3.2.2. Целевая функция потребления (уровень полезности)

Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через (Utility – полезность). Предположим, что имеется n видов благ . В качестве благ могут выступать:

• продовольственные товары;

• товары первой необходимости;

• товары второй необходимости;

• предметы роскоши;

• платные услуги и т.д.

Потребитель в процессе своего существования потребляет некоторые из перечисленных благ. Пусть количество потребляемого блага -го вида равно , .

Целевой функцией потребления называется зависимость между степенью (уровнем) удовлетворения потребностей и количеством потребляемых благ:. Эта функция имеет вид:

.

В пространстве потребительских благ каждой постоянной величине соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называетсяповерхностью безразличия:

.

Предельной полезностью -го блага называется частная производнаяот функции потребленияпо-му аргументу. Это определение является обобщением понятия предельной полезности из п. 3.2.1 в случае дискретной функции полезности. Предельная полезность является убывающей функцией, что соответствует гипотезе 2.

Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания и непродовольственные товары, включая платные услуги . Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям константы. Для этого можно выразить количество потребления одного блага через другое . Рассмотрим пример.

Пример 3.2. Целевая функция потребления имеет вид

.

Найти кривые безразличия.

Решение. Кривые безразличия имеют вид , или. Откуда. При этом следует отметить, что должны выполняться неравенства,. Кривые безразличия показаны на рис. 3.1.

Рис. 3.1.Кривые безразличия для примера 3.2

3.2.3. Математическая модель спроса

Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть . Однако, максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через (price - цена), а доход потребителя через . Тогда должно выполнятьсябюджетное ограничение, имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:

.

В результате, для нахождения оптимального набора благ необходимо решить задачу оптимального программирования:

(3.2)

при ограничениях

. (3.3) Рассмотрим двухфакторную функцию потребления , где – объем потребления продуктов питания и – потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых, и неравенство превратится в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:

при ограничениях

. Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.

Рис. 3.2.Геометрический смысл оптимального решения

Таким образом, количество спрашиваемого индивидом блага зависит от цен благ и бюджета индивида :

, .

Когда все факторы, определяющие объем спроса на благо, кроме его цены, постоянны, функция спроса принимает частный вид функции спроса по цене: . Объем спроса на благо при постоянных ценах в зависимости от дохода принимает частный видфункции спроса по доходу: .

Чтобы узнать, какая структура покупок обеспечивает потребителю максимум полезности, нужно решить задачу оптимизации (3.2) – (3.3). С этой целью составим функцию Лагранжа

,

вычислим частные производные по всем ее аргументам и приравняем их нулю:

, (3.4)

а также

. (3.5)

Из уравнений системы (3.3) следует, что

. (3.6)

Уравнение (3.5) представляет собой уравнение границы бюджетного множества, определяемого системой неравенств (3.3).

Так как в числители каждой дроби стоит предельная полезность соответствующего блага, то равенство (3.6) представляет собой второй закон Госсена: максимальная полезность достигается в том случае, когда предельные полезности благ пропорциональны их ценам.