Optics print-ver

Оптика

За T обозначена кинетическая энергия системы точечных зарядов. Если координаты не зависят от времени (система отсчета фиксирована), то взятие частной производной по t в первом слагаемом (8.1) формально можно заменить на дифференцирование. Интеграл ! по объему представляет собой потенциальную энергию поля W , поэтому

dI

dt(W + T ) = S dn

@V

Вектор Пойнтинга плоской монохроматической волны сонаправлен с волновым вектором.

S = 4c [EH] = 4c [E[nE]] = 4c E2n = c!n

9Энергетические характеристики световых пучков.

Удобно характеризовать энергию электромагнитной волны либо объемной плотностью энергии, либо вектором Умова-Пойнтинга. Однако для определения мгновенного значения любой из этих величин требуются значения векторов E и H, прямое измерение которых невозможно.

Интенсивностью I будет называться среднее значение вектора Умова-Пойнтинга по времени hSi. Для монохроматической плоской волны в вакууме интенсивность будет рассчитываться следующим образом.

Ex = A Cos(kz !t)

Hy = A Cos(kz !t)

В общем случае волны не всегда являются монохроматическими, поэтому значение интенсивности будет меняться в пространстве и во времени.

Мощностью волны P называется интеграл интенсивности по всему объему пространства.

Z

P = I dV

R3

Эффективными величинами называются величины, соотнесенные к единице площади площадки, на которую падает световой пучок. Так эффективная интенсивность определяется следующим образом

dP Ieff = dS

10 Энергетические характеристики источников.

Реальные источники не являются точечными и тем более не испускают монохроматические волны, поэтому характеризовать их удобнее величинами, опирающимися не на интенсивность испускаемых световых пучков, а на поток всю энергию источника, испускаемую в единицу времени.

dW

= dt

Силой света называется поток энергии, испускаемый источником в направлении телесного угла d

d

I = d

В СИ единицей силы света является кандела. Одна кандела это сила света, испускаемого в заданном направлении источником монохроматического излучения частотой 540 1012 Гц, энергетическая сила света

которого составляет 1=683 часть Вт. Единицей потока в СИ является люмен, равный произведению 1 Кд на 1 стерадиан.

Светимостью источника называется полный поток, излучаемый малой площадкой источника.

d

M = dS

10

Оптика

Яркостью света в точке наблюдения называется поток, излучаемый единицей видимой поверхности источника, соотнесенный к телесному углу, в направлении которого ведется излучение

!

L =

d d 1

d dS Cos

Источники, для которых яркость не зависит от направления, называются Ламбертовскими. Условие независимости называется законом Ламберта

!

d d 1

d dS Cos

= const

Так как яркость L постоянна, из этого соотношения можно получить выражение для светимости источ-

Где область G полусфера. Так как единица площади в сферических координатах имеет вид dS = = r2 Sin d d , где зенитный угол, что следует из определения L, то интеграл переписывается в виде

=2

Z

M = 2 L Sin d(Sin ) = L

0

Таким образом, светимость и яркость Ламбертовского источника прямопропорциональны.

Часть IV

Понятие о когерентности. Интерференция колебаний.

В геометрической оптике работает закон независимости световых пучков. Так, интенсивность на какомлибо участке поверхности, освещаемом двумя источниками, определяется суммой интенсивностей источ- ников. Этот факт подтверждается опытом. Однако он совсем не объясняет такое явление, как интерференция явление наложения двух световых пучков.

11 Интерференция параллельных пучков.

Пусть заданы два источника, напряженности которых для данной точки наблюдения описываются уравнениями

E1 = a1 Cos(!t + 1)

E2 = a2 Cos(!t + 2)

Положим что вектора напряженности полностью лежат на одной оси. Это позволяет работать с проекциями векторов. Суммарное колебание в комплексной форме

E1 + E2 = (A1 + A2)ei!t ãäå Aj = ajei j

Пусть E1 + E2 = aei!tei , тогда мнимую и действительную части суммы можно расписать отдельно

a Cos = a1 Cos 1 + a2 Cos 2

a Sin = a1 Sin 1 + a2 Sin 2

Оба уравнения возводятся в квадрат и складываются

a2 = a21 + a22 + 2a1a2(Cos 1 Cos 2 + Sin 1 Sin 2) = a21 + a22 + 2a1a2 Cos( 2 1)

11

Оптика

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды колебания

p

I = I1 + I2 + 2 I1I2 Cos( 2 1)

Из этого выражения следует, что равенство I = I1 + I2 выполняется только при определенных условиях. Интенсивность от двух источников определяется разностью фаз колебаний в точке наблюдения. Максимально и минимально возможные интенсивности соответственно

p

Слагаемое 2 I1I2 Cos( 2 1) называется интерференционным членом , а явление отклонения значения результирующей интенсивности света от значения суммы интенсивностей интерференцией света . Интерференция наблюдается не всегда, так, две обычные комнатные лампы не интерферируют, так как излучают волны разных частот. Источники одной частоты также не всегда интерферируют, для наблюдения устойчивой картины распределения минимумов и максимумов интерференции необходимо, чтобы разница фаз 2 1 была постоянной. Источники, для которых выполняется данное условие, называются

когерентными.

