Optics print-ver

Оптика

В интеграле по переменной x сделаем замену kx2 ! b s2. В силу симметрии задачи проведем интегриро- вание от 0 до конечного значения параметра s.

rs

Получившиеся из формул Эйлера два интеграла X(s) и Y (s) описывают зависимость амплитуды от параметра s, они называются интегралами Френеля.

Для построения фазовой диаграммы удобно рассматривать E . Получившаяся диаграмма называется спиралью Корню.

20

Оптика

Спираль бесконечно обвивается вокруг двух симметрично расположенных фокусов. Положение которых:

Параметр s играет роль длины дуги спирали, в самом деле

dX2(s) + dY 2(s) = ds2

21 Дифракция Фраунгофера на щели.

Дифракционные задачи принято классифицировать по расстояниям источника и экрана до дифракционной щели. Если эти расстояния очень велики, говорят о дифракции в параллельных пучках дифракции Фраунгофера.

В задачах на дифракцию Фраунгофера рассматривают падение плоской волны на некоторое отверстие, а разности хода считают для параллельных пучков какого-либо направления. В опытах получившиеся параллельные пучки фокусируют линзой на экран, таким образом получается интерференционная картина.

Рассчитаем дифракцию на щели шириной b. Разность фаз двух пучков, падающих на расстоянии x друг от друга на щель, очевидно, kx Sin , где направление на экран. Результирующее световое поле

Ãäå I0 интенсивность в точке главного максимума, которая соответствует = 0. Условие для минимумов очевидно

m = b Sin

Если свет падает не нормально, а под углом 0

22 Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии.

В общем случае дифракция Фраунгофера на произвольном отверстии рассчитывается интегралом

ZZ

E = e ik(sr)ds = e ik(sxrx+syry)dxdy

SS

Для примера рассмотрим прямоугольную щель a на b.

Отсюда видно, что для меньшего поперечного сечения размер щели между максимумами больше.

21

Оптика

Для того чтобы рассмотреть дифракцию Фраунгофера на круглом отверстии, введем полярные координаты на отверстии (r; ) и на экране (r0; 0). Точки начала отсчета расположим на оси отверстия. Расстояние между точками начала отсчета обозначим вектором z. Радиус-вектора на соответствующих плоскостях

r è r0. Так, вектор от точки наблюдения до произвольной точки отверстия

r0 = (r r0) + z

В силу того, что экран параллелен плоскости отверстия, z ? r; r0, следовательно

r02 = z2 + (r r0)2

Так же, как в случае дифракции на прямоугольной щели, разложением в ряд Тейлора можно получить

S

При малых углах дифракции можно считать, что Cos = 0. Расстояние до экрана мы берем достаточно большим, чтобы пренебречь слагаемым второго порядка малости по r0. При нормальном падении волны дифференцирование по направлению вектора нормали эквивалентно домножению на ik, таким образом, вся скобка оказывается равной 2ikE.

S

Для малых углов дифракции мы можем так же пренебречь (r r0)2 по сравнению с z2, то есть принять r0 z. Тогда получим следующее выражение для интеграла

S

При переходе к полярным координатам скалярное произведение просто можно заменить на произведение модулей на косинус угла между векторами

R2

Пренебрегаем квадратом модуля вектора r по отношению к скалярному произведению, так как мы счита-

ем, что отверстие достаточно маленькое, чтобы наблюдалась дифракция. Также необходимым является положение о том, что для малого отверстия изменением E в пределах отверстия можно пренебречь, считая

E(r; ) = E0, так как это позволяет взять интеграл аналитически.

R2

Интеграл в правой части представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка, которую можно определить как

В действительности функция Бесселя порядка a 2 R определяется как решение дифференциального урав-

нения второго порядка

x2f00 + xf0 + (x2 a2)f = 0

Для нас важным свойством является связь между функциями Бесселя первого и нулевого порядков

z

Z

zJ1(z) = J (x)xdx

0

22

R2

00

Отсюда получается следующее выражение для амплитуды

Выражение для интенсивности

!

Таким образом, распределение интенсивности при дифракции на круглом отверстии описывается функцией Бесселя, график которой изображен на рис. 2.

