Месячные переходы покупателей, в %

Из супермаркета	В супермаркет
	80	14	6
	10	70	20
	2	8	90

Т а б л и ц а 5.2

Начальное распределение покупателей по супермаркетам

: 35%

: 40%

: 25%

Количество супермаркетов m=3. Из табл. 5.1 следует, что за предыдущий год в среднем за месяц:

• супермаркет сохранил 80% своих покупателей и получил 10% покупателей супермаркета и 2% покупателей супермаркета ;

• супермаркет сохранил 70% своих покупателей и получил 14% покупателей супермаркета и 8% покупателей супермаркета ;

• супермаркет сохранил 90% своих покупателей и получил 6% покупателей супермаркета и 20% покупателейсупермаркета .

Из табл. 5.2 следует, что на 1 января супермаркет посещало 35%, супермаркет – 40%, а супермаркет – 25% всех покупателей.

5.3.1. Граф переходов

Процесс переходов покупателей из супермаркета в супермаркет будем рассматривать как цепь Маркова (рис. 5.1).

Рис. 5.1.Граф переходов покупателей

Состояниями цепи являются номера супермаркетов ,и. Предположение о возможности перехода покупателей из одного супермаркета в другой означает, что эти состояния связаны между собой дугами. Дугам приписаны вероятности перехода, вычисленные из условия задачи.

5.3.2. Матрица переходных вероятностей

Непосредственно по графу формируется матрица вероятностей переходов покупателей

.

На главной диагонали матрицы расположены вероятности того, что в течение месяца покупатель останется в своем супермаркете. Строки матрицы соответствуют супермаркетам, из которых происходит ежемесячный переход покупателей в другие супермаркеты, а столбцы соответствуют супермаркетам, в которые имеются ежемесячные переходы из других супермаркетов.

5.3.3. Математическая модель для прогнозирования посещаемости супермаркетов

Пусть – вероятность посещения супермаркетана-ом шаге,,Тогда вектор характеризует распределение покупателей по супермаркетам на -ом шаге.

При вектор есть распределение покупателей на 1 января, и тогда по условию.

Математической моделью прогнозирования посещаемости супермаркетов служит соотношение (5.1), согласно которому вектор рассчитывается через вектор, полученный на предыдущем-ом шаге. Поэтому вектор, характеризующий распределение покупателей на 1 февраля, может быть рассчитан по формуле

,

или в скалярном виде

.

Перемножая строку на матрицу по правилу «строка на столбец», получим

,

откуда

.

Аналогично, вектор , характеризующий распределение покупателей на 1 марта, рассчитывается по формуле

,

или в скалярном виде

.

Перемножая строку на матрицу, получим

,

откуда

.

Этот процесс продолжается и далее, пока не будет получен прогноз посещаемости супермаркетов вплоть до 1 декабря.

5.3.4. Стационарное распределение покупателей

Пусть – распределение вероятностей количества покупателей в супермаркетах при их длительной работе (стационарное распределение). Для оценки состояния рынка в установившемся режиме необходимо решить систему уравнений (5.2), которая в матричном виде записывается следующим образом

,

откуда

,

или

. (5.5)

Последняя система является неопределенной (имеет бесконечное множество решений), причем 3-е уравнение является следствием 1-го и 2-го уравнений. Это следует из того, что при суммировании уравнений получается очевидное равенство. Поэтому 3-е уравнение можно исключить, заменив его условием нормировки (5.4):

. (5.6)

Систему (5.5) – (5.6) можно решить любым известным из высшей математики методов, например, методом подстановки. В результате получим решение ,,. Тогда .