12 Интерференция плоских волн.

Пусть даны две плоские волны

E1 = Cos(!t K1r + 1)

E2 = Cos(!t K2r + 2)

Если принять, что jK1j = jK2j = 2 = , разность фаз представится как Kr + ( 2 1), ãäå K = K1 K2. Пусть координатная ось Ox сонаправлена с вектором K, тогда Kr = jKj x. Условие когерентности в этом

случае эквивалентно x = const, а следовательно в плоскостях, перпендикулярных Ox, будут наблюдаться минимумы и максимумы интенсивности.

Расстояние между двумя последовательными минимумами и максимумами соответствует различию меж-

2 Sin 2

Приближение верно при малых углах , так как Sin . x называется шириной интерференционной полосы.

Интерференция будет наблюдаться также и в плоскостях, расположенных под углом к Ox, в этом случае длина интерференционной полосы x = x= Cos .

13 Интерференция реальных источников.

Реальные источники не излучают монохроматические волны. Более того, контрастность интерференционной картины зависит от реальных размеров источников света. Контрастность уменьшается с увеличением размеров по причине наложения интерференционных картин от разных частей источника. Интерференция пропадает, если сдвиг интерференционных картин становится больше, чем четверть ширины интерференционной полосы (условие хорошей контрастности).

Немонохроматичность также влияет на контрастность интерференционных картин. Если максимумы интенсивности для одной длины волны из спектра накладываются на минимумы другой, то интерференция также не будет наблюдаться. Так как ширина картины зависит от длины волны, перекрываться интерференционные картины будут не сразу. Исчезновение произойдет на максимуме порядка N

N =

12

Оптика

То есть, когда разность хода лучей > N или

> 2

Величина, стоящая в правой части неравенства называется, длиной когерентности.

14 Интерференция в тонких пленках.

Рассмотрим тонкую пленку из материала с коэффициентом преломления n. Пусть под углом на пленку падает луч и отражается от пленки. Выразим разность хода через , n и толщину пленки h.

Луч, падающий на границу пленки в точке A, частично отражается и частично проходит внутрь пленки, где отражается от внутренней границы в некоторой точке B и снова достигает поверхности в точке C, где

опять преломляется и становится параллельным изначально отраженному лучу. На бесконечности можно пронаблюдать интерференционную картинку (например, собрать лучи линзой).

Если из точки C провести перпендикуляр CD к направлению изначально отраженного луча, то разность хода выражается через отрезки следующим образом

= (AB + CD)n AD + 2 = 2ABn AD + 2

Дополнительное слагаемое в разности хода обусловлено тем, что при отражении от оптически менее плотной среды волна испытывает скачок по фазе, равный .

Что можно переписать как

= 2hpn2 Sin2 + 2

Разность хода будет оставаться постоянной только для лучей с одинаковым углом падения, поэтому получающуюся интерференционную картину называют полосами одинакового наклона.

Примером интерференции в тонких пленках может служить опыт получения колец Ньютона. Линзу с большим радиусом кривизны R прислоняют к пластинке и направляют на не¼ параллельный пучок лучей.

В отраженном и проходящем свете наблюдаются концентрические кольца, получающиеся чередованием минимумов и максимумов интерференции.

Расстояние между поверхностью линзы и пластинкой зависит от расстояния r от центра линзы до рассматриваемой точки

p

h(r) = R R2 r2

Для линз с очень большим радиусом кривизны и для малых r можно взять лишь первое ненулевое слагаемое в разложении в ряд Тейлора вблизи точки 0

h(r) r2

2R

Условие минимума интерференции при разности хода 2h(r)

Отсюда радиус темного кольца, соответствующий минимуму порядка m

p

rm = m R

13

Оптика

15 Многолучевая интерференция.

Пусть свет с интенсивностью I0 падает на пленку, коэффициент отражения которой . Отраженный от внутренней границы пленки свет может отразиться неограниченное число раз. Проведем расчет интенсивности проходящего и отраженного света.