23 Дифракционная решетка.

Дифракционная решетка спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин волн. Рассмотрим простую решетку, состоящую из одинаковых равностоящих друг от друга параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Пусть ширина щели решетки b, а расстояние

между двумя соседними щелями a. Величина a + b называется периодом решетки. Выберем произвольное направление под углом к нормали решетки и рассчитаем максимумы дифракции Фраунгофера.

Разность хода двух лучей от разных щелей очевидно d Sin , а суммарное поле получается как сумма амплитуд от каждой щели

XX

E = Ej = E1e ij

jj

23

Оптика

Ãäå E1 амплитуда колебания от первой щели, а разница фаз волн для двух соседних щелей. Сумма представляет собой сумму первых N слагаемых в геометрической прогрессии

Возводя в квадрат и приводя экспоненты к синусам по формулам Эйлера, получаем конечный результат

для интенсивности

0 N 12

I = I BSin 2 C

BC

1

@ A

Sin 2

Так как N натуральное, максимумы будут соответствовать условию

Максимумы, соответствующие этому условию, называются главными. Следует отметить, что некоторые максимумы наблюдаться не будут, так как они попадают под условие минимума дифракции от прямоугольной щели.

Аналогично получаем условие для минимума

Таким образом, между двумя главными максимумами располагаются (N 1) минимумов. Между этими минимумами располагаются слабые максимумы, называемые добавочными.

У дифракционной решетки есть некоторый набор параметров, характеризующих качество получаемой дифракционной картины.

Угловой дисперсией дифракционной решетки называется угловое расстояние между двумя максимумами, соответствующими двум разным длинам волн. Условие максимумов для света, падающего под углом

d(Sin Sin 0) = m

Получаем второе уравнение дифференцированием

d Cos d = md

Исключая порядок максимума и ширину решетки из этих двух уравнений, получаем

Дисперсионной областью называется область перекрытия спектров соседнего порядка. Положим, что на решетку падает излучение с длинами волн и + . Если соседние максимумы перекрываются, то

выполняется

m( + ) = (m + 1)

Откуда = =m.

Разрешающей способностью дифракционной решетки называется отношение

R =

Наименьшая разность длин волн двух спектральных линий , при которой спектральный прибор разре-

шает эти линии, называется разрешающим расстоянием. , фигурирующая в формуле, является спектральным расстоянием. Его можно определить с помощью критерия Релея: спектры двух волн и 0

считаются разрешенными, если минимум одной волны совпадает по положению с максимумом в том же порядке для второй волны.

24

Оптика

Найдем такое минимальное . Возьмем максимум порядка m для волны + и ближайший минимум для волны . Из критерия Релея

m( + ) = m + N1

Выражаем разрешающее расстояние и получаем

R = mN

Часть VI

Граничные условия. Дисперсия света и вращение плоскости поляризации.

В этой части будут рассмотрены явления, требующие более тщательного рассмотрения или иных моделей описания, нежели перечисленные ранее. Так, ни геометрическая, ни волновая оптика в полной мере не дают объяснения такому явлению как дисперсия света, а также не объясняют, как возможно вращение плоскости поляризации в оптически активных веществах.

24 Формулы Френеля.

Рассмотрим границу раздела двух сред. Из электродинамики известно, что в отсутствии токов и свободных зарядов должны сохраняться тангенциальные составляющие напряженности электрического и магнитного полей. Будем считать, что магнитная проницаемость для обоих сред равна единице.

Пусть на границу падает волна Ei, после чего она разделяется на отраженную Er и прошедшую Ed волны, описываемые функциями

Вектора si;r;d есть единичные вектора направления волны. Падающая и отраженная волны находятся в одном полупространстве, поэтому ni = nr. Как уже было указано, граничные условия требуют, чтобы тангенциальные составляющие векторов были равны на границе раздела двух сред. Тангенциальную составляющую можно выделить, домножив поля векторно на единичный вектор нормали.

[Ein] + [Ern] = [Edn]

Но очевидно, чтобы оно выполнялось в любой момент времени, необходимо, чтобы поля менялись син- хронно, то есть !i = !r = !d. А для того чтобы это выполнялось на всей границе, необходимо

Из граничных условий также следует, что тангенциальные составляющие лежат на одной оси.

