальную систему, основанную на этих четырех законах, так как геометрическая оптика является лишь предельным частным случаем волновой оптики. В этом параграфе будет получен предельный переход.

1Волновое уравнение.

Общий вид волнового уравнения

Его решение f = f(r; t) называется волновой функцией. Одним из важных видов волнового уравнения является одномерный случай f(z, t)

Или в координатах = t z=v, = t + z=v

@2f = 0

@ @

Общее решение этого уравнения представляет собой сумму (или суперпозицию) двух волновых функций f( ; ) = ( ) + ( ) или в исходных переменных f(z; t) = (t z=v) + (t + z=v). и описывают две

плоские волны, распространяющиеся в противоположных направлениях.

2Решение волнового уравнения для сферической волны.

Лаплассиан в сферических координатах выражается следующим образом

Полученное уравнение формально совпадает с уже разрешенным, общим решением которого является

3

Оптика

3Предельный переход к геометрической оптике.

Если рассматривать некоторую среду с переменными показателями диэлектрической и магнитной проницаемости, то уравнения Максвелла принимают вид

Соответствующее волновое уравнение довольно сложно. При взятии ротора от обоих частей третьего уравнения необходимо применять правила дифференцирования, учитывая зависимость v от координат.

Тем не менее предельный переход возможно получить исходя из обычного волнового уравнения.

E =

1 @E

v2 @t

Принимается следующий вид волновой функции

E = a Exp(i!t ik0 )

описывающей распространение плоской монохроматической волны в неоднородной среде. k0 волновое число в вакууме. Зависящий от координат множитель n = c=v вносится в функцию (r), которая называется эйконалом.

Подстановка E в волновое уравнение дает два следующих

a + a!2 ak2(r )2 = 0

v2 0

a + 2(ra)(r ) = 0

Чтобы упростить первое уравнение, вводится допущение о том, что длина волны достаточно мала, а амплитуда волны меняется в пространстве медленно, так что выполняется условие

Где s единичный вектор нормали волнового фронта. Это уравнение позволяет выразить скорость вол-

ны в направлении, перпендикулярном направлению волнового фронта, дифференцированием уравнения фазовой поверхности !t k0 = const, причем эта скорость равна v.

Далее следует подставить (r ) во второе уравнение

Луч следует рассматривать как кривую, ортогональную к семейству волновых фронтов, и заменить взятие частной производной дифференцированием по длине луча. В таком случае

Отсюда очевидно, что для определения амплитуды волны в какой-либо точке луча необходимо знать только значение амплитуды в какой-либо другой точке этого же луча. Иными словами, световые поля разных лучей не зависят друг от друга.

4

Оптика

Представление о независимости лучей можно также получить из второго уравнения другим путем. Домножение на a дает

a2 + 2a(ra)(ns) = a2r(r ) + (ra2)(ns) = a2r(ns) + (ra2)(ns) = r(a2ns) = 0

Данное выражение совпадает с уравнением неразрывности для стационарного течения, где роль плотности тока играет вектор a2ns.

называются системой уравнений геометрической оптики .

4Принцип Ферма.

Пьер Ферма сформулировал принцип, согласно которому свет при распространении из одной точки в другую выбирает путь, которому соответствует наименьшее время распространения .

Для доказательства принципа Ферма необходимо рассмотреть источник света и участок луча (ABC), замкнутый через произвольную точку пространства D.

I Z Z

(r )dl = n(sdl) + n(sdl) = 0

(ABCD) (ABC) (CDA)

Стоит отметить, что это выражение верно, если является однозначной функцией координат. По направлению луча (sdl) = dl, поэтому первый интеграл можно заменить интегралом первого рода.

Последнее неравенство и доказывает принцип Ферма.

Полученный принцип позволяет вывести закон преломления и отражения света. Все следующие доказательства рассматриваются в плоскости.

