la_ump_bkl

21

Контрольная работа содержит набор заданий, при выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила:

1. Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей широкие (не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество (полностью), факультет, специальность, курс, номер личного дела, вариант и номер контрольной работы, а также фамилию преподавателя, которому данная работа направляется на проверку.

3. Перед решением каждой задачи нужно привести (распечатать) полностью ее условие.

4. Следует придерживаться той последовательности решения задач, в которой они даны, строго сохраняя при этом их нумерацию.

5. Не допускается замена одних задач контрольной работы другими. 6. Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями, необходимо привести в общем виде используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ

выделить.

7. Чертеж к задаче 5 должен быть выполнен в прямоугольной системе координат в полном соответствии с данными условий задачи и теми результатами, которые получены.

8. В конце работы нужно привести список использованной литературы (указать автора, название, издательство и год издания каждого источника), поставить дату окончания работы и подпись.

9. Если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные, то следует придерживаться правил приближенных вычислений, которые приведены в [3, § 5.7] или в учебно-методическом пособии для студентов бакалавриата*.

Если работа в целом получила положительную оценку («допущена к собеседованию»), но в ней есть отдельные недочеты (указанные в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и предъявить доработку на собеседовании. Если работа получила оценку «не допущена к собеседованию», то ее необходимо в соответствии с требованиями преподавателя частично

* Математический анализ. Математика 1: Учебно-методическое пособие для студентов бакалавриата, обучающихся на первом курсе по направлениям 080100.62 «Экономика», 080500.62 «Бизнес-информатика» / под ред. профессора Н.Ш. Кремера. — М.: ВЗФЭИ, 2011.

22

или полностью переделать. Повторную работу следует выполнить в той же тетради (если есть место) или в новой тетради, сделав на обложке надпись «Повторная» и указав фамилию преподавателя, которым работа ранее была не зачтена. Вместе с незачтенной работой повторную работу необходимо снова представить на проверку.

Контрольная работа не засчитывается, если ее вариант не совпадает с последней цифрой номера личного дела студента или если она выполнена по вариантам прошлых лет.

Студенты, не получившие зачет по контрольной работе, к экзамену не допускаются. Если в соответствии с учебным графиком контрольная работа должна быть выполнена с частичным использованием КОПР, то для получения зачета по этой работе необходимо дополнительно представить протокол отчета студента о работе с КОПР. Зачтенные работы предъявляются на экзамене и не подлежат возвращению после успешной сдачи экзамена.

23

Варианты контрольной работы

Вариант 1

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)

1. Даны матрицы:

Найти матрицу C = B A и выяснить, являются ли строки матрицы С линейно зависимыми.

2. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

Найти одно из ее базисных решений.

4. Записатьквадратичнуюформу L = x12 + 3x22 + 2x1x2 − 4x1x3 + 4x2 x3 в матричном виде. Привести ее к каноническому виду.

5. Точки A (1; 4), A (–2; –2) и C (4; 1) являются вершинами тре­ угольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Определить координаты точки Н — основания высоты АН треугольника АВС. Сделать чертеж.

6. Найти значение параметра α, при котором плоскости x + 2y – 5z – 5 = 0 и x + αy + 3z = 0 будут перпендикулярны.

24

Вариант 2

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)

1. Даны матрицы:

Найти матрицу C = A B′ + 2E и выяснить, имеет ли она обратную. 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Выяснить, является ли совместной система уравнений:

4. Найти собственные значения и собственные векторы линей-

5. Определить вид и расположение кривой второго порядка

3x2 + 2y2 + 6x − 8y + 5 = 0, приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнение прямой, проходящей через центр кривой второго порядка и точку A(–5; –1). Сделать чертеж.

25

Вариант 3

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)

2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

4. Найти угол между векторами a и b, если известно, что a = p + 2q,

5. Определить вид и расположение кривой второго порядка x2 + y2 + 2x − 4y −11 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр перпендикулярно прямой x + 2y − 6 = 0. Сде-

26

Вариант 4

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)

1. Даны матрицы:

Найти матрицу C = A B′ и определить ее ранг. 2. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

3. Методом Гаусса решить систему уравнений:

4. Проверить,чтовекторы p = {1; −1; − 2}, q = {2; 1; −1} и r = {2; 1; 0} образуют базис в пространстве R3.

5. Определить вид и расположение кривой второго порядка

2x2 − 3y2 + 8x + 6y −1 = 0, приведя ее уравнение к каноническому виду. Найти уравнение прямой, проходящей через центр кривой

второго порядка и точку A(2; 4). Сделать чертеж.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(–2; –1; 1) и В(2; 3; 1) параллельно оси Oz.

27

Вариант 5

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)

1. Решить матричное уравнение

2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

3. Методом Гаусса решить систему уравнений:

4. Найти вектор p, коллинеарный вектору b = {1; −1; 1}, такой,

что скалярное произведение ( p, a) = 4, если известно, что вектор a = {3; −1; − 2}.

5. Определить вид и расположение кривой второго порядка

y2 − 6x + 4y − 2 = 0, приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину кривой второго порядка и точку А(–3; 1). Сделать чертеж.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(–2; –1; 1) и перпендикулярной вектору n = {3; − 2; 1}.

28

Вариант 6

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)

1. Даны матрицы:

Найти матрицу C = B A′ и выяснить, имеет ли она обратную. 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

3. Выяснить, является ли совместной система уравнений:

4. Записать квадратичную форму L = αx12 + x22 + 4x1x2 в матричном виде. Определить значения параметра α, при которых квадратичная форма является знакоопределенной.

5. Точки А(–3; –1), B(1; 3) и D(5; 1) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найти уравнения сторон АВ и AD и координаты четвертой вершины С, противолежащей вершине А. Сделать чертеж.

6. Найти значения параметров α и β, при которых плоскости αx − 3y + 2z − 5 = 0 и x + 3y + βz + 3 = 0 будут параллельны.

29

Вариант 7

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7)

1. Решить матричное уравнение

2. По формулам Крамера решить систему уравнений:

3. Методом Гаусса решить систему уравнений:

4. Проверить, что вектор q = { −1;1; −1} является собственным век-

Найти собственное значение оператора A% , соответствующее данному вектору.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через центр кривой второго порядка 4x2 + y2 +16x − 2y +15 = 0 перпендикулярно пря-

мой 2x + y + 5 = 0. Сделать чертеж.

6. Найти значение параметров α и β, при которых прямые x 2− 2 = y1+1 = z α− 2 и x β− 3 = y 2− 5 = z +2 4 будут параллельны.

30

Вариант 8

(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8)

Найти матрицу и определить ее ранг.

2. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

3. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Найти одно из ее базисных решений.

4. Проверить, что векторы p = {2; − 2;1}, q = {1; 1; 3} и r = {1; −1; −1} образуют базис в пространстве R 3.

5. Определить вид и расположение кривой второго порядка x2 − 4y2 − 6x − 8y +1 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей че-

рез центр кривой второго порядка параллельно прямой 4x + y −1 = 0. Сделать чертеж.

6. Найти угол между плоскостями 2x – 3y + z – 1 = 0 и x + 2y + 2z –1 = 0.