Рассмотрим луч, проходящий через пленку. Такой луч проходит границу дважды, поэтому интенсивность всегда будет отличаться от исходной на множитель (1 )2. Интенсивность проходящего луча будет со-

ответственно отличаться на множитель R2n за счет четного числа отражений от границы пленки. Таким

образом

In0 = I0(1 )2 2n

И для отраженного луча аналогично (нечетное число отражений)

In = I0(1 )2 2n+1

Так как интенсивности пропорциональны квадратам амплитуд, амплитуда для одного луча в проходящем

свете

a0n = a0(1 ) n

Два соседних луча выходят из пленки с постоянной разностью фаз , которая зависит от толщины пленки. Просуммируем прогрессию комплексных амплитуд для проходящего света

Видно, что максимум интенсивности проходящего света наблюдается при Sin( =2) = 0.

Часть V

Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.

Под дифракцией света понимается всякое отклонение от прямолинейного распространения света, если оно не может быть истолковано как результат отражения, преломления или изгибания световых лучей в средах с изменяющимся показателем преломления.

Принцип Гюйгенса гласит:

1)свет распространяется как волна;

2)каждая точка волнового фронта представляет собой источник вторичных волн, а огибающая вторичных волн дает новое положение волнового фронта.

Дополнение Френеля:

3) вторичные источники интерферируют, новый волновой фронт получается в результате интерференции.

В данном параграфе будут рассмотрены основные положения теории дифракции, а так же решены некоторые важные дифракционные задачи.

14

Оптика

16 Математическая формулировка принципа Гюйгенса-Френеля.

Чтобы формализовать полученные принципы, рассмотрим некоторый набор точечных источников света fS1; : : : ; Sng. Окружим их некоторой выпуклой поверхностью S. Согласно гипотезе Френеля каждый

элемент поверхности S является источником волн, которые создают в точке наблюдения световое поле E.

Здесь расстояние от элемента поверхности ds до точки наблюдения P , a амплитуда колебаний источника ds, которая зависит не только от расположения элемента в пространстве, но и от угла между и ds.

17 Распространение волны точечного источника.

Рассмотрим точечный источник O, напряженность которого описывается уравнением

E0 = 1 ei(!t kr0)

r0

В качестве выпуклой поверхности S возьмем волновой фронт сферу радиуса r0. Амплитуда источника- элемента поверхности S является значением E0 в соответствующей точке волнового фронта, домноженным на некоторый коэффициент K( ), зависящий от угла между векторами и ds.

Разобьем поверхность на кольцевые зоны. Расстояние от точки наблюдения до ближайшей точки поверхности r.

d = Sin d d или после однократного интегрирования по углу d : d = 2 Sin d

ds = 2 r02 Sin d

d телесный угол, под которым наблюдается кольцо.

Вычислить точно интеграл в чистом виде не представляется возможным, так как неизвестен вид функции K( ). Воспользуемся гипотезой Френеля, которая говорит о том, что в пределах зон, получаемых

сечениями фронта сферами r + m=2, функцию K( ) приближенно можно считать постоянной. Интеграл по зоне (Френелевой зоне) с номером n

15

Оптика

Поле от зоны с номером n будем обозначать за En.

En = 4 ( 1)n+1 Knei(!t k(r0+r))

ik(r0 + r)

Поле, создаваемое первыми N зонами Френеля E = E1 + : : : + EN . Если N невелико и вклад соседних зон примерно одинаков, то E = E2 : : : EN+1. Следовательно, поле приближенно равно полусумме первой и последней зоны

1

E = 2(E1 + EN )

Однако это выражение по-прежнему не дает способа найти амплитуду колебания в точке наблюдения. Второе предположение Френеля заключается в том, что функция K( ) в точке равна нулю. Тогда вклад

последней зоны можно принять равным нулю, и, следовательно

В то же время значение E можно выразить непосредственно из уравнения сферической волны для точеч-

18 Дифракция Френеля на отверстии. Зонная пластинка.

Рассмотрим следующую дифракционную задачу. Между источником света S и точкой наблюдения P расположен непрозрачный экран с круглым отверстием. Прямая SP , соединяющая источник с точкой наблюдения, перпендикулярна плоскости экрана и проходит через центр отверстия O. Диаметр отверстия D, расстояние от источника до экрана a, от экрана до точки наблюдения b. Интенсивность источника S равна I0.

