la_ump_bkl

11

бражения), представляющего закон (правило), согласно которому каждому вектору х n мерного пространства Rn ставится в соответствие один вектор y m мерного пространства Rm. При m = n оператор обращает Rn в себя.

Линейность оператора определяется выполнением свойств аддитивности и однородности оператора ([1, § 3.6] или [3, § 3.6]). Нужно

знать, что каждому линейному оператору A%

ца А в некотором базисе (A% → A). Верно и обратное утверждение

(A → A% ). С помощью этой матрицы для любого вектора х можно найти его образ — вектор y.

Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы, которые под воздействием линейного оператора A% преобразуются в новые векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название собственных векторов оператора A% (матрицы А), а соответствующие им числа — собственных значений оператора A% (матрицы А). Точные определения и нахождение собственных векторов и значений приведены в [1, § 3.7, пример 3.7] или [3, § 3.7, пример 3.7].

Если базис линейного оператора составить из собственных векторов, то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой диагональную матрицу, а соответствующая операция называется приведением данной матрицы к диагональному виду

([1, пример 3.8] или [3, пример 3.8]).

Тема 5. Квадратичные формы

Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной фор мы. Матричная форма записи квадратичной формы. Канонический вид и ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенная и знакоопределенная квадратичные формы. Критерий определенности квадратичной фор мы через собственные значения ее матрицы. Критерий Сильвестра

[1, § 3.8], [2, § 3.5] или [3, § 3.8, 3.14].

Квадратичные формы достаточно часто возникают при решении прикладных задач. Если в n мерном линейном пространстве вы-

12

можно рассматривать как некоторую функцию векторного аргумента

x = (x1, x2, ..., xn).

Необходимо знать определение и матричную запись квадратичной формы, ее канонический вид и уметь приводить в простых случаях квадратичную форму к каноническому виду, имея в виду, что это можно сделать многими способами, однако ранг квадратичной формы при этом не меняется.

Студент должен владеть двумя способами исследования на знакоопределенность квадратичной формы (с помощью собственных значений ее матрицы и критерия Сильвестра). Например, очевидно, что квадратичная форма L = 2x12 − 4x1x2 + 5x22 (то есть L = 2(x1 − x2 )2 + 3x22 является знакоположительной. В этом можно убедиться с помощью отмеченных критериев, ибо матрица квадратич-

ные собственные значения λ1 = 1, λ2 = 6, а главные миноры 1 = 2 = 2,

форма L1 = x12 − 6x1x2 + x22 не является знакоопределенной, так как

чередуются по знаку, начиная с положительного значения (при ∆1 < 0, ∆2 > 0 квадратичная форма была бы знакоотрицательной) ([1, примеры 3.11, 3.12], [3, примеры 3.11, 3.12, 3.109, 3.110]).

Тема 6. Элементы аналитической геометрии

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым ко эффициентом и начальной ординатой. Общее уравнение прямой и его исследование. Построение прямой по ее уравнению. Уравнение прямой, проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две данные точки. Координаты точки пересечения двух пря мых. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Кривые

13

второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окруж ности. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Урав нение плоскости в пространстве и его частные случаи. Условие па раллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой как пересечение двух плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве. Углы между плоскостями, прямыми, прямой и плос­ костью [1, § 4.1–4.7], [2, § 4.1–4.3] или [3, § 4.2–4.6, 4.8–4.10, 4.12].

По используемым методам аналитическая геометрия существенно отличается от элементарной геометрии. Применение основного метода аналитической геометрии — метода координат — позволяет значительно продвинуть вперед изучение геометрических образов, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является урав нение линии на плоскости, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Из этого определения следуют два важных для практики положения.

1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае — не принадлежит.

2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений.

Следует отметить, что решение задач в аналитической геометрии проводится алгебраическим путем и никакие ссылки не чертеж не могут служить обоснованием решения задачи. Чертежи и геометрические построения служат вспомогательным средством, помогающим наметить план решения задачи и облегчающим ее решение, делающим его наглядным. Поэтому рекомендуется сопровождать решение задачи чертежами.

Из всех линий прямая линия имеет особое значение. Она (и ее обобщение в n мерном пространстве) является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях, которые будут

14

изучаться в курсах «Методы оптимальных решений» и «Исследование операций».

Студент должен знать уравнения прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой и его частные случаи; уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении и через две данные точки, а также общее уравнение прямой ([1, § 4.1] или [3, § 4.1]). Следует обратить внимание на условия параллельности и перпендикулярности прямых; на нахождение уравнений прямых, параллельной и перпендикулярной данной прямой ([1, пример 4.5], [3, пример 4.5]).

Изучая кривые второго порядка, следует иметь в виду, что любая из этих кривых выражается уравнением второй степени

Ax2 + Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

которое определяет окружность, эллипс, гиперболу или параболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами.

