la_ump_bkl

3

Предисловие

В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) студенты бакалавриата, обучающиеся на первом курсе по направлениям 080100.62 «Экономика» и 080500.62 «Бизнес-информатика», изучают дисциплину «Линейная алгебра».

Цель изучения дисциплины — освоение студентами математического аппарата, позволяющего анализировать, моделировать и решать прикладные, в том числе экономические, задачи. Рассматриваемые в линейной алгебре методы и модели являются не только элементами количественного расчета, но и эффективным средством проведения экономических исследований.

Задачами изучения дисциплины являются выработка навыков моделирования реальных (экономических) объектов и процессов с использованием математического аппарата линейной алгебры, развитие логического и алгоритмического мышления студентов, повышение уровня их математической культуры.

Знания, полученные студентами в процессе изучения дисциплины «Линейная алгебра», необходимы для изучения дисциплин математического и естественно-научного цикла, в частности таких как «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Исследование операций», а также ряда профессиональных дисциплин.

По дисциплине «Линейная алгебра» студенты бакалавриата направлений 080100.62 «Экономика» и 080500.62 «Бизнес-информатика» выполняют одну контрольную работу (№ 1), задания к которой приводятся в данном пособии, и сдают курсовой экзамен.

5

Надо хорошо уяснить, что матрица — это прямоугольная таблица, составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц и алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание и умножение матриц).

Относительные трудности возникают при освоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило умножения и связанное с ним условие существования произведения АВ матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения матриц состоит в том, что произведение матриц в общем случае некоммутативно, то есть АВ ≠ ВА. Если матрицы А и В не квадратные, то это свойство очевидно, так как либо одно из произведений, АВ или ВА, не существует, либо АВ и ВА — матрицы разных размеров. Даже если А и В — квадратные матрицы, то в общем случае АВ ≠ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере.

Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц или квадрат ненулевой матрицы может оказаться нулевой матрицей.

Например, можно легко показать, что произведение матриц

есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю).

Следует уяснить, что если матрица — это таблица чисел, то определитель квадратной матрицы — это число, характеризующее эту матрицу, которое вычисляется по определенным правилам. Необходимо уметь по этим правилам вычислять определители второго и третьего порядков.

При изучении свойств определителей особое внимание следует обратить на свойства 2, 4–6, 8 и особенно на теорему Лапласа ([1, § 1.3] или [3, § 1.3]). Необходимо уметь пользоваться этими свойствами при вычислении определителей четвертого и более высоких порядков.

6

Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц и уметь их вычислять. Следует знать, что для существования матрицы А–1, обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА–1 или А–1А. Если оно является единичной матрицей Е, то в соответствии с определением матрица А–1 вычислена правильно.

Ранг матрицы вводится как наивысший порядок отличных от нуля

равен 1, то есть r(A) = 1, так как все миноры второго порядка

|4 |, |0 |, |2 | и т. д. есть отличные от нуля.

При этом надо учитывать, что введенный ранее и используемый в теореме Лапласа минор элемента квадратной матрицы n го порядка есть минор (n – 1)-го порядка данной матрицы.

В общем случае для определения ранга матрицы рекомендуется использовать метод элементарных преобразований, состоящий в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу А приводят к ступенчатому виду, и число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А (см. [1, пример 1.13] или ([3, пример 1.13]).

Важное значение имеет теорема о ранге матрицы, из которой следует, что ранг матрицы есть максимальное число ее линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Тема 2. Системы линейных уравнений

Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид). Матрица системы. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные (определенные и неопределенные) и несовместные системы. Теорема Крамера о разрешимости системы п ли нейных уравнений с n переменными. Решение системы: а) по форму лам Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса. Понятие о методе Жордана–Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.

7

Условие определенности и неопределенности любой совместной систе мы линейных уравнений. Базисные (основные) и свободные (неоснов ные) переменные. Базисное решение. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Понятие о модели Леонтьева [1, § 2.1–2.7], [2, § 2.1, 2.5] или [3, § 2.1–2.8].

При изучении материала темы следует освоить матричную форму записи заданной системы n линейных уравнений с n переменными и уметь переходить к этой форме от общего вида системы, и наоборот. Необходимо знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются совместными (определенными и неопределенными) и несовместными. Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы п линейных уравнений с n переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера ([1, § 2.2] или [3, § 2.2]). Решаются же такие системы различными способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий по сравнению с другими способами решения ряд достоинств: он менее трудоемок, позволяет однозначно установить, является ли данная система определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности системы — определить число ее линейно независимых уравнений и исключить «лишние».

Метод Жордана–Гаусса ([2, § 2.3, пример 2.49] или [3, § 2.8, пример 2.44]) позволяет быстрее, чем классический, решать систему уравнений, поэтому он востребован в прикладных математических курсах. При этом следует иметь в виду, что в реальных прикладных задачах системы уравнений с достаточно большим числом уравнений и переменных решаются с помощью пакетов прикладных программ (например, Excel, MathCAD и др.).

Практический интерес в приложениях представляет случай, когда число m уравнений системы меньше числа n переменных (m < n). Рассмотрение таких систем приводит к разбиению переменных на базисные (основные) и свободные (неосновные) и выделению из общего числа решений системы базисных решений, в которых все свободные (неосновные) переменные равны нулю.

