- •Произведением
- •16. Неупорядоченные выборки с повторениями и без повторений. Разбиение на подмножества.
- •19.Определение условной вероятности. Теоремы умножения зависимых и независимых событий.
- •38 Дискретный случайный вектор
- •Условие независимости для дискретной случайной вел-ны:
- •Условие независимости для непрерывной случайной велечины:
- •Сходимость последовательностей случайных величин
- •49. Закон больших чисел
- •55) Довер-ый интер-л для дисп-ии при неизв-ом мат-ом ожид-ии норм-о распред-ой ген-ой совоку-ти.()
- •Квантили распред-я
- •17.Геометрическое: Классическое определение вероятностей нельзя применять в случае бесконечного числа исходов. К описанию такой ситуации приспособлено геометрическое определение вер-ти.
- •Интеграл Эйлера:
- •Свойства:
- •46 Рассмотрим двумерный случайный вектор (X,y), законы распределения координат которого известны
46 Рассмотрим двумерный случайный вектор (X,y), законы распределения координат которого известны
Пусть z=g(X,Y) - некоторая функция двух переменных, тогдаZ=g(X,Y) – случайная величина. В общем случае закон распределения случайной величины Z найти сложно.
Ограничимся ситуацией, когда g(x,y)=x+y и случайный вектор является непрерывным.
Пусть - совместная плотность вероятностей случайных векторов (X,Y), Z=X+Y.
Требуется найти плотность вероятностей величины Z, сначала найдем функцию распределения:
D={x,y|x+y<z}
Тогда
Аналогично
Если случайный величины X,Y независимы, то - свертка маргинальных плотностей вероятностей случайных величин X и Y.
В теории вероятностей свертку называют композицией законов распределения.
47В одномерном случае нормальное распределение задается плотностью вероятностей
Пусть (X,Y) – случайный вектор с невырожденной корреляционной матрицей
Тогда обратная матрица к матрице R имеет вид:
Опр. Говорят, что случайный вектор (X,Y) имеет двумерное нормальное (Гауссовское) распределение, если его совместное плотность вероятностей имеет вид:
Свойства нормального вектора (X,Y):
-
Максимальное значение плотности вероятности f(x,y) достигается в точке
-
Маргинальные плотности нормального случайного вектора являются нормальными
-
Условие плотности вероятностей нормального случайного вектора являются нормальными
-
Если случайные величины X и Y нормального случайного вектора (X,Y) не коррелированны (r=0), то они независимы
-
Линейная комбинация нормально распределенных случайных величин является нормально распределенной случайной величиной.
44.Т.1(матожид ф-ии сл вектора):пусть (Х,У) сл вектор, Z=-неслуч ф-я: 1)если (Х,У)-дискрет сл вектор,то (в предполож что ряд сх-ся абс-но);2)если (Х,У)-непрер сл вектор,то:предполож,что интег-л сх-ся абс-но.
Т.2:мат ожид суммы 2 любых сл величин=сумме их мат ожид-й:
Док-во:для непрер сл-я:
Т.3:Матожид произвед-я 2-х независ сл вел-н=произвед их матожид
Док-во:для непрер случая:
M[XY]=M[X]M[Y]=
Опред:Случ вел-ны для кот кореляц-й момент=0,наз-ся некоррелированным.Следствие из Т.3:независ сл вел-ны всегда яв-ся некоррелированными:
Обратное неверно,т.е из некоррелированности не след-ет независ-ть.Некорелир-ть означает отсутствие линейной связи м/у Х и У.Другой вид завис-ти может.Можно лишь утверждать,что из коррелирован-ти = завис-ть случ вел-н,т.е завис-мы
Понятие некоррелированности означает слабую зависимость между х и у и играет важную роль в теории вероятностей.
Т.4(сложение дисперсий)Если Х,У-любые случ вел-ны, α, ßєR, то Если Х,У- некоррелированные, то
Док-тво: чтд
Т.5(Свойства коэффициента корреляции)
Док-тво: ; Положим, что , , тогда ;
Полагая , , то , то есть чтд
Т.6: верно тогда и только тогда, когда случ вел-ны X,Y связаны линейной завис-тью, то есть числа А и В, для кот вып-ся
Док-во: пусть ⇒
Полагая, что , , получим при указанных α и ß
Отсюда получим
Случай рассматривается аналогично чтд
Следствие. Так как для независимых случайных величин и для линейно (сильно) зависимых случайных величин, то коэффициент корреляции можно рассматривать как степень зависимости случайных величин. Геометрический смысл: чем больше , тем ближе расположены значения случайных величин X, Y к некоторой прямой.