Студенту надо знать нормальное уравнение окружности, канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Кроме того, он должен уметь приводить уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, используя операцию «выделения полного квадрата» ([1, примеры 4.7, 4.8] или [3, примеры 4.7, 4.8]), а также находить точки пересечения различных линий (например, кривой второго порядка и прямой).

Обобщением уравнения прямой на плоскости является уравнение плоскости в пространстве Ax + By + Cz + D = 0 (обобщением которого, в свою очередь, является уравнение гиперплоскости в n мерном пространстве, рассматриваемое в прикладных математических курсах). Надо знать смысл его коэффициентов А, В, С (как координат нормального вектора плоскости) и частные случаи уравнения плоскости. Например, уравнение плоскости: проходящей через начало координат (Ax + By + Cz = 0 (D = 0)); параллельной оси Оу (Ax + Cz + D = 0 (B = 0)); проходящей через ось Оу (Ax + Cz = 0 (B = C = 0)); параллельной плоскости Oxz (By + D = 0 (A = C = 0)); совпадающей с плоскостью Oxz (By = 0), то есть y = 0 (A = C = D = 0), и т. д.

Уравнение прямой в пространстве рассматривается в двух формах — как линии пересечения двух плоскостей и в виде канонических уравнений.

15

Обращаем внимание на то, что направление плоскости и прямой определяются соответственно нормальным и направляющим векторами, поэтому углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью сводятся к определению углов (дополнительных углов) между этими векторами. Отсюда вытекают условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.

Основные типы задач на прямую и плоскость в пространстве представлены задачами с решениями ([1, пример 4.87–4.92] или [3, пример 4.108–4.113]). Решение отдельных задач предполагает знание скалярного произведения двух векторов (но не требует знания векторного и смешанного произведений векторов, не входящих в программу).

16

Вопросы для самопроверки

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц.

2. Определители второго, третьего и n го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

4. Понятие минора k го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). n мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид) и матричная форма ее записи. Решение системы (определение). Совместные­ и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана–Гаусса.

10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.

11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.

12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений системы.

13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.

17

15. n мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.

16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

17. Скалярное произведение векторов в n мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.

18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.

20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.

21. Собственные векторы и собственные значения оператора A% (матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение.

22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Пример.

23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.

24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квад­ ратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.

25. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию Сильвестра).

26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

28. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геомет­ рический смысл параметров окружности и эллипса.

18

29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.

30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.

19

Задачи для самоподготовки

Ниже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и для самостоятельного выполнения по учебнику [1], практикуму [2] или учебнику [3], рассматриваемых в качестве основной литературы.

Студентам рекомендуется в первую очередь разобрать большин ство (часть) задач с решениями (их номера выделены полужирным шрифтом). Задачи для самостоятельного выполнения (их номера набраны обычным шрифтом) следует решить выборочно (в зависимости от лимита времени — например, каждую вторую или каждую третью задачу из списка задач по теме).

Кроме того, уровень усвоения материала можно проверить по приводимым в практикуме [2] или учебнике [3] тематическим и итоговым контрольным заданиям и тестам, решая задания в соответствии с учебно-программным материалом по каждой теме.

20

Методические указания

по выполнению контрольной работы

В соответствии с учебным планом по дисциплине «Линейная алгебра» каждый студент должен выполнить одну домашнюю контрольную работу № 1 (по приведенным в данной брошюре вариантам) в сроки, установленные учебным графиком.

По контрольной работе студенты вечерних и дневных групп проходят собеседование. На собеседовании выясняется, насколько глубоко усвоен пройденный материал и соответствуют ли знания студента и его навыки в решении задач качеству представленной работы. Зачет по контрольной работе студенты получают лишь после­ успешного прохождения собеседования.

Номер варианта контрольной работы определяется в соответ ствии с последней цифрой номера личного дела студента, который совпадает с номером его зачетной книжки и студенческого билета.

Сроки представления домашней контрольной работы на проверку указаны в индивидуальном графике студента, а студентам дневных групп сообщаются во время осенней установочной сессии. Однако эти сроки являются крайними. Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит представить значительно раньше указанного срока. Студентам дневных групп рекомендуется выполнить домашнюю контрольную работу во время установочной сессии, на которой излагается учебный материал. Это даст возможность студенту использовать свое пребывание в институте для консультаций по всем вопросам, возникшим при выполнении работы. После окончания сессии в течение двух недель работу необходимо завершить и представить на проверку.

Если в процессе выполнения работы у студента появятся вопросы или возникнут затруднения в решении задач, то он может обратиться за устной или письменной консультацией (например, по электронной почте или на форум кафедры).

При изучении учебного материала и подготовке к выполнению контрольной работы рекомендуется использовать учебники, учебные пособия и электронные ресурсы, приведенные в разделе «Литература», а также данное учебно-методическое пособие.

После проверки контрольная работа студента получает оценку «допущена к собеседованию» или «не допущена к собеседованию».