Через Oxy обозначим плоскость раздела. Oz направим из первой среды во вторую, а Ox по оси тангенциальных составляющих. Тогда можно ввести следующие обозначения

Cos = (nsi)

Cos = (nsd)

Cos 0 = (nsr)

Условие ( ) в новых обозначениях примет вид

!nc i Sin = !nc i Sin 0 = !nc d Sin

Откуда сразу же следуют закон отражения и закон преломления Снеллиуса.

Далее определим отношение амплитуды отраженной и прошедшей волны к амплитуде исходной. Для этого необходимо разбить вектора напряженности электрического и магнитного поля на составляющую, параллельную плоскости падения, и составляющую, перпендикулярную ей.

25

Оптика

Рассмотрим уравнения порознь. Для составляющих, параллельных плоскости падения (индексы опущены), имеем проекции на ось Ox

Ei Cos + Er Cos = Ed Cos

Им соответствуют перпендикулярные составляющие векторов магнитной напряженности, для которых выполняется равенство тангенциальных составляющих, с учетом того, что в рассматриваемых средах nE = H

niEi niEr = ndEd

Знаки получены с учетом того, что такие пары компонент (H?; Ek) должны вместе с вектором направления s составлять правую тройку векторов для каждой из рассматриваемых волн. Выражаем из этих двух уравнений величины

После тригонометрических преобразований получаем для них формулы

Абсолютно аналогично для перпендикулярных составляющих электрической напряженности и параллельных составляющих магнитной имеем уравнения

Ei + Er = Ed

ni Cos niEr Cos = ndEd Cos

Откуда точно так же выражаются коэффициенты r и t

Получившиеся формулы для r и t называются формулами Френеля. В частности, из этих уравнений следует, что при отражении от оптически менее плотной среды фаза колебания волны меняется на . Угол, соответствующий + = =2, дает, как несложно видеть, коэффициент отражения для параллельной

составляющей, равный нулю, так как тангенс обращается в бесконечность. Полученный в результате отраженный свет оказывается линейно поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Угол, при котором это происходит, называется углом Брюстрера, ему соответствует значение тангенса

Tg = nd

ni

25 Дисперсия света.

Чтобы описать такое явление, как зависимость коэффициента преломления от частоты волны, недостаточно одних граничных условий и уравнений Максвелла. Дисперсия возникает вследствие взаимодействия электромагнитных волн с веществом, и е¼ описание входит в раздел молекулярной оптики, где прибегают к осцилляторной модели.

Будем рассматривать один периферийный электрон (называемый также оптическим ) как линейный осциллятор, который описывается уравнением

m•r = kr gr + eE

Где k коэффициент квазиупругой возвращающей силы, g коэффициент затухания, введенный для учета поглощения света, а E внешнее электрическое поле, действующее на электрон. Вообще говоря,

следовало бы учесть также магнитное поле и микроскопическое поле ~

E, но мы пренебрегаем их вкладом по сравнению с внешним полем за счет малости r по сравнению со скоростью света в силе Лоренца и положения о том, что среда разряжена.

Перепишем уравнение

•r + 2 r + !02r = me E

26

Оптика

В качестве внешнего поля возьмем монохроматическую волну A Exp[i!t ikr]. За счет достаточной малости радиуса атома мы можем пренебречь вкладом kr, считая поле однородным по всему объему атома.

Окончательный вид уравнения

•r + 2 r + !02r = aei!t

Искать решение этого уравнения будем в виде r0ei!t. Подстановка этой функции на место r в уравнении

даст следующее выражение для r0

a

r0 = !02 !2 + 2i !

Пусть p = er дипольный момент этого атома. Дипольный момент возникает за счет отклонения элек-

трона от положения равновесия, благодаря чему нейтральный атом поляризуется. Дипольный момент связан с внешним электрическим полем пропорционально коэффициенту поляризации атома , откуда

e2E

p = = E m(!02 !2 + 2i !)

Теперь из связи вектора электрической индукции можно получить выражение для ". Пусть концентрация частиц в среде , тогда вектор поляризуемости p

D = E + 4 p = E(1 + 4 ) = "E

Окончательно 4 e2

m(!02 !2 + 2i !)