Увеличивая D, будем получать в точке наблюдения минимумы и максимумы в зависимости от того, сколько зон Френеля лежит в отверстии. Возьмем точку A на краю отверстия и рассмотрим прямоугольные треугольники 4AOS и 4AP O. Отложим на SP отрезки SE = SA и P F = P A, тогда

14D2 + a2 = (a + OE)2 a2 + 2bOE

14D2 + b2 = (b + OF )2 b2 + 2bOF

F E = F O + OE = D2 + D2 = D2 a + b 8a 8b 8 ab

Пренебрежения приняты с учетом малости диаметра отверстия относительно расстояний a и b. Так как F E это разница между радиусом максимально возможной сферы сечения на зоны Френеля и минимально возможной, то, очевидно, число зон Френеля

Рассмотрим также ситуацию обратную: на пути источника к точке наблюдения находится непрозрачный диск. Если он закрывает только первую зону Френеля для точки наблюдения, то

E E1 XEi = E21

16

Оптика

Таким образом, интенсивность в точке наблюдения почти не меняется. Полученное светлое пятно называется пятном Пуассона.

Если мы закроем все только нечетные или только четные зоны Френеля, то получим в несколько раз большую интенсивность в точке наблюдения. На этом принципе построены зонные пластинки.

Выражение ( ) можно переписать следующим образом

что формально совпадает с уравнением линзы. Rm2 =m называется также фокусом зонной пластинки.

19 Теория дифракции Кирхгофа.

Рассмотрим однородную среду, в которой распространяется световое поле, описываемое волновым урав-

нением

1 @2EE v2 @2t = 0

Будем считать волну монохроматической, тогда

E(r; t) = (r)ei!t

(r) + k2 (r) = 0

Введем мнимую сферическую волну (r) = (1=r)e ikr, исходящую из точки наблюдения P . Окружим нашу точку наблюдения малой сферой f радиуса R. А получившуюся сферу, в свою очередь, произвольной замкнутой поверхностью F . Далее рассмотрим вектор

a = (r ) (r )

По теореме Остроградского-Гаусса для него получаем

ZZ

(a ds) = (ra)dv

@F F

ZZ

В то же время

ra = r2 r2 = 0

Таким образом, приходим к равенству

ZZ

(a ds) = (a ds) = 0

@F @f

Сменим ориентацию поверхности @F таким образом, чтобы нормаль была направлена внутрь области. Это поменяет знак интеграла

Z Z

(r ds) (r ds) = (r ds) (r ds)

@F @f

Представим ds как nds, где n вектор нормали, совпадающий по направлению с вектором R. Тогда

!

@f (rf ds) = (rf n)ds = @R ds

17

Оптика

Для второго интеграла получаем выражение

Существенное отличие данного интеграла от интеграла Френеля состоит в том, что точка наблюдения в рассматриваемом случае находится внутри области F . Далее выведем формулу, которая по структуре

будет более похожа на интеграл Френеля.

Пусть r радиус сферы f с центром в точке наблюдения, которая охватывает источники. Источники окружим поверхностью F . В соответствии с предыдущим соотношением напряженность светового поля в точке наблюдения выражается

Рассмотрим некоторую точку A поверхности @f и определим напряженность поля в этой точке. Она будет создаваться, очевидно, источниками внутри F

Далее обозначим aj = rj r и разложим последнюю полученную сумму по малому параметру 1=r.

jj

Ñучетом этого соотношения перепишем интеграл по @f

Теперь покажем, что интеграл стремится к нулю при r ! 1

18

Оптика

Так напряженность в точке наблюдения определяется только интегралом по поверхности F .

Частная производная по направлению нормали выражается через угол между векторами r и n

Функцию в скобках, деленную на 4 , обозначим за K( ; r). В таком случае мы получим интеграл Френеля

Z e ikr

(P ) = K( ; r) r dF

@F

20 Дифракция на прямоугольной щели.

Пусть на прямоугольную щель падает плоская волна. Рассмотрим цилиндрические поверхности разного радиуса с осью, проходящей через точку наблюдения P . Зонами Шустера называются зоны, получающие-

ся сечением цилиндрическими поверхностями. Найдем размеры зон Шустера для бесконечно протяженной прямоугольной щели. За xn обозначим расстояние от центра щели O до границы зоны с номером n, радиус цилиндрического сечения обозначим за rn, расстояние PO за b.

rn2 = b2 + x2n

rn2 rn2 1 = x2n x2n 1

(rn rn 1)(rn + rn 1) b x2n x2n 1 = b

p

Òàê êàê x0 = 0, мы приходим к соотношению xn = nb .

Найдем уравнение для кривой векторной диаграммы. Интеграл Френеля для щели

ZZ

E = e ikrdS = e ik(r b)eikbdS

SS

Введем декартову систему координат на щели, в таком случае

R

19