Справедливость закона отражения доказывается следующим образом: пусть луч приближается к границе раздела сред из источника A, отражается в точке O и попадает в точку B. Пусть также O точка, соответствующая равенству угла падения и отражения, O0 некоторая другая точка, а A0 зеркальное отображение A в плоскости раздела сред. Легко убедиться, что O лежит на отрезке A0B. Результатом этого построения является треугольник A0BO0, в котором

AO = A0O

AO0 = A0O0

A0B = A0O + OB

A0B 6 A0O0 + O0B

Первые три соотношения верны по построению, а четвертое есть неравенство треугольника. Результиру-

ющее неравенство

AO + OB 6 AO0 + O0B

показывает, что путь из A в B, получаемый из закона отражения света, соответствует минимуму оптиче- ского пути.

Чтобы доказать закон преломления, недостаточно одних построений. Пусть из точки A на поверхность

раздела сред падает луч, преломляется в некоторой точке O и попадает в B. Пусть также ортогональньная проекция A на плоскость раздела сред есть точка A0, à B åñòü B0. Далее вводятся следующие обозначения: A0B0 = l, A0O = x. Оптический путь из A в B через точку O выражается следующей функцией

pp

L(x) = n1 (AA0)2 + x2 + n2 (l x)2 + (BB0)2

5

Оптика

Следует найти нуль производной L(x), чтобы установить, при каких условиях оптический путь достигает минимума.

Таким образом, закон преломления Снелиуса также следует из принципа Ферма. Система из уравнений (3.1) и (3.2) вместе с принципом Ферма полностью описывает всю геометрическую оптику.

Часть II

Фазовая и групповая скорости. Поляризация света.

Множество разновидностей волн не исчерпывается классами монохроматических плоских и сферических волн. В этом параграфе будут рассмотрены совокупности волн, двигающиеся как одно целое волновые пакеты, а также поляризация света.

5Волновой пакет и групповая скорость.

Фазовой скоростью называется скорость движения волнового фронта. Из уравнения фазовой поверхности непосредственно следует, что v = !=k. За скорость перемещения совокупности волн с волновыми числами

в диапазоне [k0 k; k0 + k] принимается скорость максимума огибающей. Суперпозиция всех волн пакета представляется интегралом

k0+ k

Z

U(x; t) = a(k)ei(!t kx)dk

k0 k

Где a(k) зависимость амплитуды от волнового числа. Группой волн называется волновой пакет, для которого диапазон волновых чисел настолько узок, что внутри него зависимость скорости и частоты

Такое представление функции ! позволяет переписать интеграл в виде

k0+ k

Z

U(x; t) = a(k)ei(!0t k0x)ei(!0 t x)(k k0)dk

k0 k

Если группа волн характеризуется очень узким диапазоном волновых чисел и амплитуда меняется слабо, то множитель a(k) можно заменить на a(k0) и вынести из интеграла. После замены ! k k0 он примет âèä

k

Это уравнение описывает волну с амплитудой

Sin k(!0t x)

A(x; t) = 2a(k0) !0t x

Максимум расположен в точке !0t x = 0. Скорость распространения максимума амплитуды волнового

пакета называется групповой скоростью.

dx d! dt = dk

6

Оптика

6Поляризация света.

Уравнения Максвелла указывают на поперечность векторов E и H в плоской волне. Для E(z; t) и H(z; t) верно следующее

div E = @Ez = 0

@z

(k rot H) = @Hy @Hx = 1 @Ez = 0

@x @y c @t

Следовательно Ez(z; t) = const, вектор E совершает колебания в плоскости, перпендикулярной направ-

правлении. Такие волны называются линейно поляризованными . Если выделить направление колебания невозможно, вектор

E(z; t) = iEx(z; t) + jEy(z; t)

Описывает в плоскости некоторую кривую. Плоскость, в которой совершаются колебания E, называется

плоскостью поляризации.