Таким образом, показатель преломления n0 = p" имеет как действительную часть, так и мнимую. Мнимая часть обозначается { и называется коэффициентом поглощения .

"= n2 {2 + in{

Ó" можно отделить мнимую часть от действительной и получить систему уравнений для { и n, из которой определяются приближенные зависимости этих коэффициентов от частоты !.

Теперь мы можем усложнить модель, вводя в не¼ влияние соседних молекул. Для эффективного значения магнитного поля (суммы внешнего и внутреннего) мы возьмем уже готовую формулу без вывода

4

Eef = E + 3 P

Вектор P поляризация вещества er. Исходное уравнение тогда преобразуется в

Аналогично предыдущему случаю, поиск решения в виде P0ei!t дает следующее выражение

Коэффициент преломления легко выражается из полученного соотношения

Называется удельной рефракцией вещества.

27

Оптика

26Вращение плоскости поляризации. Эффект Фарадея и Зеемана.

Опыт Фарадея-Верде показывает, что в постоянном магнитном поле происходит вращение плоскости поляризации линейно поляризованной волны. Эмпирически выведенная зависимость имеет вид

= lH

Где угол поворота плоскости поляризации, l расстояние, пройденное в магнитном поле, H вели- чина магнитного поля, а постоянная Верде. Плоскость поляризации вращается, если волна проходит вдоль направления вектора H. Воспользуемся осцилляторной моделью для описания этого явления. Урав-

Вектор H направим вдоль оси Oz, то есть H = Hk. Распишем векторное произведение

[rk]H = yHi xHj

Исходное уравнение разбивается на три скалярных, в которых компоненты x и y оказываются связанными. Уравнение для третьей компоненты опускаем.

y• + mc x + !0y = mEy

Введем переменную = x + iy, домножим второе уравнение на мнимую единицу и сложим с предыдущим

Разобьем падающую линейно поляризованную волну на две поляризованные по кругу, сумму Ex + iEy можно представить как E = Aei!t èëè êàê E . Решение будем искать в виде = r0e i!t, чтобы оно удовлетворяло двум уравнениям для E и E .

Как и в предыдущем параграфе, можно выразить коэффициент преломления

Вращение плоскости поляризации можно объяснить как двойное лучепреломление, при котором существуют два луча с разными коэффициентами преломления, один из которых обладает правой поляризацией по кругу, а второй левой. Наложение двух этих волн порождает вращение линейно поляризованного света. Запишем разницу квадратов

Вторым членом в знаменателе можно пренебречь по отношению к квадрату разности частот. Сумму коэффициентов приближенно можно считать 2n, где n коэффициент преломления вещества.

n n+ = 4 jej3H!

n(!02 !2)2

28

Оптика

Угол поворота найдем как разницу фаз

Таким образом, мы определили выражение для постоянной Верде, которое хорошо сходится с экспериментальными данными.

Рассмотрим также такое явление, как эффект Зеемана расщепление спектральных линий в магнитном поле. Описание будем проводить опять же с помощью осциляторной модели. Уравнение движения

оптического электрона

m•r + kr = jecj[rH]

Направим вектор магнитной напряженности по оси Oz и разобьем уравнение на три скалярных

x• + 2 y + !02x = 0 y• 2 x + !02y = 0 z• + !02z = 0

Ãäå = jejH=2mc Ларморова частота. Решение будем искать для (x; y) в виде aei!t è bei!t. Определи- тель системы для неизвестных a и b

Должен равняться нулю, чтобы существовали решения, отличные от тривиальных. Имеем два положительных корня для !

q

! = + 2 + !02

Квадратом ларморовской частоты можно пренебречь даже в очень сильных полях. Мы получили в ка- честве решения две волны, которые различаются на ларморовскую частоту от собственной частоты !0 электрона, то есть спектр излучения расщепляется на две волны, если они двигаются вдоль магнитного поля. Третье уравнение, как легко видеть, удовлетворяет решению для излучения с собственной частотой электрона !0, которое распространяется поперек магнитного поля. Тройка величин

!0 ; !0; !0 +

Называется зеемановским триплетом .

29