Belokonov

-притягивающее тело имеет сферическую форму и сферическое распределение плотности (рис.12);

-масса ЛА ничтожно мала по сравнению с массой Земли (ЛА не оказывает влияния на движение Земли);

-пренебрегается действием возмущающих сил: гравитационными возмущениями, сопротивлением воздуха, силами светового давления, электромагнитными силами.

-применяется сферическая система координат

.

Рис.12. Модель сферической Земли

2.1. Уравнение движения космического аппарата в поле центральной силы

Запишем уравнение движения тела в центральном поле притяжения

где γ – универсальная постоянная тяготения, μ – гравитационный параметр Земли,

gГ r , - вектор ускорения притяжения. r3

Дифференциальное уравнение движения ЛА в векторной форме

dV M r 0 dt r3

где M 3,98602 105 км3/с2

Дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси координат инерциальной системы координат:

Постоянная интеграла энергии h находится из начальных условий:

t = 0, r = r0, V = V0 => h V02 2 r0

В зависимости от знака постоянной интеграла энергии орбита может быть замкнутой и незамкнутой.

Интеграл площадей

Умножим векторно слева векторное дифференциальное уравнение движения на радиус-вектор r :

d r V 0 dt

Проинтегрировав полученное выражение находим в векторной форме интеграл

площадей

r V C

Интеграл площадей выражает закон сохранения момента количества движения в центральном поле притяжения.

Найдем величину векторной константы С интеграла площадей. В скалярной форме интеграл площадей имеет вид (рис.

r V sin r V cos C ,

где θ-угол наклона вектора скорости к местному горизонту. r V cos C - скалярная форма интеграла площадей.

Модуль константы интеграла площадей находится через начальные условия: t = t0, r = r0, V = V0, θ = θ0

C r0 V0 cos 0

Рис.13 Графическая интерпретация интеграла площадей

Запишем интеграл площадей в координатной форме:

в центральном поле притяжения площадь, ометаемая радиусом-вектором движущейся точки за единицу времени, остается постоянной.

Из интеграла площадей также следует, что в центральном поле притяжения

движение ЛА происходит в одной и той же плоскости (два вектора r и V образуют

неизменную плоскость движения).

Интеграл Лапласа

Вектор f перпендикулярен вектору C, отсюда следует, что существует связь между константами найденных интегралов

f C 0 f1C1 f2C2 f3C3

Уравнение связи между величиной константы Лапласа и величиной константы интеграла площадей и энергии

f 2 2 C2h

Так как между константами интегралов существует два соотношения, то из семи полученных скалярных интегралов независимыми являются только пять.

2.3 Уравнения орбиты и скорость в полярных координатах

Умножим векторно слева интеграл Лапласа на радиус-вектор

f r V C r r r V C r r r2 c2 r f r f rcos

c2 r f rcos .

Тогда получаем уравнение орбиты в полярных координатах

где использованы следующие обозначения:

p c2 - фокальный параметр (характеризует геометрический размер орбиты);

e f - эксцентриситет (характеризует форму орбиты).

Этот результат отражает первый закон Кеплера: движение тела в центральном гравитационном поле совершается по коническому сечению, один из фокусов которого находится в притягивающем центре , а главная фокальная ось совпадает с направлением вектора Лапласа.

Рис.16. Движение космического аппарата по эллиптической орбите

Уравнение эллиптической орбиты

x2 y2 1 -. a2 b2

p

0 < e <1, r

1 ecos

Основные соотношения, используемые при расчете геометрических параметров эллиптической орбиты:

а) e, p – заданы, тогда

e c - эксцентриситет эллиптической орбиты a

б) r ,r - заданы, тогда r R H , r R H

p r 1 e

r

Интеграл энергии для эллиптической орбиты.

V2 2 h r

f 2 2 C2h, C2 p

2

e2 1 C h

2

e2 1 a1 e2 h

2

Выразим константу интеграла энергии через величину большой полуоси:

h a

Время движения по эллиптической орбите Определим связь времени движения с положением тела на эллиптической орбите. t f ?

Тогда в результате интегрирования находим

t 1 r2d c 0

τ – время прохождения через перицентр.

Введем в рассмотрение угол эксцентрической аномалии Е (рис.17).

Рис.17 Угол эксцентрической аномалии

Соответствие между углами:

ν → Е; Е = 0 при ν = 0; Е < 90º при ν = 90º; Е = 180º при ν = 180º.

Выразим координаты тела в системе отсчета, связанной с центром эллипса

X acosE ,

Тогда в результате преобразований

xX c a cosE a

yY a1 e2 sinE

r2 x2 y2 a2 cosE e 2 1 b2 sin2 E

Находим выражение для уравнения орбиты через угол эксцентрической аномалии r a 1 ecosE

Выражая угол истинной аномалии через угол эксцентрической аномалии,

ra 1 ecosE

врезультате преобразований

d sin cos d 1 e2 1 cosE cosE esin E dE

1 ecosE 2

t 1 r2d c 0

r2 a2 1 ecosE 2