Которое получается манипулированием значений компонент, формально совпадает с уравнением эллипса. Вектор может перемещаться по эллипсу по часовой стрелке (правополяризованная волна) или против (левополяризованная волна). Если раскрыть скобки, оно примет вид

Характер движения зависит от разности фаз 2 1: в зависимости от е¼ значения эллипс может вырождаться в отрезок или окружность. При 2 1 = m , где m 2 Z, правая часть уравнения обращается в

ноль, и все уравнение упрощается до

Ex = Ey A1 A2

Зависимость Ex îò Ey однозначно линейная. Этот случай является случаем линейной поляризации. Аналогично, при 2 1 = =2 + m уравнение ( ) вырождается в уравнение окружности (если амплитуды одинаковы)

Такая поляризация называется круговой.

Направление поляризации также определяется разностью фаз. Если зафиксировать некоторый момент времени t = t0 для рассматриваемой точки, что !t0 kz + 1 = 0 из исходной системы для Ex è Ey

Ex = A1

Ey = A2 Cos( 2 1)

E_y = !A2 Sin( 2 1)

7

Оптика

Знак производной E_y полноcтью задает направление вращения вектора напряженности. Для разности фаз в промежутке (0; ) направление обхода будет совершаться по часовой стрелке, а для ( ; 0) против.

Правая круговая поляризация имеет разность фаз =2 + 2m

E(+) = A Cos( + 1)i A Sin( + 1)j

Точно так же получается выражение вектора при разности фаз =2 + 2m (левая поляризация).

E( ) = A Cos( + 1)i + A Sin( + 1)j

Сумма векторов для правой круговой поляризации и левой круговой поляризации в результате дает вектор с линейной поляризацией. Любую линейно поляризованную волну можно разложить на сумму двух волн с круговой поляризацией.

E(+) + E( ) = 2A Cos( + 1)i

Часть III

Волновой вектор. Энергия света.

Следующим шагом будет обобщение уравнения волны для движения в произвольном направлении в произвольной системе координат путем введения волнового вектора. Будет рассмотрен простой случай плоской волны, хотя волновой вектор может зависеть от координат и времени. Во второй части рассмотрено доказательство теоремы Пойнтинга.

7Комплексная форма волновой функции и волновой вектор.

При рассмотрении плоскополяризованного вектора E удобно перейти к представлению его в комплексной форме. После замены по формулам Эйлера Cos x на Re[eix]

E = Re (A1ei 1 i + A2ei 2 j)ei(!t kz)

За E будет обозначаться комплексное значение под оператором взятия действительной части. Пусть задана плоская монохроматическая волна

E = eei(!t Kr)

H = hei(!t Kr)

Вектор nk называется волновым вектором и обозначается K, где n вектор нормали к волновому фронту, направленный в сторону распространения волны. Значения дивергенций для E и H

div E = (exKx + eyKy + ezKz)ei(!t Kr)

div H = (hxKx + hyKy + hzKz)ei(!t Kr)

Роторы расписываются с учетом того, что

@ Exj = iexj Kxi ei(!t Kr) @xi

На примере rot E

8

Оптика

Абсолютно аналогично выводится соотношение [nh] = e. Из выражений для дивергенций следует (eK) = = 0 и (hK) = 0. Эти равенства говорят о том, что вектора E и H не только перпендикулярны направлению движения (которое совпадает с направлением вектора K), но и взаимноперпендикулярны.

8 Энергия света.

Интеграл в левой части уравнения заменяется по теореме Остроградского-Гаусса на поверхностный по границе @V . Этот резуьтат, известный также как теорема Пойнтинга, представляет собой закон сохране-

ния энергии для электромагнитых полей. Согласно ему, электромагнитная энергия в некоторой области расходуется на джоулево тепло и на поток вектора Пойнтинга через границу области.

При рассмотрении случая тока точечных зарядов в среде плотность тока в точке представится следующей функцией

X

j(r) = qiri (r ri)

Здесь это дельта-функция Дирака, обладающая следующим свойством

Z

f(x) = f(r) (r x)dr

1

Если положить, что для точечных зарядов верны законы Ньютона

d

mdtri = qiEi

То второе слагаемое в (8.1)

9