Согласно теореме Кронекера–Капелли система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы A|B, то есть r (A) = r (A|B) = r.

8

При этом, если r = n (n — число переменных), то система является определенной, если r < n — неопределенной и имеет бесконечное множество решений.

Для решения системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) вовсе не требуется находить специально ранги r (A) и r (A|B), а достаточно применить метод Гаусса. Если хотя бы одно из уравнений системы на «прямом ходе» метода Гаусса приводится к виду 0 = bi (bi ≠ 0), то система является несовместной, если к виду 0 = 0, то система является совместной и неопределенной. В последнем случае уравнения вида 0 = 0 исключаются из системы, а члены уравнения с n — r свободными переменными переносятся в правые части уравнений. Далее, используя «обратный ход» метода Гаусса, получают выражения r базисных переменных через n – r свободных, то есть общее решение системы ([1, пример 2.4], [2, пример 2.36] или [3, примеры 2.4, 2.44]).

Следует иметь в виду, что общее число решений совместной системы линейных уравнений (m < n) бесконечно, в то время как число ее базисных решений конечно и не превосходит числа сочетаний Cnm , а точнее, Cnr , где r — ранг матрицы системы.

Особенностью рассматриваемых далее систем однородных уравнений является то, что они всегда совместны, так как имеют, по крайней мере, нулевое решение (0, 0, ..., 0). Ненулевое решение такие системы имеют только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа переменных, то есть r(A) < n, или, что то же самое, когда определитель матрицы А равен нулю: |A| = 0.

Отметим, что матричное уравнение AX = B, к которому сводится система линейных уравнений, где А — матрица системы, Х — неизвестный столбец переменных, В — столбец свободных членов, может рассматриваться и в том случае, когда Х — неизвестная матрица.

Вообще матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х имеют вид AX = B (1), XA = B (2), AXC = B (3), где А, В, С, Х — матрицы таких размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые части этих матричных уравнений представляют собой матрицы одинаковых размеров.

Решения матричных уравнений (1) и (2) — соответственно X = A–1B и X = BA–1, если А — квадратная матрица и |A| ≠ 0, а матричного уравнения (3) — X = A–1BC–1, если А и С — квадратные матрицы и |A| ≠ 0, |C| ≠ 0.

9

Тема 3. Векторные пространства

Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Координаты и длина вектора. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами. n мерный вектор. Линейная комбинация, линей ная зависимость и независимость векторов. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Разложение вектора по ба зису. Скалярное произведение векторов в n мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы [1, § 3.1–3.3, 3.5–3.8], [2, § 3.1–3.5] или [3, § 3.1–3.3, 3.5–3.8, 3.10–3.14].

В школьном курсе математики рассматривалось понятие вектора как направленного отрезка, то есть множества точек, заключенных между двумя точками прямой с указанным направлением. Там же определялись операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число), вводились координаты и понятие длины вектора.

Множества всех плоских и пространственных векторов, для которых определены операции сложения и умножения, а также умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных (линейных) пространств. В данной теме обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства, являющегося основным объектом линейной алгебры.

Следует отметить, что понятие линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводится точно так же, как это было сделано в теме 1 для строк (столбцов) матрицы. Обратите внимание на то, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. А если среди векторов есть нулевой вектор, то такие векторы всегда линейно зависимы.

Нужно четко знать понятие базиса n мерного пространства, представляющего совокупность его n линейно независимых векторов. При этом любой вектор линейного пространства может быть представлен единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Надо уяснить, что, например, три пространственных (два плоских) вектора могут образовать базис, если они некомпланарны (некол-

10

линеарны). Если же они компланарны, то есть лежат в одной плоскости (или коллинеарны, то есть лежат на одной прямой), то любая их линейная комбинация представляет собой вектор, лежащий в той же плоскости (на той же прямой). Следовательно, по таким векторам не может быть разложен другой вектор, не лежащий в той же плоскости­ (на той же прямой), а это значит, что компланарные (коллинеарные) векторы базис трехмерного (двумерного) пространства не образуют.

Векторное пространство, как отмечено выше, представляет собой множество векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, но не определен способ измерения длин векторов и углов между ними. Это становится возможным с введением скалярного произведения векторов и непосредственно связанного с ним понятия евклидова пространства.

Скалярное произведение двух векторов надо знать в двух формах — как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними и как сумму произведений соответствующих координат (компонент) этих векторов. Обратите внимание на приведенные с решениями задачи ([1, примеры 3.1–3.3] или [3, примеры 3.1–3.3]).

В конце темы вводятся понятия ортогональных векторов. Это позволяет в евклидовом пространстве выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные базисы, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную прямоугольной (декартовой) системе координат в аналитической геометрии (см. тему 6).

Тема 4. Линейные операторы

Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов. Матри ца линейного оператора в заданном базисе. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Характеристический многочлен матрицы. Диагональ ный вид матрицы линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов [1, § 3.6, 3.7], [2, § 3.3, 3.4] или [3, § 3.6, 3.7, 3.12, 3.13].

В этой теме рассматривается одно из базовых понятий линейной алгебры — понятие линейного оператора (преобразования, ото-