3.4. Система ограничений

Рассмотрим, какие ограничения могут существовать в задаче оптимизации транспортной сети.

Во-первых, это сетевые ограничения. Они состоят из условий непрерывности потоков в сети, условий неотрицательности потоков в сети, условий аддитивности.

Применимость этих ограничений зависит от постановки оптимизационной задачи.

Все виды ограничений мы будем обозначать векторным соотношением вида

.

Ниже приведем некоторые случаи ограничений, которые могут встречаться на практике:

1. не допускается, чтобы общие капитальные вложения превышали определенный уровень; этот уровень может быть фиксирован по региону R или по моменту времени t:

или

(Здесь множество определяет множество дуг сети в заданном регионеR; – величина затрачиваемых капитальных вложений в реконструкцию дугиij с уровнем технической оснащенности ;,,– предельные значения капитальных вложений соответственно в исходном состоянии, в регион, за заданный промежуток времени.);

2. требуется определенный уровень эффективности транспортной системы; это означает, что не допускается, чтобы расходы пользователей превышали определенную величину . Сюда могут быть включены общие расходы пользователей или расходы пользователей по каждой транспортной связи, или просто уровень обслуживания по каждой дороге

;

3. из соображений безопасности или по другим причинам может быть задана минимальная величина расходов пользователей

4. уровни технической оснащенности различных дорог (или маршрутов) на сетях могут быть ограничены определенными величинами

для всех или для некоторых дуг .

5. может быть предъявлено требование относительно уровня занятости во всем изучаемом регионе или в отдельных районах (капитальные вложения должны быть не менее заданной величины):

;

или

;

6. только одна из двух возможных взаимоисключающих дорог может быть построена

7. может оказаться необходимым придерживаться определенной последовательности при строительстве дорог:

или

4. Методы решения задачи оптимизации транспортных сетей

4.1. Постановка задачи оптимизации транспортных сетей

Будем рассматривать статический случай в сети и один вид транспорта, игнорируя тот факт, что движение транспорта непостоянно от часа к часу в течение дня и по дням внутри года.

В качестве целевой функции будем использовать общественную прибыль S, равную разности между общественными доходами U и общественными издержками F, т.е. S=U-F.

Для простоты будем полагать, что общественные издержки состоят из расходов I, связанных с транспортной сетью, и издержек пользователей T (расходы I мы будем называть капитальными вложениями, т.е. F=I+T).

Общая матрица поездок, то есть компоненты вектора потоков транспортной сети, остается заданной.

В качестве ограничений используются обычные сетевые ограничения, т.е. условия непрерывности потоков на сети, условия неотрицательности и аддитивности потоков на сети.

Таким образом, в дальнейшем будем формулировать следующие постановки оптимизационных задач:

1. максимизация прибыли, дескриптивный случай

2. максимизация прибыли, нормативный случай

3. минимизация расходов, дескриптивный случай

4. минимизация расходов, нормативный случай

Здесь S – суммарная прибыль;

F – суммарные издержки;

–вектор транспортных потоков с компонентами или;

–вектор уровней технической оснащенности дорог или трасс (пропускная способность, число полос, ширина проезжей части дорог) дуг сети ;

А – матрица, с помощью которой записываются сетевые ограничения;

–множество функций для описания поведения едущих (выбор маршрута в случае минимизации расходов);

–множество вектор-функций для описания остальных ограничений.

Суммарные общественные издержки в предыдущих формулировках записываются следующим образом:

.

Далее перейдем к рассмотрению методов решения задач, сформулированных ниже.